1.不等式基本性质求代数式的取值范围

1、不等式性质求代数式的取值范围一 . 知识要点：1. 不等式概念 用不等号 ( , , , , )表示不等关系的式子称为不等式。 其中用 , 连接的不等式，如 f (x) g( x)称为严格不等式；而用 , 连 接的不等式如 f (x) g(x) 称为非严格不等式。2. 比较两个实数大小的依据 主要根据实数的运算性质与大小顺序之间的关系，来比较两个实 数 a, b 的大小，即判断它们的差的符号。概括为，a b 0 a b; a b 0 a b; a b 0 a b.其中 表示“等价 于”，意味着两边可以相互推出。3. 不等式的基本性质性质 1(对称性 ) 若 a b,则b a;若b a,则 a

2、b.即a b b a.性质 2(传递性 ) 若 a b,b c,则ac. 即 a b bca c.性质 3(同加或减性 ) 若 a b,则a c b c或 a c b c. 进一步可得( 移项 ): a b c a b ( b) c ( b) a c b或 a b c a b b c b a c b.bc.性质 4 若a b,c 0, 则ac bc. 若 a b,c 0, 则 ac性质 5若a b,c d ,则a c b d. 性质 6 若 a b 0,c d 0, 则 ac bd.性质 7 若a b 0, 则an bn(n ￥,n 2). 性质 8 若a b 0, 则 n a n b (n

3、￥,n 2). 特别强调 : a b 1 1 不一定成立 . 因为当 ab 0时, 有 1 1 ;当 ab 0 a b a b 时, 1 1无意义 ; 当ab 0时,有 1 1.a b a b二 . 解题思路 :利用几个变量的范围来确定某个代数式的范围是一类常见的综合 问题, 解此类问题时 , 常利用不等式性质 3 的推论 , 即“同向不等式 的两边可对应相加 ; 异向不等式的两边可相减” .但请注意 , 此种转化并不是等价变形 , 在一个解题过程中多次利用 这种转化时 , 就有可能扩大真实的取值范围 , 从而求出错误答案 .正确的解法是 : 先建立待求范围的整体与已知范围的等量关系 ,再 通

4、过“一次性不等关系的运算” , 求出待求的范围 .三求解步骤 把将要计算的代数式 c 用已知的两个代数式 a 与 b 表达出来 , 即 令 c k1a k2b （其中 k1,k2 为常数 ）, 并求出 k1,k2的值. 此方法可以推广 到多个代数式的情况 . 分别求出 k1a与k2b的取值范围 . 一次性利用不等式的性质 , 求出 k1a k2b 的取值范围 , 即得代数式c 的取值范围 .四 . 高考题演练1. (辽宁高考 ) 已知 -1 x y 4且2 x y 3, 则 z 2x 3y的取值范围是提示 1232. (江苏高考 ) 设实数 x, y 满足 3 xy2 8,4 x 9, 则 x

5、4 的最大值 yy是提示 23. 若 , 满足 11, 则 3 的最大值是 提示1 2 33324. 已知 1 lg x 2,2 lg x 3, 则 lg x 的取值范围是 提示y y 3 y45. 已知 f(x) ax2 c且 4 f(1) 1, 1 f(2) 5, 则 f (3)的取 值范围是提示 56. 已知:1 a b 2且 2 a b 4, 求 4a 2b的取值范围 提示67. 已知二次函数 y f (x)的图像过原点 ,且1 f ( 1) 2,3 f(1) 4, 求f ( 2) 的取值范围 提示 7参考答案:提示 1：设 zmn 2x 3y m(x y) n(x y) (m+n)x

6、 (m n)y , 因为mn1m 得2 , 所以 25n21 1 521(x y) 21,5 25(x y)152则31(x y) 5(x y) 8, 即 3 2x 3y 8.223 提示 2：显然 x4 y2(xy2) 1(x )2 , 为转化为上面用到的基本解法 ,因此可两 y32边 同 时 取对 数 , 化 为 lgx4 lgxy2 2lg x 的 形 式 . 易 得 yylg8 2lg 4lg xy2 2lx2 glg32lg 9, 即 lg23lg xy4lg27 ,则3yy2x4 27,最大值是27.y提示3:设 +3m( ) n(+2) (m+n)(m+2n) ,因为mn1,m2

7、n3得m 1,所以易求 13 7.n2,1lg xlg y 2提示4:已知条件可化为13,23lg xlg y2设lgx313lg x lg y m(lg xlg y)n(3lg x1lgy), 易求1 m,n16.最3y32515终lg 3xy的取值范围是 1256,3.提示 5: 已知条件可知ff(12) a4acc, 则113 f (2)443 f(1)f (1)113 f(2),1,20 .则 f (3) 9a c 5 f (1) 8 f(2). 易求 f(3) 的取值范围是 33提示 6: 类似以上解法可求 5 4a 2b 10.提示 7:法 1(待定系数法 ) ：b),可求 1 f ( 1) a b 2, 设 f ( 2) 4a 2b m(a b) n(a3 f (1) a b