分析 第二章误差及分析数据统计

1、2-1 滴定分析中的误差滴定分析中的误差 2-2 分析结果的数据处理分析结果的数据处理 2-3 有效数字及其运算规则有效数字及其运算规则 2-4 标准曲线的回归分析标准曲线的回归分析提示：提示：滴定分析中的误差：滴定分析中的误差： 误差与准确度、偏差与精密度、准确度与精误差与准确度、偏差与精密度、准确度与精密度的关系、误差的分类与减免方法密度的关系、误差的分类与减免方法分析结果的数据处理：分析结果的数据处理： 可疑数据的取舍、有限此测定中随机误差服可疑数据的取舍、有限此测定中随机误差服从从t分布分布有效数字及其运算规则：有效数字及其运算规则： 有效数字、修约规则、运算规则有效数字、修约规则、运

2、算规则作业：作业：P27 - 1P27 - 1、2 2、3 3、6 6、10102-12-1定量分析中的误差定量分析中的误差一误差与准确度一误差与准确度误差：测定值与真值之差测定值与真值之差误差占真值的百分率x xi i为测定值；为测定值；为真值为真值准确度： 测定平均值与真值的接近程度，常用误差大小表示。误差小，测定平均值与真值的接近程度，常用误差大小表示。误差小，准确度高。准确度高。 iEx100%irxE2-12-1例例1 1 分析天平称量两物体（分析天平称量两物体（A A、B B）的质量为）的质量为1.6380g1.6380g和和0.1637g0.1637g，假定两者的真实质量分别为，

3、假定两者的真实质量分别为1.6381g1.6381g和和0.1638g0.1638g，两者称量的相对误差和绝对误差分别为，两者称量的相对误差和绝对误差分别为多少？多少？解：解： A 物体：物体： B 物体：物体： E = - 0.0001g E = - 0.0001g iEx100%irxE相对误差：相对误差：Er = - 0.006% Er = - 0.06%绝对误差：绝对误差： 绝对误差相等，相对误差不一定相等 同样的绝对误差，当测量值较大时,相对误差较小，测定的准确度比较高。 用相对误差来表示各种情况下结果的准确度更为确切。2-12-1例例2 2 滴定管读数的误差为滴定管读数的误差为0.

4、01mL0.01mL，为保证，为保证0.1%0.1%的的相对误差，滴定体积应不小于（相对误差，滴定体积应不小于（ ）mLmL解： 完成一次滴定测量完成一次滴定测量, ,最不利情况最不利情况: :误差为误差为0.02mL0.02mL 用分析天平称量样品，最不利情况用分析天平称量样品，最不利情况: :误差为误差为0.0002g0.0002g 答：体积不能小于20 mL0.0220.000.1%VmL说明： 误差是有正值、负值的。 正值表示分析结果偏高，负值表示分析结果偏低 真值在实际工作中常常无法获得，一般用理论值、标准值、多次测定结果的平均值代替。二偏差与精密度偏差： 个别测定结果 与几次测定结

5、果的平均值 之间的差别绝对偏差：绝对偏差：测定结果与平均值之差相对偏差：相对偏差：绝对偏差在平均值中所占的百分率iidxxixx1 0 0 %irxxdx算术平均偏差：算术平均偏差：各偏差值的绝对值的平均值单次测定的相对平均偏差：单次测定的相对平均偏差：1111nniiiiddxxnn1 0 0 %rddx标准偏差：标准偏差：（均方根偏差）（均方根偏差）总体标准偏差：总体标准偏差：( () ) 样本标准偏差样本标准偏差:(S):(S) （测定次数趋于无限次时）（测定次数趋于无限次时） （测定次数有限次时）测定次数有限次时）相对标准偏差相对标准偏差：（变异系数）（变异系数）21()niixn21

6、()1niixxsn100%sCVx精密度：精密度： 指在确定条件下，将测试方法实施多次，求出所指在确定条件下，将测试方法实施多次，求出所得结果之间的一致程度。精密度大小用偏差来表示。得结果之间的一致程度。精密度大小用偏差来表示。2-12-1例例3 3有两组测定值：甲组：2.9、2.9、3.0、3.1、3.1乙组：2.8、3.0、3.0、3.0、3.2解： 平均值 平均偏差 标准偏差甲组： 3.0 0.08 0.1 乙组： 3.0 0.08 0.14xds计算结果说明了什么? 虽然两组数据的平均偏差是一样的，但数据的离散程度不一致，由此可见，平均偏差有时不能反映出客观情况，一般情况下对测定数据

7、应表示出标准偏差或变异系数.2-12-1例例4 4 某试样经分析测得含锰质量分数（某试样经分析测得含锰质量分数（% %）为：）为： 41.24 41.27 41.23 41.2641.24 41.27 41.23 41.26求：分析结果的平均偏差，标准偏差和变异系数求：分析结果的平均偏差，标准偏差和变异系数解：解： 平平 均均 值值: : 41.25(%) 平均偏差：平均偏差： 0.015(%) 标准偏差标准偏差: : 0.018(%) 变异系数：变异系数：0.044% 三.准确度与精密度的关系 精密度是保证准确度的先决条件，精密度差结果一定不可靠，但精密度好，不一定保证准确度好。精密度的高低

8、还可以用重复性和再现性表示重复性（r）：同一操作者，在相同条件下，获 得一系列结果之间的一致程度。再现性（R）：不同的操作者，在不同条件下， 用相同方法获得的单个结果之间 的一致程度以打靶为例讨论准确度与精密度的关系以打靶为例讨论准确度与精密度的关系四.误差的分类及减免的方法1.1.误差的分类误差的分类（1）系统误差）系统误差 (可测误差) 系统误差是由于某种固定原因或某些经常出现的系统误差是由于某种固定原因或某些经常出现的因素引起的重复出现的误差因素引起的重复出现的误差系统误差的系统误差的特点特点重复性：同一条件下，重复测定中，重复出现同一条件下，重复测定中，重复出现单向性：对分析结果系统偏

9、高或偏低对分析结果系统偏高或偏低可测性：误差数值的大小基本不变误差数值的大小基本不变,对测定结果的影对测定结果的影 响比较恒定响比较恒定,可测定或校正可测定或校正系统误差产生的系统误差产生的原因原因 方法不完善方法不完善; 试剂不纯或不合格试剂不纯或不合格; 测量仪器本身测量仪器本身的缺陷的缺陷; 人为因素人为因素.( 随机误差 未定误差 ) 由于某些无法控制和避免的客观偶然因素造成由于某些无法控制和避免的客观偶然因素造成的误差的误差偶然误差的偶然误差的特点特点 大小、方向不定大小、方向不定, ,单个误差无规律单个误差无规律, ,多次足够次多次足够次数的测定结果符合正态分布数的测定结果符合正态

10、分布（参见图（参见图2-22-2）偶然误差分布的偶然误差分布的性质性质对称性：大小相近的正误差和负误差出现概率相等大小相近的正误差和负误差出现概率相等单峰性：小误差出现概率大小误差出现概率大,大误差出现概率小大误差出现概率小,曲线只有曲线只有 一个峰一个峰,误差集中误差集中有界性：仅仅由于偶然误差造成的误差不可能太大，大仅仅由于偶然误差造成的误差不可能太大，大 误差出现的概率小误差出现的概率小抵偿性：误差的算术平均值的极限为零误差的算术平均值的极限为零 偶然误差产生的偶然误差产生的原因原因 无法知道 错误操作 ; 工作差错 2.误差的减免(1)(1)检验检验和和消除消除系统误差系统误差检验系统

11、误差 做对照实验检查新方法是否有系统误差做对照实验检查新方法是否有系统误差 用新方法对标准样品进行测定用新方法对标准样品进行测定,将测定结果与标准值比较将测定结果与标准值比较 用国家规定的标准方法或公认成熟的方法和新方法测同一用国家规定的标准方法或公认成熟的方法和新方法测同一 样品样品 用回收率检查是否有系统误差用回收率检查是否有系统误差 （常量分析回收率在（常量分析回收率在90%110%之间）之间）回收率回收率 = x1 - 试样中某组分含量试样中某组分含量 x2 - 已知量的该组分已知量的该组分 x3 - 试样中某组分含量加已知量的该组分试样中某组分含量加已知量的该组分( x3 = x1

12、+ x2 )312()100%xxx 消除系统误差消除系统误差 调整仪器调整仪器 选用合适的方法选用合适的方法 选用纯度符合要求的试剂选用纯度符合要求的试剂 作空白实验作空白实验( (除了不加试样外，其他试验步骤与试样试除了不加试样外，其他试验步骤与试样试验步骤完全一样的试验验步骤完全一样的试验) )(2)(2)减少减少偶然误差偶然误差 增加平行实验次数增加平行实验次数（分析实验一般平行（分析实验一般平行4-64-6次次, ,验证实验一般平行验证实验一般平行3 3次）次）(3)(3)控制控制测量时带入的相对误差测量时带入的相对误差 ( (参见参见2-12-1例2 2）不同分析工作者分析同一试样

13、的结果如下不同分析工作者分析同一试样的结果如下: :试对各实验员的分析结果作出正确评价试对各实验员的分析结果作出正确评价 36.00% 36.50% 37.00% 37.50% 38.00%真值37.40%2-22-2分析结果的数据处理分析结果的数据处理一一可疑数据的取舍1.Grubbs法 将测定值由小到大排序 x 1 x2 x n 求 x 的平均值和标准偏差 计算: 若x 1可疑 若x n可疑比较 : 查G表 p-17(置信度选95%) 如果 G计算G表 , x 1 或 x n应弃去 , 反之保留1x-xGs计算nxxGs计算置 信 度n95%97.5%99%3456789101112131

14、415201.151.461.671.821.942.032.112.182.232.292.332.372.412.561.151.481.711.892.022.132.212.292.362.412.462.512.552.711.151.491.751.942.102.222.322.412.482.552.612.662.712.88G (p，n)值表值表2-22-2例例1 1 已知测定数据为已知测定数据为: 52.68%, 53.17% 52.73%, 52.67%判断判断53.17%是否舍去？是否舍去？解:排序 52.67 % 52.68% 52.73% 53.17%求平均值和标

15、准偏差计算 查表 G表 = 1.46 比较 G计算G表 53.17% 应弃去 nxxG1.5s计 算2.Q2.Q检验法检验法( (适用于适用于1010次以内的测定值次以内的测定值) ) 将测定值由小到大排序将测定值由小到大排序 x 1 x2 x n计算计算 : : 若若x 1可疑可疑 若若x n可疑可疑查表比较查表比较 : p-18 : p-18（置信度选（置信度选90%90%） 若若 Q计计 Q 0.9 表表 弃去可疑数据弃去可疑数据 , , 反之保留反之保留21n1(xx )Q = (xx )计算nn 1n1(xx)Q = (xx )计算测定次数nQ0.90Q0.95Q0.99345678

16、9100.940.760.640.560.510.470.440.410.980.850.730.640.590.540.510.480.990.930.820.740.680.630.600.57 Q 值表值表2-22-2例例2 2 已知测定数据为已知测定数据为:52.68%,53.17%,52.73%,52.67%:52.68%,53.17%,52.73%,52.67%判断判断53.17%53.17%是否舍去是否舍去解:排序 52.67 % 52.68% 52.73% 53.17%计算 查表 Q 0.9 表 = 0.76 Q计 Q 0.9 表 弃去可疑数据 53.17% nn 1n1xx(

17、53.17%52.73%)Q = 0.88(x -x )(53.17%52.67%)-计算（-)二.有限次测定中随机误差服从t分布 ( (材料略）材料略） 误差的正态分布是建立在无限次测量的基础上误差的正态分布是建立在无限次测量的基础上, ,有有限次数据的误差分布规律不可能与正态分布规律完全限次数据的误差分布规律不可能与正态分布规律完全相同。而相同。而t t分布规律正是有限测定数据及其随机误差的分布规律正是有限测定数据及其随机误差的分布规律分布规律正态分布正态分布 在分析测定中，如果测定次数足够多，在系统误在分析测定中，如果测定次数足够多，在系统误差已经排除的情况下，随机误差的分布是有规律的，

18、差已经排除的情况下，随机误差的分布是有规律的，可以应用统计学方法进行研究。在定量分析中，来自可以应用统计学方法进行研究。在定量分析中，来自同一总体的随机误差一般服从正态分布。同一总体的随机误差一般服从正态分布。标准正态分布规律的定义标准正态分布规律的定义: : ()xu标准正态分布的图形： 横坐标横坐标 u - u - 为随机误差为随机误差 纵坐标纵坐标 y - y - 为误差的频率为误差的频率特点：特点：对称性、单峰性、有界性、抵偿性对称性、单峰性、有界性、抵偿性t t分布分布 t t分布规律是有限测定数据及其随机误差的分布规分布规律是有限测定数据及其随机误差的分布规律，是律，是对标准正态分

19、布进行了修正对标准正态分布进行了修正1.1. 正态分布规律与正态分布规律与t t分布规律分布规律标准正态分布规律与标准正态分布规律与t t分布规律的定义分布规律的定义标准正态分布规律的定义: u ( (标准正态变量）标准正态变量） 以标准偏差为单位的误差值以标准偏差为单位的误差值 - - 真值真值 - - 总体标准偏差总体标准偏差t分布规律的定义: t (t (统计量）统计量）（x-x-)/s)/s - - 真值真值 s s - - 标准偏差标准偏差 标准正态分布曲线标准正态分布曲线 t t分布曲线分布曲线横坐标横坐标: u =: u =（x-x-）/ / t =t =（x-x-)/s)/s纵

20、坐标纵坐标: y - : y - 为误差的频率为误差的频率 y - y - 为误差的频率为误差的频率()xu()xts标准正态分布曲线与标准正态分布曲线与 t t 分布曲线分布曲线f = f = 5f = 100横坐标横坐标 - u为随机误差为随机误差 纵坐标纵坐标 - y为误差的频率为误差的频率 y横坐标横坐标 t = (x- )/s纵坐标纵坐标 - y为误差的频率为误差的频率t y正态分布曲线与正态分布曲线与 t 分布曲线比较分布曲线比较 两个曲线的形状基本相似两个曲线的形状基本相似 t 分布曲线与测量次数有关分布曲线与测量次数有关,随自由度随自由度 f ( f = n -1)的减小的减小

21、 , t 分布曲线变矮变宽分布曲线变矮变宽随自由度随自由度 f 值增加值增加, t 分布曲线变高变窄：分布曲线变高变窄：当 f 20时 t 分布曲线与正态分布曲线很相似, f 时 t 分布曲线与正态分布曲线完全重合 标准正态分布是标准正态分布是t t分布的极限分布的极限 t t值与测定值与测定次数次数和和置信度置信度有关有关（p1414表表2-22-2） 当当 n 相同时相同时,置信度选择越高置信度选择越高, t 值就越大值就越大, 曲线下曲线下面的面积越大（随机误差在此区间的概率越大）面的面积越大（随机误差在此区间的概率越大）2. 2. 置信度与置信区间置信度与置信区间 根据根据 t = (

22、x ) / s , 得得 : = x = x ts ts置信度置信度: 人们所做判断的可靠程度人们所做判断的可靠程度 含义：含义： 真值真值 未知的情况下，以测量值未知的情况下，以测量值x x为中心考察为中心考察在在x x附近某一范围内包含有一个恒定的真值附近某一范围内包含有一个恒定的真值 的的把握程度。把握程度。 例：例： 当当n=5n=5时时 取置信度为取置信度为95% 95% 查表查表t=2.776t=2.776 = x = x 2.7762.776s s 表示在以表示在以 x x 为中心为中心2.7762.776s s 范围范围内含有真值的把内含有真值的把握程度为握程度为 95%95%

23、置信区间置信区间: 以测定结果为中心以测定结果为中心,包含恒定的真值包含恒定的真值 在内的可靠性范围在内的可靠性范围 上上式中式中 x 2.776s 即为置信区间，可靠性为即为置信区间，可靠性为95%置信度与置信区间的关系置信度与置信区间的关系: 置信度选择越高置信度选择越高,置信区间越宽置信区间越宽,其区间包含真值的可能其区间包含真值的可能性也就越大性也就越大 （分析化学置信度定为（分析化学置信度定为95%或或90%）3.3.平均值的置信区间平均值的置信区间 平均值的置信区间是在某一置信度下平均值的置信区间是在某一置信度下,以测定的平均值以测定的平均值 x 和平均值的标准偏差和平均值的标准偏

24、差 Sx 来估算来估算 : xxtsxSSntsxnt 值表值表置 信 度测定次数90%95%99%26.31412.70663.65732.9204.3039.92542.3533,1825.84152.1322.7764.60462.0152.5714.03271.9432.4473.70781.8952.3653,50091.8602.3063.355101.8332.2623.250111.8122.2283.169211.7252.0862.8461.6451.9602.5762-22-2例例3 3 测定测定SiO2的质量分数的质量分数,得到下列数据得到下列数据(%) : 28.62

25、 , 28.59 , 28.51 , 28.48 , 28.52，28.63。求平。求平均值、标准偏差及置信度分别为均值、标准偏差及置信度分别为90%和和95%时平均时平均值的置信区间值的置信区间 。解解: x = ( 28.62 + 28.59 + 28.51 + 28.48 + 28.52 + 28.63 ) / 6 = 28.56（%） 222222(0.06)(0.03)(0.05)(0.08)(0.04)(0.07)s=0.06%6 1若选置信度为若选置信度为 90%, 查表查表 t = 2.015若选置信度为若选置信度为 95% ,查表查表 t = 2.571 问题问题: 若想提高

26、真值出现的概率,平均值的置信区间应扩大还是缩小? 2.0150.06(28.56)%(28.560.05)%62.5710.06(28.56)%(28.560.07)%62-22-2例例4 4 测定铜中含铬量时测定铜中含铬量时,先测定两次先测定两次,测得的质测得的质量分为量分为1.12%和和1.15% ; 再测定三次再测定三次,测得的数测得的数据为据为1.11% ,1.16% ,1.12%。试分别按两次和。试分别按两次和五次测定的数据来计算平均值的置信区间五次测定的数据来计算平均值的置信区间 。( 95%置信度)解：解：两次测定两次测定 x = 1.135 % ; s = 0.021 % 查表

27、查表 n=2时时; t 95% = 1 2.7 wCr= ( 1.14 0.19 ) % 五次测定五次测定 x = 1.13 %； s = 0.022 % 查表查表 n =5 ； t 95% = 2.78 wCr= ( 1.13 0.03 ) %结论结论 ： 一定测定范围内一定测定范围内, ,适当增加测定次数适当增加测定次数, ,可使可使置信区间显著缩小置信区间显著缩小, ,使测定的平均值与总体平使测定的平均值与总体平均值接近均值接近（n n1010时，时，s sx x 随随 n n 的变化甚微，的变化甚微，2020次以上对减小偶然误差次以上对减小偶然误差无实际意义）无实际意义）三三. .显著

28、性检验显著性检验-系统误差的判断系统误差的判断1.平均值与标准值比较平均值与标准值比较( t检验检验 ) 检验某一检验某一的可靠性的可靠性 t 检验公式检验公式:若若 t计算计算 t表表 测定值的平均值测定值的平均值x与已知值有显著差别与已知值有显著差别若若 t计算计算 t表表 测定值的平均值测定值的平均值x与已知值无显著差别与已知值无显著差别x -tns2-22-2例例5 5 采用一种新方法分析标准试样中的硫的含量采用一种新方法分析标准试样中的硫的含量, ,=0.123%,=0.123%,4 4次测定结果为：次测定结果为：0.112,0.118,0.115,0.119(%),0.112,0.

29、118,0.115,0.119(%),试评价该新方试评价该新方法法( (置信度置信度95%)95%)解: 查查t t值表值表,f =4-1=3, ,f =4-1=3, 置信度置信度95%95%时时, t, t表表= 3.18= 3.18 t t计算计算 t t表表 x x与与间存在显著差异间存在显著差异, ,新方法存在系统误差新方法存在系统误差 s = 0.0033%0.116-0.123t = 44.2420.0033计 算( 0.112 + 0.118 + 0.115 + 0.119 )x = =0.116%42.2.平均值的比较平均值的比较 确定两组数据平均值之间是否有显著性差异(1)F

30、(1)F检验法检验法 确定两组数据标准偏差是否有显著性差异确定两组数据标准偏差是否有显著性差异 比较: F计算F表 S大与S小有显著性差异 F计算F表 S大与S小无显著性差异, 可用t检验法进一步检验平均值之间有无显著性差异22sF = s大小fs大fs小2345678910234567891019.009.556.945.795.144.744.464.264.103.0019.169.286.595.414.764.354.073.863.712.6019.259.126.395.194.534.123.843.633.482.3719.309.016.265.054.393.973.69

31、3.483.332.2119.338.946.164.954.283.873.583.373.222.1019.368.886.094.884.213.793.503.293.142.0119.378.846.044.824.153.733.443.233.071.9419.388.816.004.774.103.683.393.183.021.8819.398.785.964.744.063.633.343.132.971.8319.508.535.634.363.673.232.932.712.541.00置信度置信度95%时时 F 值值(2)t检验法 检验平均值之间有无显著性差异 若：若

32、： t t计算计算 t t表表 ，x x1 1与与x x2 2间无显间无显 著性差异著性差异, ,反之则有。反之则有。2-22-2例例6 6 用两种不同方法分析某试样中硅百分含量的测定结果如下用两种不同方法分析某试样中硅百分含量的测定结果如下: 方法方法 A:A: x x1 1 = 71.26% S= 71.26% S1 1 = 0.13% n= 0.13% n1 1 = 6= 6 方法方法 B: xB: x2 2 = 71.38% S= 71.38% S2 2 = 0.11% n= 0.11% n2 2 = 9= 9 试判断方法试判断方法A A和方法和方法B B间是否存在显著性差异间是否存在

33、显著性差异(95%(95%置信度置信度) )121212x -xn nt = snn合22112212(n1)s +n -1)ss =nn2合（解解: : 查查F F值表：值表：f f1 1=5=5， f f2 2=8, =8, 置信度置信度95%95%下下,F,F表表 = 3.69 = 3.69 F F计算计算F F表表 , ,故两种方法无显著性差异故两种方法无显著性差异, ,再进行再进行t t检验检验 = 0.12 %= 0.12 % = 1.82 = 1.82查查t t值表值表：f=13 f=13 置信度置信度95%95%时时, t, t表表 = 2.16 = 2.16 t t计算计算

34、t t表表 故方法故方法A A和方法和方法B B的测定结果无显著性差异的测定结果无显著性差异 121212x- xnnt = snn合22112212(n1)s +n -1)ss =nn2合（2222s(0.13)F = = = 1.40s(0.11)大小2-32-3有效数字及其运算规则有效数字及其运算规则一.有效数字1.有效数字 在分析工作中一个有效的测量数据，既要能表示在分析工作中一个有效的测量数据，既要能表示出测量结果的大小，又要能表示出测量的准确度。出测量结果的大小，又要能表示出测量的准确度。 有效数字是指在测量中得到的有实际意义的数字有效数字是指在测量中得到的有实际意义的数字 有效数

35、字的表示通常只保留一位不确定数字有效数字的表示通常只保留一位不确定数字, 即即全部准确数据加一位可疑数据全部准确数据加一位可疑数据 在有效数字中任何一个数都是有意义的，数据的在有效数字中任何一个数都是有意义的，数据的位数不能随意增加或减少位数不能随意增加或减少如：如：分析天平称量某物质的质量为分析天平称量某物质的质量为0.2501g,0.2501g, 不能记为不能记为 0.25010g0.25010g0.2501g 表示: 相对误差相对误差 = (= (0.0001/0.0001/0.25010.2501) )100% = 100% = 0.04%0.04%0.25010g表示: 相对误差相对

36、误差 = = 0.004%0.004%如如: : 滴定消耗溶液体积为滴定消耗溶液体积为23.50mL, 23.50mL, 不能记不能记23.5mL23.5mL两者相对误差两者相对误差应分别为应分别为0.043% 0.043% 和和 0.43%0.43%（可疑数据所表示的量是客观存在的，但在估计时会受主（可疑数据所表示的量是客观存在的，但在估计时会受主观因素的影响，通常有观因素的影响，通常有1单位的绝对误差）单位的绝对误差）2. “0” 2. “0” 在有效数字中的作用在有效数字中的作用数字前的数字前的“0”:0”: 数字前的数字前的“0”0”只起定位作用只起定位作用, ,与所采用的单位有关与所

37、采用的单位有关, ,而与测而与测量的精确度无关量的精确度无关例例: : 0.001 0.001g g 改变单位为改变单位为 1 1mgmg, ,二者均只有二者均只有1 1位有效数字位有效数字. .数字中间的数字中间的“0”:0”: 数字中间的数字中间的“0”0”都是有意义的都是有意义的例例: : 23.87045 23.87045有效数字为有效数字为7 7位位; 0.02054; 0.02054有效数字为有效数字为4 4位位数字末尾的数字末尾的“0”:0”: 数字末尾的数字末尾的“0”0”体现了一定的测量准确度体现了一定的测量准确度, ,不可任意取舍不可任意取舍, ,但但28002800、0.

38、020000.02000这样的表示方法有效数字的位数比较模糊这样的表示方法有效数字的位数比较模糊, ,应用科学记数法表示应用科学记数法表示例例: : 2800 2800可以表示为：可以表示为：2.82.810103 3； 2.802.8010103 3； 2.8002.80010103 3；3.3.PHPcPK等对数和负对数值等对数和负对数值 有效数字的位数仅取决于小数点后数字的位数有效数字的位数仅取决于小数点后数字的位数, ,整数部分只说明了该数据的方次整数部分只说明了该数据的方次例例: : H+ = = 6.310-12molL-1 有效数字位数为两位有效数字位数为两位 PH=11.20（

39、不能写成（不能写成PH =11.2PH =11.2） lgKa = -9.24; Ka = 5.810-10 二. 修约规则 “四舍六入四舍六入五成双五成双”当多余尾数多余尾数4时时,舍去尾数舍去尾数; 当尾数当尾数6时时,进位；进位；尾数正好是尾数正好是5时时 5后数字后数字不为零不为零,一律进位一律进位, 5后无数字或后无数字或为零为零，采用，采用“奇进偶舍奇进偶舍”方法修约方法修约 （5前是奇数进位前是奇数进位, 5前是偶数则舍去前是偶数则舍去5）例：例： 将下面数字修约为将下面数字修约为4位数字：位数字： (尾数尾数4,或或6) 1.36249 26.4863 1.362； 26.49

40、 (5后无数字或为零后无数字或为零) 1.0035 2.00450 1.004； 2.004 (5后数字不为零后数字不为零) 1.024501 1.023501 1.025； 1.024三.运算规则1. 1.加减法加减法: : 测量值相加减测量值相加减,它们的和或差保留几位有效数字它们的和或差保留几位有效数字,应以应以小数点后位数最少小数点后位数最少的数为依据。的数为依据。2-32-3例例1 1 原数原数 绝对误差绝对误差 修约后修约后 0.0121 0.0001 0.012 25.64 0.01 25.64 +) 1.027 0.001 + ) 1.027 26.6791 最大0.01 26

41、.682.2.乘除法乘除法: : 对几个有效数据进行乘除运算时对几个有效数据进行乘除运算时, ,它们的积或商它们的积或商的有效数字位数的有效数字位数, ,应以应以有效数字位数最少有效数字位数最少的为依据。的为依据。( (2-32-3例例2 2 0.03255.103 60.064 /139.82 = ? 最大的相对误差为最大的相对误差为: (0.001 / 0.0325) 100% 0.3% 有效数字位数应取三位有效数字位数应取三位3.3.注意注意: : ( (1)1)在运算过程中在运算过程中, ,将参与运算的各数字的将参与运算的各数字的有效数字修约到比该数应有的有效数字多一位有效数字修约到比该数应有的有效数字多一位数数( (安全数字安全数字) )然后再进行运算。然后再进行运算。例： 0.03255.10360.06 / 139.82 先修约到安全数字: 0.03255.10360.06 / 139.8 = 0.07