2021届高考数学艺体生文化课总复习第三章主观题专题五直线与圆点金课件

1、专题五专题五 直线与圆直线与圆从历年高考题看从历年高考题看,直线与圆的位置关系问题直线与圆的位置关系问题,是考查的重点之是考查的重点之一一,往往涉及直线与圆的几乎所有知识内容往往涉及直线与圆的几乎所有知识内容.主要考查的是直线与主要考查的是直线与圆的位置关系的判定圆的位置关系的判定,直线与圆中的定量直线与圆中的定量(弦长、距离等弦长、距离等)问题、问题、轨迹问题的分析轨迹问题的分析,直线与圆的方程直线与圆的方程(一般方程、参数方程和极坐标一般方程、参数方程和极坐标方程方程)等等,同时也强化了与其他知识同时也强化了与其他知识(不等式、圆锥曲线、函数等不等式、圆锥曲线、函数等)的综合的综合.从解决

2、这些问题的方法上看从解决这些问题的方法上看,能较好地考查待定系数法、能较好地考查待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等重要的思想数形结合思想、分类讨论思想、转化与化归思想等重要的思想方法方法,亦能较好地考查考生全面、严谨的思维习惯及思维品质等亦能较好地考查考生全面、严谨的思维习惯及思维品质等.历年高考命题分析历年高考命题分析年份年份试卷类型试卷类型2014201520162017201820192020新课标新课标卷卷121212新课标新课标卷卷1212新课标新课标卷卷【近近7年新课标卷考点统计年新课标卷考点统计】典例解析典例解析【例例】 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xo

3、y中中,已知圆已知圆p在在x轴上截得线段轴上截得线段长为长为 ,在在y轴上截得线段长为轴上截得线段长为(1)求圆心求圆心p的轨迹方程的轨迹方程;22222222222222,.1,.2 2:2( )()()()2 3:3()( 2.)3:11px yprpxyrpyxrxyyxpyx【解析】本题主要考查圆的基本知识 直线到圆的距离公式方程思想设圆 的圆心坐标为圆 的半径为由圆 在 轴上截得线段长为可得由圆 在 轴上截得线段长为可得从而可得即故 点的轨迹方程为双曲线2 22 3.【例例】 在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoy中中,已知圆已知圆p在在x轴上截得线段轴上截得线段长为长为 ,在在y轴

4、上截得线段长为轴上截得线段长为(2)若若p点到直线点到直线y=x的距离为的距离为 ,求圆求圆p的方程的方程.00002200002200002222|22,.221,| 1001110,10, 1 ,3.13( )()()()1.)()3(xypxypyxxyxxyyyxpppxyxy 设 点的坐标为由已知得又 点在双曲线上从而得解得或故 点的坐标为或此时圆 的半径都为故圆 的方程为或2 22 3.221.已知点已知点p(2,2),圆圆c:x2+y2-8y=0,过点过点p的动直线的动直线l与圆与圆c交于交于a,b两点两点,线段线段ab的中点为的中点为m,o为坐标原点为坐标原点.(1)求求m的轨

5、迹方程的轨迹方程;222222: 1:416,0,4 ,4,4 ,2,2,0,24 20,( )()()()()()()()()() 132,132.()()()cxycm x ycmx ympxycm mpxxyyxypcmxy 解方法一 因为圆 的方程可化为所以圆心为半径为设则由题设知故即由于点 在圆 的内部 所以的轨迹方程是考点训练考点训练1.已知点已知点p(2,2),圆圆c:x2+y2-8y=0,过点过点p的动直线的动直线l与圆与圆c交于交于a,b两点两点,线段线段ab的中点为的中点为m,o为坐标原点为坐标原点.(1)求求m的轨迹方程的轨迹方程;22222222:416,0,4 ,4,

6、2424,22241,22680()()()()()(,132,13)2.(abcmabcmabcmcxycyyyym x ykkkkxxxxyykkxxxyxyxymxy 方法二 因为圆 的方程可以化为所以圆心为半径为设设则所以化简得即所以的轨迹方程是1.已知点已知点p(2,2),圆圆c:x2+y2-8y=0,过点过点p的动直线的动直线l与圆与圆c交于交于a,b两点两点,线段线段ab的中点为的中点为m,o为坐标原点为坐标原点.(2)当当|op|=|om|时时,求求l的方程及的方程及pom的面积的面积.2:11,3,2,1183,.3334 104 1( )( )02 2,(),5516.5m

7、nopomopmpnonpmonllyxomopolpmpom 方法一 由可知的轨迹是以点为圆心为半径的圆由于故 在线段的垂直平分线上又 在圆 上 从而因为的斜率为 所以 的斜率为所以 的方程为又到 的距离为所以的面积为222222222:,| 2 2,| | 2 288,26801826160,.331,132,1,3|1 98|10510(1 2)(32( )()()()opomopxymxyxyxyxyyxlmxynnnldnp 方法二 依题意因为所以也在上所以两式相减得即此方程也就是 的方程由知的轨迹方程是设此方程的圆心为则所以圆心 到直线 的距离又224 1022 2558184 1

8、016,25510101816,335|.pomolhslyxp mmpo ,所以到 的距离,所以综上所述 的方程为的面积为2.已知圆已知圆m:(x+1)2+y2=1,圆圆n:(x-1)2+y2=9,动圆动圆p与圆与圆m外切并外切并且与圆且与圆n内切内切,圆心圆心p的轨迹为曲线的轨迹为曲线c.(1)求求c的方程的方程;22122212122()()()()():111,0 ,1;:191,0 ,3;,( )(.1,4)()(.,2,4)3mxymmrnxynnrpp x yrpmnpmpnrrrrrrcmnx解 由圆得圆的圆心为半径由圆得圆 的圆心为半径设圆 的圆心为半径为因为圆 与圆外切并且

9、与圆 内切所以由椭圆的定义可知曲线 是以、 为左、右焦点 长半轴长为短半轴长为的椭圆 左顶点除外 其方程为212 .3()yx 2.已知圆已知圆m:(x+1)2+y2=1,圆圆n:(x-1)2+y2=9,动圆动圆p与圆与圆m外切并外切并且与圆且与圆n内切内切,圆心圆心p的轨迹为曲线的轨迹为曲线c.(2)l是与圆是与圆p、圆、圆m都相切的一条直线都相切的一条直线,l与曲线与曲线c交于交于a,b两点两点,当圆当圆p的半径最长时的半径最长时,求求|ab|.222,222,2,2,0,2.,24.90,( )()()(2 3.)cp x ypmpnrrprpxyllyab对于曲线 上任意一点由于所以当

10、且仅当圆 的圆心为时所以当圆 的半径最长时 其方程为若 的倾斜角为时 则 与 轴重合 可得1122221,222190,|,4,0 ,:4 .|3 |21,.4122,21,444346 27880,7(181)()|.72|,4lrrlxlxqqprql yk xqmrklmkkxykyxxxxabkxxka 若 的倾斜角不为时 由知 不平行于 轴 设 与 轴的交点为则可求得所以可设由 与圆相切得解得当时 将代入并整理得解得所以当时 由图形的对称性可知18.718,2 3.7babab综上或3.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoy中中,已知圆已知圆c1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆和

11、圆c2:(x-4)2+(y-5)2=4.(1)若直线若直线l过点过点a(4,0),且被圆且被圆c1截得的弦长为截得的弦长为 ,求直线求直线l的的方程方程;22122: 1:4 ,40,2 3:4()12| 31 4 |,:1,17:2470,0.240,0;77,4 ,724280.24240724( )()()lyk xkxykcldkkkkkkkklyklyxxylyxy 解设直线 的方程为即由垂径定理得 圆心到直线 的距离由点到直线距离公式 得化简得解得或当时 直线 的方程为当时 直线 的方程为即所求直线 的方程为或280.2 33.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoy中中,已知圆已知

12、圆c1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆和圆c2:(x-4)2+(y-5)2=4.(2)设设p为平面上的点为平面上的点,满足满足:存在过点存在过点p的无穷多对互相垂直的的无穷多对互相垂直的直线直线l1和和l2,它们分别与圆它们分别与圆c1和圆和圆c2相交相交,且直线且直线l1被圆被圆c1截得的弦截得的弦长与直线长与直线l2被圆被圆c2截得的弦长相等截得的弦长相等,试求所有满足条件的点试求所有满足条件的点p的坐的坐标标.121122112222( )()()()2,1:,11:0,0.,:.41|5| 31|,11:(12)pm nllynk xmynxmkkxynkmxynmkklclccl

13、clnmknkmkkkkmn k 设点 坐标为直线 、 的方程分别为即直线 被圆截得的弦长与直线 被圆截得弦长相等 两圆半径相等由垂径定理 得 圆心到直线 与直线 的距离相等化简得385.2080,.30503 13()()(51:,.2222)mnmnkmnmnmnkmnmnp或关于 的方程有无穷多解或解之得 点 坐标为或4.如图如图,在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoy中中,点点a(0,3),直线直线l:y=2x-4,设圆设圆c的半径为的半径为1,圆心在圆心在l上上.(1)若圆心若圆心c也在直线也在直线y=x-1上上,过点过点a作圆作圆c的切线的切线,求切线的方程求切线的方程;2222(

14、 )()()()|(24: 13,2 ,11,:321,3,|323|30,1311132430043:334334120.)yxcyxccxycykxkkxykkkkkkkcyyxyxy 解由得圆心 为圆 的半径为圆 的方程为显然切线的斜率一定存在 设所求圆 的切线方程为即或者所求圆 的切线方程为或者即或者4.如图如图,在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoy中中,点点a(0,3),直线直线l:y=2x-4,设圆设圆c的半径为的半径为1,圆心在圆心在l上上.(2)若圆若圆c上存在点上存在点m,使使ma=2mo,求圆心求圆心c的横坐标的横坐标a的取值范围的取值范围.222222222222( )

15、(),()()2:24,24:2412,(3)2:14,:2 1(24)( 1)2 151280,r,()()|5cl yxcaacxayamamomx yxyxyxydmcdcdaaaaxa 解圆 的圆心在直线上设圆心 为则圆 的方程为又设为则整理得设为圆点应该既在圆 上又在圆 上 即 圆 和圆 有交点由得由121200512,: ,0.5axa得综上所述 的取值范围为5.已知已知o为坐标原点为坐标原点,f为椭圆为椭圆c: 在在y轴正半轴上的焦轴正半轴上的焦点点,过过f且斜率为且斜率为的直线的直线l与与c交于交于a、b两点两点,点点p满足满足(1)证明证明:点点p在在c上上;2212yx 2

16、0.oaobop 2222211223312121212312312: 1:1,0,1 ,221,142 210.22626,442,221,22,1,22( )()()()()()()()(2yfc xyfylyxxxxa x yb xyp xyxxxxyyxxxxxyyyp 证明由 为椭圆在 轴正半轴上的焦点 得的方程为代入并化简得设则由题意得所以点 的坐标为22, 1 .2, 11,.22)()ypxpc经验证点 的坐标满足方程故点 在椭圆 上5.已知已知o为坐标原点为坐标原点,f为椭圆为椭圆c: 在在y轴正半轴上的焦轴正半轴上的焦点点,过过f且斜率为且斜率为的直线的直线l与与c交于交于

17、a、b两点两点,点点p满足满足(2)设点设点p关于点关于点o的对称点为的对称点为q,证明证明:a、p、b、q四点在同四点在同一圆上一圆上.2212yx 20.oaobop 12222:, 1,1 ,222.2(2 1,422)()()()1.24pqpqlyabmmablyx 方法一 由和题设知的垂直平分线 的方程为设的中点为则的垂直平分线 的方程为122222122222 1,.882213 11()( 1),88883 23 21 (2),2422113 3()(),482883 11|(),8,.|llnnpabxxammnnaammnnpnanpnqnanbnanpnbnqapbqnn

18、a 由、得 、 的交点为故又所以由此知 、 、 、 四点在以 为圆心为半径的圆上5.已知已知o为坐标原点为坐标原点,f为椭圆为椭圆c: 在在y轴正半轴上的焦轴正半轴上的焦点点,过过f且斜率为且斜率为的直线的直线l与与c交于交于a、b两点两点,点点p满足满足(2)设点设点p关于点关于点o的对称点为的对称点为q,证明证明:a、p、b、q四点在同四点在同一圆上一圆上.2212yx 20.oaobop 1212121221211212( 1)( 1)22()()22:tan( 1)( 1)1122()()223()4()33 293()22papbpapbyyxxkkapbyyk kxxxxxxx x

19、xx 方法二21212121122112121122()22tan111122()224()3213()22,.qbqaqaqbyyxxkkaqbyykkxxxxxxx xxxapbaqbapbq 同理所以互补 因此 、 、 、 四点在同一圆上6.如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,n为圆为圆a:(x+1)2+y2=16上的一动上的一动点点,b(1,0),点点m是是bn中点中点,点点p在线段在线段an上上,且且(1)求动点求动点p的轨迹方程的轨迹方程;22222222: 1,0,.,4,4.,.1,24,22,4,3.1(3).4mbnmp bnpmbnpnpbpapnanpapb

20、pa bxyacababxyp 解由点是中点 又可知垂直平分所以又所以由椭圆定义知 点 的轨迹是以为焦点的椭圆设椭圆方程为由可得动点 的轨迹方程为0.mp bn 6.如图如图,在平面直角坐标系中在平面直角坐标系中,n为圆为圆a:(x+1)2+y2=16上的一动上的一动点点,b(1,0),点点m是是bn中点中点,点点p在线段在线段an上上,且且(2)试判断以试判断以pb为直径的圆与圆为直径的圆与圆x2+y2=4的位置关系的位置关系,并说明理并说明理由由.0.mp bn 0022200000200020102222222000000001( )()()231212,2()112.34241()2(

21、421,1,2440,0 ,2,111113()()(3)2242444)p xypbqqpbxyxxxpbqrxxyorxyxxxxxyyoqxxx 设点的中点为则即以为直径的圆的圆心为半径为又圆的圆心为半径又2000210021(11111.16241211,.4)xxxrrxxoqrr 故即两圆内切,7.如图如图,设设p是圆是圆x2+y2=25上的动点上的动点,点点d是是p在在x轴上的投影轴上的投影,m为为pd上的一点上的一点,且且|md|= |pd|.(1)当当p在圆上运动时在圆上运动时,求点求点m的轨迹的轨迹c的方程的方程;000022220022: 1,54,25:251.251(

22、 )()()465(mx y pxyxxyypxyxyxyc解设的坐标为的坐标为由已知得在圆上即轨迹 的方程为457.如图如图,设设p是圆是圆x2+y2=25上的动点上的动点,点点d是是p在在x轴上的投影轴上的投影,m为为pd上的一点上的一点,且且|md|= |pd|.(2)求过点求过点(3,0)且斜率为且斜率为 的直线被的直线被c所截线段所截线段的长度的长度.1122222122221212124423,03 ,55,4(3)3,152525341341380,2( )216()()(1)()25414141.()()()2()()55yxca x yb xyxxyxcxxxxababxxy

23、yxx过点且斜率为的直线方程为设直线与 的交点为将直线方程代入 的方程 得即解得线段的长度为45458.已知点已知点a(-3,0),b(3,0),动点动点p满足满足|pa|=2|pb|.(1)若点若点p的轨迹为曲线的轨迹为曲线c,求此曲线的方程求此曲线的方程;222222: 1,2.(3)2 (3).:516.( )()()px ypapbxyxycxy解设点 的坐标为且则化简得曲线8.已知点已知点a(-3,0),b(3,0),动点动点p满足满足|pa|=2|pb|.(2)若点若点q在直线在直线l1:x+y+3=0上上,直线直线l2经过点经过点q且与曲线且与曲线c只有只有一个公共点一个公共点m

24、,求求|qm|的最小值的最小值.2222125,0,4,.,|16,|53|,(4 2,232)()164.clcqqmcqcmcqcqlcqcqqm曲线 是以点为圆心为半径的圆 如图由直线 是此圆的切线 连接则当时取最小值此时的最小值为9.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoy中中,曲线曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都与坐标轴的交点都在圆在圆c上上.(1)求圆求圆c的方程的方程;222222222: 1610,1 ,32 2,0 , 32 2,0 .3, ,312 2,1.3(1)3.3( )()() ()()()()() 19.(yxxyxcttttctcxy解曲线与 轴的交点为与

25、轴的交点为故可设 的圆心为则有解得则圆 的半径为所以圆 的方程为9.在平面直角坐标系在平面直角坐标系xoy中中,曲线曲线y=x2-6x+1与坐标轴的交点都与坐标轴的交点都在圆在圆c上上.(2)若圆若圆c与直线与直线x-y+a=0交于交于a,b两点两点,且且oaob,求求a的值的值.11222222221,2212121212112202,(3)(1)9,228210.,56 1640.8256 164,421( )()()(4,.2,0.,)xyaa x yb xyxyyxaxaaaaaaaxaaxxa x xoaobx xy yyxa yxa 设其坐标满足方程组消去得方程由已知可得 判别式因

26、此从而由于可得又所以21212()20.1,0,1.x xa xxaaa 由得满足故10.已知过点已知过点a(-1,0)的动直线的动直线l与圆与圆c:x2+(y-3)2=4相交于相交于p,q两两点点,m是是pq的中点的中点,l与直线与直线m:x+3y+6=0相交于相交于n.(1)求证求证:当当l与与m垂直时垂直时,l必过圆心必过圆心c;11:,3,331 ,330.0,3,( )(),.()mllmkklyxxyllmlc 证明与 垂直 且故直线 的方程为即圆心坐标为满足直线 方程当 与 垂直时 必过圆心10.已知过点已知过点a(-1,0)的动直线的动直线l与圆与圆c:x2+(y-3)2=4相交于相交于p,q两两点点,m是是pq的中点的中点,l与直线与直线m:x+3y+6=0相交于相交于n.(2)当当|pq|= 时时,求直线求直线l的方程的方程;22:,1.,1 ,0,2 3,431,| 3|41,31:4340.14340.( )()lxxlxlyk xkxykpqcmkcmkklxylxxy 解 当直线 与 轴垂直时 易知符合题意当直线