排列组合与概率初步

1、a111级15班 雷寅排列组合与概率初步排列组合与概率初步 a2引入：两个根本原理a3分类计数原理亦称加法原理 做一件事，完成它可以有 n 类方案，在第 一类方案中有 m1 种不同的方法，在第二类方案中有 m2 种不同的方法， ， 在 第n 类方法中有 mn 种不同的方法 那么 完成这件事共有 Nm1 十 m2 十 十 mn 种不同的方法 a4A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次那么从那么从A A地到地到B B地的方法有地的方法有a+b+ca+b+c种种a5分步计数原理亦称乘法原理 做一件事， 需要分成 n 个步骤， 做第一 步有 m1 1 种不同的方法， 做第二步有 m2 2 种不同

2、的方法， ， 做第 n 步有 mn n 种 不同的方法，那么完成这件事共有：Nm1 1m2 2mn n 种不同的方法a6那么从那么从A A地到地到B B地的方法有地的方法有a ab b种种从从A A地到地到B B地须经由地须经由C C地转车地转车A地B地C地火车有a班次汽车有b班次a7有何区别？( o?)a8 备选方案中选哪一种方案都行，方案中的每一种方法 都能实现目的A地B地飞机有a班次火车有b班次汽车有c班次a9 任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，那么对应的完成此事的方法也不同A地B地C地火车有a班次

3、汽车有b班次a10Example 书架上层放有书架上层放有 6 6 本不同的数学书，下层放本不同的数学书，下层放 有有 5 5 本不同的语文书本不同的语文书 1 1从中任取一本，取法种数有从中任取一本，取法种数有 A.5 B.6 C.10 D.11 A.5 B.6 C.10 D.11 2 2从中任取数学书与语文书各一从中任取数学书与语文书各一本，有多少的取法？本，有多少的取法？ A.5 B.6 C.10 D. 30 A.5 B.6 C.10 D. 30a11排列组合a12排列 所谓排列，就是指从给定个数的元素中取出指定个数的元素进行排序 从n个不同元素中，任取m(mn)个元素 按照一定的顺序排

4、成一列，叫做从n个不 同元素中取出m个元素的一个排列a13排列数 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排 列数，用符号 A(n,m)表示。 A(n,m)=n(n-1)(n-2)(n-m+1)=n!/(n-m)! 此外规定0!=1a14Example 有0,1,2,，8这9个数字用这9 个数字组 成4位位数互不相同的密码，共有多少个不同的密码？ A(9，4)=9!/5!a15Example 有0,1,2,，8这9个数字用这9 个数字组 成位数互不相同的四位数，共有多少个不同的密码？ 8A(8，3)A(9，4)-A(8，3)a16组合组合那么是指

5、从给定个数的元素中仅仅取出指定个数的元素，不考虑排序从n个不同元素中，任取m(mn)个元 素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合a17组合数 从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数。用符号 C(n,m) 表示。 C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(n-m)!m!) C(n,m)=C(n,n-m)a18Example 从4名男生中和3名女生中选出男女各2人参加某个座谈会，那么不同的选法有多少种？ C(4，2)C(3，2)a19二项式定理a+b)n=Cn，0anb0+Cn，1a(n-1b1+Cn，na0bna20二项式

6、定理a+b)n的二项展开式共有n+1项，其中各项的系数Cn，r(r0，1，2，n)叫做二项式系数。a21二项式定理二项展开式的通项公式简称通项为Cn，r(a)(n-r)br，用Tr+1表示其中“r+1为角标，即通项为展开式的第r+1项a22二项式定理与杨辉三角杨辉三角的第n行就是n项二项式 展开式的系数列a23Example (x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为 22C(10,2)-1=179a24排列组合综合例题排列组合综合例题 打包法 插空法 反面法a25打包法打包法 在解决某几个元素要求相邻问题时，可在解决某几个元素要求相邻问题时，可整体考虑将相邻元素视为一个大元素整体考虑

7、将相邻元素视为一个大元素a26Example 有有8 8个不同的球，其中红球个不同的球，其中红球3 3个，黑球个，黑球2 2个，个， 白球白球3 3个，假设将这些球排成一列，个，假设将这些球排成一列，那么红球恰好排在一起，黑球也恰好排在那么红球恰好排在一起，黑球也恰好排在一起的一起的 排法共有多少种？排法共有多少种？ A(3,3)A(2,2)A(5,5)a27Example 假设有假设有A,B,C,D,EA,B,C,D,E五个人排成一排照相，五个人排成一排照相，A A和和B B不不 能相邻，那么不同的排法有多少种？能相邻，那么不同的排法有多少种？C(3,1)A(2,2)A(3,3)+A(3,2

8、)A(2,2)A(2,2)+A(3,3)A(2,2)a28插空法插空法 插空法一般用于解决间隔问题要求某插空法一般用于解决间隔问题要求某 些元素不能相邻，由其他元素将其隔开的些元素不能相邻，由其他元素将其隔开的 问题，解决此类问题，可以先将其他的问题，解决此类问题，可以先将其他的 元素排号，再将指定的不相邻元素插入元素排号，再将指定的不相邻元素插入 他们的空隙及两端位置他们的空隙及两端位置a29Example 假设有假设有A,B,C,D,EA,B,C,D,E五个人排成一排照相，五个人排成一排照相，A A和和B B不不 能相邻，那么不同的排法有多少种？能相邻，那么不同的排法有多少种？A(3,3)

9、A(4,2)a30反面法反面法 含含“至多、至多、“至少的排列组合问题是至少的排列组合问题是需需 要分类的，有时从反面思考，能够简化运要分类的，有时从反面思考，能够简化运 算算a31Example 在一批共在一批共100100件产品中，有件产品中，有3 3件次品，件次品，9797件件 正品，某次质检过程中须从这批产正品，某次质检过程中须从这批产品中抽检品中抽检3 3件，那么抽到次品的抽法有多少件，那么抽到次品的抽法有多少种？种？C(100,3)-A(97,3)a32组合中的分组问题组合中的分组问题 非平均分组与分配 平均分组与分配 局部平均分组与分配a33非平均分组与分配非平均分组与分配 某高

10、中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了请了9位评委老师位评委老师 (1)假设将假设将9位评委老师分成三组进行打分，位评委老师分成三组进行打分，使一组使一组2人、一组人、一组3人、一组人、一组4人的不同分法人的不同分法共有多少种？共有多少种？C(9,2)C(7,3)C(4,4)a34非平均分组与分配非平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了请了9位评委老师位评委老师 (2)假设将假设将9位评委老师分到赛场周围的东、位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使一处南、西三个位置进行打分，使一处2人，一人

11、，一处处3人，一处人，一处4人的不同分法有多少种？人的不同分法有多少种？C(9,2)C(7,3)C(4,4)A(3,3)a35非平均分组与分配非平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中邀请了请了9位评委老师位评委老师 (3)假设将假设将9位评委老师分到赛场周围的东、位评委老师分到赛场周围的东、南、西三个位置进行打分，使东边南、西三个位置进行打分，使东边2人，南人，南边边3人，西边人，西边4人的不同分法有多少种？人的不同分法有多少种？C(9,2)C(7,3)C(4,4)a36非平均分组与分配非平均分组与分配总结：假设总结：假设n个元素分成个元素分成m

12、组，组，m1,m2,.,mm为各组的元素个数且各不相为各组的元素个数且各不相等，那么非平均非组的方法种数等，那么非平均非组的方法种数N=C(n,m1)C(n-m1,m2)C(n-m1-m2,m3).C(mm,mm);不定向分不定向分配的分法种数配的分法种数M=NA(m,m);定向的非平定向的非平均分配问题与非平均分组一样均分配问题与非平均分组一样a37平均分组与分配平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中 邀请了邀请了9位评委老师位评委老师 (1)假设将假设将9位评委老师平均分成三组打分，位评委老师平均分成三组打分，那么那么 不同分法有多少种？不同分

13、法有多少种？C(9,3)C(6,3)C(3,3)/A(3,3)a38平均分组与分配平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中 邀请了邀请了9位评委老师位评委老师 (2)假设将假设将9位评委老师平均分成三组，并分位评委老师平均分成三组，并分到到 东、西、南三个位置打分，那么不同分法东、西、南三个位置打分，那么不同分法 有多少种？有多少种？C(9,3)C(6,3)C(3,3)a39平均分组与分配平均分组与分配总结：总结：(1)问由于平均分组在分步取的过程中问由于平均分组在分步取的过程中隐含了排列问题，而实际中不含排列问题，隐含了排列问题，而实际中不含排列问

14、题，故要除以组数的全排列数，而第二问那么故要除以组数的全排列数，而第二问那么直接得出了答案。也可以理解为直接得出了答案。也可以理解为(2)问问的答案为的答案为(1)问的答案乘以组数的全排列数问的答案乘以组数的全排列数a40局部平均分组与分配局部平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中 邀请了邀请了9位评委老师位评委老师 (1)假设将假设将9位评委老师平均分成四组打分，位评委老师平均分成四组打分，一一 组组3人，其余每组人，其余每组2人，那么不同分法有多人，那么不同分法有多 少种？少种？C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)/A(3,3)a4

15、1局部平均分组与分配局部平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中 邀请了邀请了9位评委老师位评委老师 (2)假设将假设将9位评委老师分到东、南、西、北位评委老师分到东、南、西、北四四 处打分，一处处打分，一处3人，其余每处人，其余每处2人，那么不人，那么不 同分法有多少种？同分法有多少种？ C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)/A(3,3)A(4,4)a42局部平均分组与分配局部平均分组与分配 某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中某高中在一次举行校园舞蹈大赛活动中 邀请了邀请了9位评委老师位评委老师 (3)假设将假设将9位评委老师分到四处打

16、分，使东位评委老师分到四处打分，使东 边边3人，其余每处人，其余每处2人，那么不同分法有多人，那么不同分法有多 少种？少种？ C(9,3)C(6,2)C(4,2)C(2,2)a43局部平均分组与分配局部平均分组与分配总结：局部平均分组问题先按总结：局部平均分组问题先按“非平均分组非平均分组列式后再除以等分组的阶乘；局部均匀列式后再除以等分组的阶乘；局部均匀分配问题可以遵循先分组后排列的原那么分配问题可以遵循先分组后排列的原那么a44概率a45相互独立事件事件事件A A是否发生对事件是否发生对事件B B发生的概率没有影发生的概率没有影响，那么称两个事件响，那么称两个事件A A、B B相互独立相互

17、独立a46二项分布用用表示随机试验的结果表示随机试验的结果如果事件发生的概率是如果事件发生的概率是P,P,那么不发生的那么不发生的概概 率率q=1-pq=1-p，N N次独立重复实验中发生次独立重复实验中发生K K次的概次的概率是率是P(=K)= C(n,k) P(=K)= C(n,k) pk pk (1-p)(n- (1-p)(n-k)k)a47Example 随机抛掷随机抛掷100100次硬币，恰有次硬币，恰有5050次正面朝上次正面朝上的概率是多少？的概率是多少？C(100，50)(1/2)50(1-1/2)50a48几何分布几何分布几何分布Geometric distributionGeometric distribution是离是离散型散型概率分布。其中一种定义为：