数学必修五总结及例题

1、一数列 1. 等差数列的定义与性质定义：（为常数），等差中项：成等差数列前项和性质：是等差数列（1）若，则（2）数列仍为等差数列，仍为等差数列，公差为；（3）若三个成等差数列，可设为（4）若是等差数列，且前项和分别为，则（5）为等差数列（为常数，是关于的常数项为0的二次函数）的最值可求二次函数的最值；或者求出中的正、负分界项，即：当，解不等式组可得达到最大值时的值. 当，由可得达到最小值时的值. (6)项数为偶数的等差数列，有：，.（7）项数为奇数的等差数列，有：，.（2013课标全国）已知等差数列an的前n项和Sn满足S30，S55.(1)求an的通项公式； (2)求数列的前n项和解：(1)

2、设an的公差为d，则Sn.由已知可得 解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知， 从而数列的前n项和为 .2. 等比数列的定义与性质定义：（为常数，），.等比中项：成等比数列，或.前项和：性质：是等比数列（1）若，则（2）仍为等比数列,公比为.（2013天津）已知首项为的等比数列an的前n项和为Sn(nN*)，且2S2，S3,4S4成等差数列 (1)求数列an的通项公式； (2)证明(nN*)解：（1）设等比数列an的公比为q，因为2S2，S3,4S4成等差数列， 所以S32S24S4S3，即S4S3S2S4，可得2a4a3，于是.又a1，所以等比数列an的通项公式为.(

3、2)证明， 当n为奇数时，随n的增大而减小，所以.当n为偶数时，随n的增大而减小，所以.故对于nN*，有.3求数列通项公式的常用方法（1）求差（商）法如：数列，求解： 时， 时， 得：，（2）叠乘法 如：数列中，求解： ，又，.（3）等差型递推公式由，求，用迭加法时，两边相加得（4）等比型递推公式（为常数，）可转化为等比数列，设令，是首项为为公比的等比数列，（5）倒数法如：，求由已知得：，为等差数列，公差为，(附：公式法、利用、累加法、累乘法.构造等差或等比或、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法)4. 求数列前n项和的常用方法(1) 裂项法把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现

4、成对互为相反数的项. （2013江西）正项数列an满足（2n1）an2n=0（1）求数列an的通项公式an；（2）令bn=，求数列bn的前n项和Tn解：（1）由正项数列an满足：（2n1）an2n=0，可有（an2n）（an+1）=0an=2n（2）an=2n，bn=，bn=，Tn=数列bn的前n项和Tn为（2）错位相减法若为等差数列，为等比数列，求数列（差比数列）前项和，可由，求，其中为的公比. （2012年高考（浙江文）已知数列an的前n项和为Sn,且Sn=,nN,数列bn满足an=4log2bn+3,nN.(1)求an,bn;(2)求数列anbn的前n项和Tn. 解：(1) 由Sn=,得

5、 当n=1时,; 当n2时,nN. 由an=4log2bn+3,得,nN. (2)由(1)知,nN 所以, , ,nN. （3）倒序相加法把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加. 相加已知函数，点、是函数图象上的任意两点,且线段的中点的横坐标为求证：（）点的纵坐标为定值（）在数列中,若，求数列的前项和解：（）的中点的横坐标为，的纵坐标为是定值（） 由（）知：， 又令倒序得：得：二正余弦定理1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即=2R。有以下一些变式：（1）；（2）；（3）2.正弦定理在解三角形中的应用：（1）已知两角和一边解三角形，只有一解。（2）已知两边和其中一

6、边的对角，解三角形，要注意对解的个数的讨论。可按如下步骤和方法进行：先看已知角的性质和已知两边的大小关系。如已知a，b，A，（一）若A为钝角或直角，当ba时，则无解；当ab时，有只有一个解；（二）若A为锐角，结合下图理解。若ab或a=bsinA，则只有一个解。若bsinAab，则有两解。若absinA，则无解。也可根据a，b的关系及与1的大小关系来确定。(2012江西数学)17.（本小题满分12分） 在ABC中，角A,B,C的对边分别为a，b，c。已知，。 （1）求证： （2）若，求ABC的面积。 解：3.余弦定理：三角形任意一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍

7、，即。4.推论：在ABC中，若a2+b2=c2，则C为直角；若a2+b2c2，则C为锐角；若a2+b2c2，则C为钝角。（2010安徽）设是锐角三角形，分别是内角A，B，C所对边长，并且 （）求角A的值； （）若，求（其中） 解：（I）因为 （II）由可得 由（I）知所以 由余弦定理知及代入，得+2，得，所以因此，c，b是一元二次方程的两个根.解此方程并由三不等式1.一元二次不等式一元二次不等式的概念：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2 的不等式称为一元二次不等式一元二次不等式的解集：使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个一元二次不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一

8、元二次不等式的解集。二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：例1：若关于x的不等式（m+1）x1+m的解集是x1，则满足的条件是_解：（m+1）x1+m，x1，m+10，m-1例2：关于x的不等式（m2-4m+3）x2+2（m+1）x+10对任意xR都成立，则实数m的范围是_x+95x+1xm+1解：当m2-4m+30时，（m2-4m+3）x2+2（m+1）x+1图象是抛物线，它的函数值要恒为正，则开口向上且与x轴没有交点解得m；另一方面，当m2-4m+3=0时不成立则实数m的范围是m；故答案为：m；例3：不等式组 的解集是x2，则m的取值范围是（） Am1 Bm1 C

9、m1 Dm1解：x+95x+1xm+1，由得：x2，由得：xm+1，不等式组的解集是x2，2m+1，m1，故选C2.基本不等式：（当且仅当ab时取“=”号）；变式：，（当且仅当ab时取“=”号），即两个正数的算术平均不小于它们的几何平均。；对基本不等式的理解：(1)基本不等式的证明是利用重要不等式推导的，即，即有+02)基本不等式又称为均值定理、均值不等式等，其中的算术平均数，的几何平均数，本定理也可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数(3)要特别注意不等式成立的条件和等号成立的条件均值不等式中：当a=b时取等号，即对于两个正数x，y，若已知xy，x+y，中的某一个为定值，可求出

10、其余各个的最值：如：（1）当xyP（定值），那么当x=y时，和x+y有最小值2，；（2）x+y=S（定值），那么当x=y时，积xy有最大值，；（3）已知x2+y2=p，则x+y有最大值为，基本不等式的几种变形公式：例1：已知a，b为正实数，2baba30，求函数y的最小值.法一：a， abb由a0得，0b15令tb+1，1t16，ab2（t）34t28 ab18 y 当且仅当t4，即b3，a6时，等号成立。法二：由已知得：30aba2b a2b2 30ab2令u则u22u300， 5u33，ab18，y例2：求的值域。解析一：本题看似无法运用均值不等式，不妨将分子配方凑出含有（x1）的项，再将

11、其分离。当,即时,（当且仅当x1时取“”号）。解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x1，化简原式在分离求最值。当,即t=时,（当t=2即x1时取“”号）。3.线性规划二元一次不等式表示的平面区域：二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐标系中表示直线ax+by+c=0某一侧所有点组成的平面区域。不等式ax+by+c0表示的是另一侧的平面区域。可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解（x，y）称为可行解；由所有可行解组成的集合称为可行域； 使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做线性规划问题的最优解。用一元一次不等式（组）表示平面区域：(1) 一般地，直线l:ax+by+c

12、=0把直角坐标平面分成了三个部分：直线l上的点(x，y)的坐标满足ax+by+c=0；直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax+by+c0;直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax+by+c0所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0+by0+c的值的正负，即可判断不等式表示的平面区域，可简称为，特殊点定域”(2)不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.例1: 已知|2xym|3表示的平面区域包含点（0,0）和（1,1），则m的取值范围是（）O2x y = 0y2x y + 3 = 0A、（-3,6）B、（0,6）C、（0,3）D、（-3,3）解：|2xym|3等价于 由右图可知 ,故0m3，选C例2：某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，