(完整版)高等数学中有理分式定积分解法总结

1、131由十个例题掌握有理分式定积解法【摘要】当被积函数为两多项式的商P(x)的有理函数时，解法各种各样、不易掌握，Q(x)在此由易到难将其解法进行整理、总结【关键词】有理分式真分式假分式多项式除法 拆项法凑微分法定积分P X两个多项式的商称为有理函数，又称为有理分式，我们总假定分子多项式P XQ x与分母多项式Q x之间无公因式，当分子多项式P x的次数小与分母多项式Q x，称有理式为真分式，否则称为假分式.1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项 式与一个真分式之和的形式.x3x arctanx C例1.22x4x2x21dx解原式2x2x213 x2-2dxx212 x2

2、dx2xx21dx-x34arctan x x C例 1.13x1 启 dxx 1解原式C223x x2x3x2dx3 x2dx1 x dx12x .dxx211x21dx3 x2dxdx飞dx x211323总结：解被积函数为假分式的有理函数时，用多项式出发将其化简为多项式和真分式之和的形式，然后进行积分对于一些常见函数积分进行记忆，有助于提高解题速度，例如：dx 1 Jx 1xdx1Rx对于真分式 一Q x，若分母可分解为两个多项式乘积Q x=Qix Q2x，且Qix，Q2x无公因式，则可拆分成两个真分式之和:R丄，上述过程称为Q xQ2x把真分式化为两个部分分式之和若Q x或Q2x再分解

3、为两个没有公因式的多项式乘积，则最后有理函数分解式中出现多项式、Rx2等三类函数，则多项2Ix px q式的积分容易求的2.先举例，有类型一、类型二、类型三，以此为基础求解较复杂的真分式积分2.1类型一(ax b)mdxkcx例2.1.1x 132dxx3解原式=23x23x-2x=xdx3 dx12=_ x23x 3In x-dxx1dxxx总结：当被积函数多项式与单项式相乘的形式，将其进行化简，使被积函数为简单幕函数, 然后利用常见积分公式进行运算2.2类型二kcxax例2.2.12x3dxx 2解 令x+2=t,则x t 2， 有dx dt4252十,t2原式=3dxtt24t4亠t3d

4、t11dt 4-2dt 4tt2=Int+4- $+C t t1t3dt262x总结：当被积函数形如时解法求解2.3类型三kcxmax bdx,将其用换元法转换为(axkb)dx，再按照后者cx例2.3.1x3P xdxax2bx cdx原式=x3dt1设 x-1=tant,x=tant+1,dx=set2tdt上式=“31+tant22set2tdt set2t32tan t 3tan t 3tant 1 ,xdtset2t= sin31 cos11 3sin tcost 3sin2tcos t dt=-123cos t costd cost + sin 2tdtdtcos2tdt=-InQ

5、 tant=x-1.cost=,sint=上式=2Inx22x 212x24x 42arctan x 12x 2x22x 27例2.3.22%1dxx 2x 312x 22=乙dxx 2x 3总结：当被积函数分母含有ax2+bx+c时，可以用凑微分法进行积分 可将其变形为T2x +1或者是1-T2x ,然后利用三角函数恒等变形sin2x+cos2x=1和1+tan2x=set2x将T2x降次，便于计算3.以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理真分式的积分例 3.122x+3dxx 3x 10 解法 122x+3dxx 3x 10二飞d x23x 10 x23x 10=In x23

6、x 10 +C解法 22*+3dxx 3x 102x+32x+3_ A B = =+x 3x 10 x+5 x 2 x 5 x 2=A B x 5B 2A 11x 5 x 2 x 5 x 2原式=- dxx 5 x 2=In x 3x 10 +C总结：假分式分母可以因式分解， 将被积函数化为部分分式之和的形式，然后用基本积分公2d x2x22x 32x 3 -2-dx2=-In x2;对于形如ax2bx+c时，+C8总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进行因式分解，拆项除此之外，常见的还有，可化为有理函数的积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积VpMdx， 一d .虽然形式式进行运算例3.2x 22x 1 x2xdx1原式=2xx2=Ind 2x 1J2x 12x2x-dx11 c ,1-2x 1 一 J 2dx xx 11d x2x 1dx3412x 1-2x2+ 丄 arcta n、3+C例3.3-x 1 xdx1dxx 2x22x 1dx22x2x11-d12x2xx 11x 1x 11dx2x 1dxx 1函数中含有三角函数的分式函数，例：1+s in xsin x 1 cosxdx.例如被积函数中含有1x2-2x