(完整版)高等数学期末复习-多元函数微分学

1、高等数学期末复习第九章多元函数微分学 一、内容要求1 会求简单二元函数定义域2、 会求多二元函数表达式和值3、 会求简单二元函数的极限4、 掌握二元函数偏导数定义，性质，能确识别二元函数偏导数定义形式，得出偏导数正确 表达5、 会求二元函数偏导数值：求偏导函数，代入点求值6、 会求二元函数微分值：求偏导函数，代入点求微分表达式7、 会按一元函数求导法则求直接函数的偏导数8、 会由轮换对称性确定多元函数对称元导数9、 会用链式规则求抽象形式多元函数的偏导数10、 会求多元函数全微分11、 会求多元隐函数的偏导数12、 会求二元函数驻点，判定二元函数极值的存在性13、 能观察出简单多元函数极值情况

2、14、 能应用多元函数求极值方法解决简单应用问题15、 会求空间曲面的切平面、法线方程16、 会求空间曲线的切线、法平面方程17、 会求多元函数的方向导数18、 会求多元函数的梯度 二、例题习题1、二元函数 z arcsin#的定义域是()xA.(x,y)|y| |x|B.(x,y)|y| |x|x 0解:使函数z arcsin，有意义，只要|y| 1,x0,即| y | |x|,x0,所以，选B.(内xx容要求 1)12、函数f (x, y) In(x y) 2的定义域为_ ；x y解：使函数f (x, y)ln(x y)J2有意义，只要x y2 2x y 0,x y 0，所以填( x, y

3、) | x y 0,x2y20(内容要求 1)C.(x, y)| y | |x|x 0D.( x, y)|y| |x|x 02fx(0,0)2xx3、设f (x y, x y)x2y2,则z AX22 22(A)x y(B)x y解：令u x y,v x y，则xf (x,y)().(C)(xy)2(D)xyu vu v,y于是222 2f (x y, x y) x y f (u, v) uv即由函数与自变量记号选取无关性有f (x, y) xy。所以选D。（内容要求 2）4、设f(x, y)2 2x y2xy，贝V f (2, 3)解:49f(2,3)13，所以填1213。12（内容要求 2

4、）5、A.解:xy） ；B.C.1D.0斯斯,0).xy 1xy(0,0)(、 ； xy 1xy1) G xy 11)Cxy 1 1)川川0）xy 1 1所以选 A。（内容要求sin xyx(x,yl)im(0,0)解:(x,y)im(0,0)sin xyx所以填 0。（内容要求7、(x,yim(2,0)sin xyylim沁(x, y) (0,0) Lxyylim沁(x, y) (0,0)xy(x,y)m(0,0)y 03)解:(x,yim(2,0)sin xysin xylimlim x(x,y) (2,0)xy(x,y) (2,0)2，所以填 2。（内容要求 3）8、函数f （x, y）

5、在点（0,0）处存在偏导数，则limx 0f(0,0) f (2x,0)();1A.2 fx(0,0)解：由偏导数定义，1B.fx(0,0)limf(0,0)f(2x,0)x 0c.2lxm02fx(0,0)2fx(0,0)f(2x,0)f(0,0)所以选 Co（内容要求 4）2fx(0,0)2xxx2xx1(A)解:2L2，x(B)2z2y2x(C)22，所以zx y(D)12，所以选C。(内容要求 5)(1,1)14、ln(1x2y2)，则dz|x1y 2解:z _2y x2y 1 x2-，故9、 函数f (x, y)在点(0, 0)处存在偏导数，则lim -f(0,0)f(0, y)()

6、；y o2yA12 fy(0, 0)1B 2fy(0,0)c.2fy(0, 0)D.2fy(0,0)解: 由偏导数定义，limf(o,o)f(o,y)limf (0, y)f(0,0)1fy(0,0)y 02y2y oy2所以选 B。(内容要求 4)函数f (x, y)在点(X。，yo)处存在偏导数，则limf(x), yo)x 011、函数f (x, y)在点(xo, yo)处偏导数存在是f (x, y)在点(xo, yo)处连续的(y(1, 1)f(xox, y)xfx(Xo, yo)Bfx(xo, yo)Cfy(Xo, yo)Dfy(x), yo)由偏导数定义，limf(Xo,yo) f

7、(XoX, yo)|imx oxx o所以选 A。(内容要求 4)解:亦So)f(Xo,yo) fx(xo,yo)10、);A .充分必要条件解：(内容要求B 必要条件4)C .充分条件D .既不充分也不必要条件12、设函数f(x, y)x2X. y，则fy(1,1)().(A)(B)2(D)3解:fy(x,y)x碍，所以fy(1,1)1，所以选2C。(内容要求 5)13、设z2z则).1yyxy x1 2 1 2dx dy，所以填dz|xidx dy。(内容要求 6)33y 233y z arcta nxA.2x2 xB.x2C.D.解:所以选D。（内容要求17、sin).(A)解:(B)(

8、C)爲cos#x x(D)2cosHx xycosx1-cos xy，所以选xA。（内容要求 7）dz|x ily215、设丄1 n(1x22y )，则dz|(1,1)解:x2xz _yy 1 x2z1 z所以，|x 1,|xy 13zixdz|xly1dxdy,所以填dz3dx1严。（内容要求6)16、设1yyxy x).sin (x2y2)2cos( x2y2) 4x2si n(x2y2)y2) 4x2sin( x2y2)，所以选 D。(内容要求1&设z2 2sin(x yz)，则2x(A)sin (x2y2)(B)(C)4x2s in (x2y2)(D)解：二x2xcos(x222Zy)

9、,2x22cos( x7)19、设z ln ，贝 U (x x);A.B.1C.D.z11xy解:-，所以选 D.（内容要求 7）x20、(1xy)y解:(1xy)yln(1 xy) (1 xy)y(1 xy)yx1 xyln（1 xy），所以填(1xy)yx1 xyln(1xy）。（内容要求 7）21、若函数z2x2xy2，则-zx解:-4x xy2，所以填4x y2。（内容要求 7）22、设z 2cos2（x讣，验证22z-2y解:z 2cos2(xcos(2xy)2sin(2 xsin (2 x y)2-2cos(2 xx yy),cos(2xy），将上述导数代入式子左端得 0，所以等式

10、成立。（内容要求 7）23、设z4x2y22、z，求2,2,x y x y2z2z2z解:x4x322z8xy ,2x12x28y2,16xy由x, y在表达式中的对称性,2z-2y12y8x2,16xy。（内容要求 8）24、设z，求2z2x2z2yz解：x2 2x y2z2xx2由x, y在表达式中的对称性,y2x222、3y).(x2x2r 巧，所以，.(x2y2)3x2yy2)32z2xv2y（内容要求 8）25、ln( x、y)，求解:26、解:/y2设z ln(x2x22,x y2( . x:y)：yy2），求2zx2.，所以,2zx, y在表达式中的对称性,1-（内容要求 8）(

11、x4x222、2y )2y2(x22x222,y ) x y4xy由x, y在表达式中的对称性,2x2（内容要求 8）27、设zln (exey)， 验证2z2x2z2y2=0.解:xxex y,2e e xxexeey(ex2xee )ex y(exey)2 x yxe(e ey)2由x, y在表达式中的对称性,2z2yexyx y 2(e e )，将上述各导数代入式子左端得0,所以等式成立。（内容要求2&设zdz解：dt29、z2xcostu ln v,usint，y COst，求全导数轨解:ln v分为dzyl n(x30、设z2y si ntxy,vy)1。（内容要求 9）y，求,及全

12、微分dz.x yyl n(x y)旦x ydx xl n(xx y-lnv x xln(x y) y vy）xdy。（内容要求 9）x yy2,其中f u可微，则y，xxv2y解：zx2xf x22y，-zy1 2yfx2y2，所以y xx-zx y容要求 9）31、 设zf(x2y2xy,e），其中f有 阶连续偏导数，求-zJzxy解:z2xf,yez2yfiex yf2。（内容要求 9)xy33、u f：（y乙zuux, x y）有连续偏导数，求ux yz解:uf2f3,-ufif3,uf1f2，所以，uuuxyzxyz，所以填X.（内0（内容要求 9）().z的全微分34、设zxy,则y

13、(A)(y1)dx y(x(C)(y1)dx y(x解:z1zy ,10)xyy35、函数z In (x)解:z1Jzxx yyxx2)dyy-)dyydz(B)(D)所以dz的全微分为，所以x y36、设yxey0，则dx(y(y(y1)dxy1)dxy1)dxy(x(x(xx2)dyy1 -)dyyx2）dy，所以选 A。（内容要求y1dz(dxx y).dy) 所以填dz - (dx dy)x yxey10解:37、(A)解:(A)解:ey(A)厂ey(B)飞(C)1xeyey(D)e(y xey)0yeyyxe yey1 xey，所以选 B。（内容要求 11）设z z（x, y）是由方

14、程ezyzze xy(B)yzzexyyzzxy xz（x, y）是由方程(B)x3z2x3yz3xy 0 x要求 11）39、设方程解:40、 设方程2y解:2 ezy41、设方程xyz解:zxz xy -y42、2设方程x解:xyz0所确定的隐函数，则xy(C)eyz(D)3xyz空，所以选xyxyze yzB。（内容要求 11）0所确定的隐函数,zz(C)xyyz2z :，同理,xy).则有(D).ez确定了二元函数zf (x, y)，则一zx丄，所以填ez1（内容要求0确定了二元函数-所以填1ez确定了二元函数z（x, y），则f(x, y)，z24zxz2z xy11)-o（内容要求

15、 11）1，所以选 A。（内容xz-，所以填e xyxz o(内容要求 11)e xy0确定了二元函数z（x, y），则一zy- J，所以填一o（内容要求 11）y 2 z2 zxey10容要求 12)23x y43、设方程xy z sinz 0确定了二元函数z(x,y)，则_zz解：y cosz - xx-，所以填一y。(内容要求 11)x cosz 1cos z 144、设函数f (x, y)2y2013，则()(A)(0,1)不是f (x,y)的驻点(B)(0,1)是f(x,y)的驻点，但非极值点(C)(0,1)是f (x, y)的极小值点(D)(0,1)是f(x,y)的极大值点解:fx

16、(x, y) 2x, fy(x, y)2y2, fxx(x, y)2, fXy(x, y) 0, fyy(x, y)因为(0,1)满足fx(x, y) 0，fy(x, y) 0,所以是驻点，又A fxx(0,1)2,Bfxy(0,1) 0,C fyy(0,1)有A 0, AC B20，(0,1)是f (x, y)的极大值点。故选 D。(内容要求 12)345、设z x 3xy，则它在点(1,0)处()A.取得极大值C.取得极小值B.无极值D.无法判断是否有极值解：-3x23,上xy，所以z x33x y无驻点,不存在偏导数不存的点，故选 B。(内容要求 12)46、设z 4(x y)2y，则它

17、在点(2，-2)处(解:47、(A)(C)解:A.取得极大值C.取得极小值-4 2x,-zy函数f (x, y)取到极小值取不到极值fx(x, y) 2x二元函数zx2B.无极值D.无法判断是否有极值2 22y,z2,z0,xx y4y22, fy(x, y)2x在驻点(1,0)处(2z2y2，故选 A。(内容要求 12)(B)取到极大值(D)无法判断是否有极值8y,fxx(x,y)2, fxy(x, y)0, fyy(x, y) 8,故选 A。(内6x 12y 5在(3,2)处();容要求 12)23x yA.无法判断是否有极值B.取不到极值C.取到极大值D.取到极小值22 22(2 )22

18、 2 2解：-z2x6,-z3y212,-z2z2,-z0,6y，故选 C。（内容要求 12）xyxx yy49、 二元函数z3x3y3x23y29x的极小,值点为（）；A.(3,0)B.(3,2)C.(1,0)D.(1,2)3x2z222解：6x9,3y26y,26x6,-0,-26y 6，故选 C。xyxx yy（内容要求 12）50、二元函数33z x y3x23y29x的极大值点为(）；A.(1,0)B.(1,2)C.( 3,0)D.(3,2)3x26x 9,22z2解:3y26y,z6x 6,0,26y6，故选 D。xyxxyy（内容要求 12）4251、 函数z 3 x 2y的极大

19、值为 _;解：显然在（0, 0）处取极大值 3,所以填 3。（内容要求 13）2452、 函数z 3x y 5的极小值为 _解：显然在（0，0）处取极小值 5，所以填 5。（内容要求 13）53、 某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼最大的放养数32 x2 y0 x42 x4y0y解得x2,y432 2?2(22 2)由实际问题，产鱼总量最大的放养数是甲种鱼放养（万尾） ， 乙种鱼放养43（万尾）（内容要求 14）的收获量分别为：（3 x y） x和（4x 2 y) y，(0），求使产鱼总量解：产鱼总量z 3x 4y2 2x 2 xy 2 y，所以xy

20、x 21212 254、曲面z x y 1在点（2,1,4）的切平面方程为（） .(A)4x 2y z 6 0(B)(C)x 2 y 1 z 4(D)421解:2x,二2y，所以，2z xxy点（2,1,4）的切平面方程为4（x4x 2y z 140 x 2 y 1 z 4 F2y 1在点(2,1,4)的法向量为4,2,1，所以在2) 2( y 1) (z 4)0,整理得4x 2y所以选 A。（内容要求 15）55、曲面x2y2z 10在点（2,1,4）的法线方程为（） .(A)4x 2y z 6 0(B)4x 2y z 140(C)(D)56、曲面e z xy3在点（2,1,0）处的切平面方

21、程为（).x 2 y 1z(A)(B)xy z 41 23(C)x 2y 40(D)x 2y 40解：令F(x, y, z) ezz xy 3，则F y,x,Fez1，由此得(2,1,0)处法xyz向量为1,2,0，所以得切平面方程为x 2 y40,所以选Co（内容要求15)解：由前题已求得在（2,1,4）的法向量为4,2,1，所以选 C。（内容要求 15）).257、曲面x xy 8x z 5(A)x 2y 3 z 1,r、x 2y 3 z 112 1(B)12 1x t2(C)x 2yz 50(D)y t3z t10在点（2, 3,1）处的法线方程为（F解:令F(x, y,z)x2xy 8

22、x z 5，则F2x y 8,x,匚1，由此得z(2,3,1）处法向量为 1, 2,1，所以法线方程为仏卫三，所以选 A。（内容xyx 21212 2y z 9在点（1,2,2）处的切平面方程为x 1法线方程为2（内容要求 16）3260、曲线x 1, y t , z t在点（1,1,1）处的切线方程为,法平面方程为2解:x 0,y 3t , z 2t，所以切向量为0, 3, 2，切线方程为法平面方程为0(x 1) 3(y 1) 2(z 1)0 3y 2z 502361、在曲线x t, y t , z t上求出其切线平行于平面x 2y解：设切点处参数为t，由x 1,y 2t,z 3t2，得切点处切向量为1,2t,3t2。又平面21x 2y z 4的法向量为1,2,1，于是1 4t 3t 01一上1，故切点坐标为31 11（1,1,1）或（一， ）。（内容要求 16）要求 15）解