高中数学(人教版)对弧长曲线积分课件

1、第一讲第一讲 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、一、 对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的计算2 、对弧长的曲线积分的应用、对弧长的曲线积分的应用对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一一 、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的计算2 、对弧长的曲线积分的应用、对弧长的曲线积分的应用一、一、 对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念（一）引例（一）引例（二）对弧长

2、的曲线积分的定义（二）对弧长的曲线积分的定义一、一、 对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念（一）引例（一）引例（二）对弧长的曲线积分的定义（二）对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量曲线形构件的质量oxyAB1 nMiM1 iM2M1M),(ii L分割分割: :121, nMMMiiiisM ),( 求和求和: : niiiisM1),( 取极限取极限: : niiiisM10),(lim 取近似取近似: :线密度线密度 ),(yx 设有一曲线形构件设有一曲线形构件占有占有xoy面内一段曲线弧面内一段曲线弧L曲线形构件的质量曲线形构件的质量?12,nsss一、一、 对弧长的曲线积分的

3、概念对弧长的曲线积分的概念（一）引例（一）引例（二）对弧长的曲线积分的定义（二）对弧长的曲线积分的定义一、一、 对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念（一）引例（一）引例（二）对弧长的曲线积分的定义（二）对弧长的曲线积分的定义定义定义并作和并作和,),(1 niiiisf ),(yxf设设 为为 面内的一条光滑曲线弧面内的一条光滑曲线弧, ,函数函数在在 上有界上有界. .LxoyL, ,is 设第设第i 个小段的长度为个小段的长度为在在L 上任意插入一点列上任意插入一点列把把L分成分成n个小段个小段. . 121, nMMM作乘积作乘积), 2 , 1(),(nisfiii 又又为第为

4、第i 个小段上任意取定个小段上任意取定),(ii 的一点的一点, , 如果当各小弧段的长度的最大值如果当各小弧段的长度的最大值 时时, ,这和的极限总存在这和的极限总存在, ,即即01( , )dlim(,).niiiLif x ysfs 函数函数f( (x, ,y) )在曲线弧在曲线弧L上上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分或或第一类曲线积分第一类曲线积分, ,( , )d .Lf x ys 其中其中f( (x, ,y) )叫做叫做被积函数被积函数, ,L叫做叫做积分弧段积分弧段. .0 且与曲线弧且与曲线弧L的分法及点的分法及点 的取法无关，那么称此极限为的取法无关，那么称此极限为),(ii

5、 记作记作.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 曲线形构件的质量曲线形构件的质量: :.d ),( LsyxM l注注(1)(2) 函数函数f( (x, ,y) )在光滑曲线弧在光滑曲线弧L上连续时上连续时, ,( , )dLf x ys存在存在函数函数f( (x, ,y, ,z) )在空间曲线弧在空间曲线弧上对弧长的曲线积分上对弧长的曲线积分函数函数f( (x, ,y) )在闭曲线在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为上对弧长的曲线积分记为.d ),( Lsyxf对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、一、 对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的

6、曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的计算2 、对弧长的曲线积分的应用、对弧长的曲线积分的应用对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、一、 对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的计算2 、对弧长的曲线积分的应用、对弧长的曲线积分的应用12( , )d( , )d( , )d .LLLf x ysf x ysf x ysddd( , )( , )( , )( , ).( , )( , )( , )( , ).LLLf x yg x ysf x ysg x ys线性性质线性性质可加性可

7、加性不等式不等式在在L上上),(),(yxgyxf ( , )d( , )dLLf x ysg x ys ( , )d( , ) dLLf x ysf x ys 特别地特别地物理意义物理意义dLss 与方向无关与方向无关( , )d( , )dLLf x ysf x ys 对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、一、 对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的计算2 、对弧长的曲线积分的应用、对弧长的曲线积分的应用对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、一、 对弧长的曲线积分的概念对弧长的曲线积分的概念、对弧

8、长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的计算2 、对弧长的曲线积分的应用、对弧长的曲线积分的应用 ),(),(tytx )( t设设f(x,y) )在曲线弧在曲线弧L上有定义且连续上有定义且连续, ,L的参数方程为的参数方程为定理定理若若上具有一阶连续导数上具有一阶连续导数, ,且且)(),(tt , , 0)()(22 tt 在在则曲线积分则曲线积分syxfLd ),( 且且存在存在, ,)( 22( , )d( ),( )( )( )dLf x ysfttttt )( 22( , )d( ),( )( )( )dLf x ysfttttt l注

9、注(1) 对弧长的曲线积分的计算归结为计算一个对弧长的曲线积分的计算归结为计算一个定积分定积分! !(2) 化为定积分中的三个变化化为定积分中的三个变化在上述公式中在上述公式中, ,下限下限一定小于上限一定小于上限.L, f(x,y) ( ),( )fttds22( )( )dttt (3)口诀口诀: :变量参数化、一小二起下变量参数化、一小二起下. .(4)特例特例(1)L：0( )()yxxxX (2)L：0( )()xyyyY 推广推广空间曲线弧空间曲线弧：( ),( ),( )()xtytztt)(d)(1)(,d),(020XxxxxxfsyxfLXx )(d)(1),(d),(02

10、0YyyyyyfsyxfLYy )(d)()()()(),(),(d),(222 ttyttttfszyxfL)( 22( , )d( ),( )( )( )dLf x ysfttttt 对弧长的曲线积分解题思路对弧长的曲线积分解题思路明确明确L的方程的方程化为定积分化为定积分明确明确选择选择参数方程参数方程( )yx ( )xy ( , )dLf x ys 三变、一注意三变、一注意( , )f x y积分弧段积分弧段L被积函数被积函数( ( ),( )ftt弧长元素弧长元素ds一点注意一点注意,22( )( )dttt 下限一定小于上限下限一定小于上限 22( ),( )( )( )dftt

11、ttt 计算定积分计算定积分确定确定参数范围参数范围对弧长的曲线积分解题思路对弧长的曲线积分解题思路明确明确L的方程的方程化为定积分化为定积分计算定积分计算定积分对弧长的曲线积分解题模板对弧长的曲线积分解题模板L:明确明确选择选择确定确定t参数范围参数范围必写必写!建议事先求出建议事先求出,可视情省略可视情省略( , )d( ( ),( )dLf x ysfttt 由由 得得L的方程为的方程为:L的方程为的方程为:ds=xyoB11xyod ,Ly s2yx(0,0)O(1,1)B计算计算其中其中L是抛物线是抛物线上点上点与与之间的一段弧之间的一段弧.u例例1 1ABu例例2 2,e22dsL

12、yx 其中其中L 为圆周为圆周直线直线 及及x轴在第一象限轴在第一象限,222ayx 内所围成的扇形的整个边界内所围成的扇形的整个边界.计算计算xy u例例3 3dxyz s( , , )( , , )A 1 0 2( , ,)( , ,)B 2 11计算计算其中其中为连接为连接与与的直线段的直线段.2al注注可视情将可视情将L的方程代入被积函数的方程代入被积函数!利用对称性简化对弧长的曲线积分的计算利用对称性简化对弧长的曲线积分的计算L关于关于x轴对称轴对称( ,)( , )f xyf x y 0( ,)( , )f xyf x y12( , )dLf x ys ( ,)xy( , )x y

13、1LxoyL关于关于y轴对称轴对称类似类似L关于关于y=x对称对称( , )dLf x ys 利用对称性简化对弧长的曲线积分的计算利用对称性简化对弧长的曲线积分的计算L关于关于x轴对称轴对称012( , )dLf x ys L关于关于y轴对称轴对称类似类似L关于关于y=x对称对称( , )dLf x ys ( , )x yxoy( , )y x( , )d( , )dLLf x ysf y xs u例例4 4 计算计算其中其中L为为,d)(32 Lsyx.222Ryx ( ,)( , )f xyf x y ( ,)( , )f xyf x y对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的计算2 、对弧长的曲线积分的应用、对弧长的曲线积分的应用对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分一、对弧长的曲线积分的概念一、对弧长的曲线积分的概念、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的性质、对弧长的曲线积分的计算、对弧长的曲线积分的计算