经典可积系统及KTV方程

1、装订线经典可积系统与KdV方程数学与应用数学 费春生 指导教师 王鹏【摘要】在论文中，我们首先介绍可积系统的一些基本概念。之后，我们详细介绍一下椭圆函数的有关知识，并演示KdV方程的推导过程，然后利用简单的非线性方程和简化的模型来将行波转化为简洁的常微分方程求解，获得孤立波解并讨论解的有关性质。下一步，我们将介绍一种求解KdV方程的普遍方法-反散射法，并演示利用这种方法来求解KdV方程来获得单孤立子解的过程。【关键词】 可积系统 KdV方程 椭圆函数 孤立波解 反散射法【Abstract】In the thesis,we firstly introduce some basic concept

2、s of integrability. After that we introduce the knowledge of the elliptic function in detail and demonstrate the derivation of the KdV equation,and then use simple non-linear equations and simplified models to simplify the traveling wave to simple ordinary differential equation.then we get the solit

3、ary wave solutions and discuss the nature of the solution.Next,we will introduce a method for solving general KdV equation,named the inverse scattering method,and demonstrate the use of this method to solve the KdV equation for the single-soliton solutions.【Keywords】integrability KdV equation ellipt

4、ic function solitary wave solutions the inverse scattering method 目录1 可积系统与孤立波1.1 广义的可积系统1.2 刘维尔可积系统2 KdV方程与孤立波解2.1 孤立子的历史背景2.2 KdV方程的推导2.2.1 KdV方程关于孤立波的解释2.2.2 KdV方程的导出2.3 预备知识：椭圆函数和椭圆方程2.4 KdV方程及其孤立波解3 反散射法3.1 反散射法求解KdV方程3.2 KdV方程的单孤立子解参考文献谢辞1 可积系统1.1 广义的可积系统一般地可积系统，我们没有办法给出非常明确的定义，但是我们可以通过一些说明来解释

5、可积系统的一些相关知识和性质，以助于我们更多地了解可积系统和KdV方程。随着科学技术的发展，线性模型已经不足以反映客观世界的变化规律。20世纪50年代以来，人们从对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，并由此产生了孤子理论。在孤子理论中，通常将带时间变量t及一维空间变量x的孤子方程称为“1+1维的方程”。它可从对空间x与时间t的联立谱问题中导出。设 x=M， （1.1.1）t=N。 （1.1.2）这里是x，t的n维向量函数，M，N是nn矩阵，其元素中包含有谱参数及以x，t为自变量的m维向量函数u(x，t)及其各阶导数。为了使方程（1.1.1）和（1.1.2）同时有解，必需满足协调性条件, x

6、t=tx。由此，得， xt.=Mt+Mt=Mt+MN=tx=Nx+NM。即Mt-Nx+M,N=0.其中M,NMN-NM。 （1.1.3）这个方程在微分几何中称为零曲率方程。适当选取M、N，可以导出许多孤子方程，例如KdV方程（KdV），广义的KdV方程（MKdV），非线性薛定谔方程(NLS)，伯格方程（BG）等等。例：取M=-iqri，N=ABC-A，其中A=j=03ajj，B=j=03bjj，C=j=03cjj ，并假设a0=a1=a2=0，a3=-4i，得到孤子方程qt+6qqx+qxxx=0，这就是我们要讨论的KdV方程。还有一种导出孤子方程的方法是由Lax最早指出的：.给定一个线性算子

7、，满足以下谱方程：L=；（其中是谱参数） （1.1.4）.设参数与t无关，谱不变，t=0； （1.1.5）.还满足以下线性方程：t=A，（A也是一个算子） （1.1.6）若要求同时满足（1.1.4）和（1.1.6），则L，A满足一下算子方程：Lt=ALLAA，L. （1.1.7）（1.1.7）称为Lax方程，L，A称为Lax对。由Lax对能推导出一些重要的孤子方程。例：取L=x2+u（x，t）为薛定谔算子，A=（x3+2ax+axa）为反对称算子，其中是常数，a=a（x，t）。可推导出ut+6uux+uxxx=0，这和我们利用零曲率方程推导出的方程一样，也是一种KdV方程。一般意义上的可积系统

8、就是从孤子方程的定义中推广而来的。1.2 刘维尔可积系统可积系统中还有一类十分特殊的类别，我们称之为有限维可积系统。设qi、pi（其中i=1，n）是力学系统的广义坐标和广义动量。如存在哈密顿函数H=H（qi,pi）,使qi、pi的演化满足以下方程dqidt=Hpi，dpidt=-Hqi，（i=1,2，n） （1.2.1）引进泊松括号F，G=j=1n（FqjGpj-FpjGqj） （1.2.2）则（1.2.1）可改写为qi=（qi，H），pi=（pi，H），qi=dqidt，pi=dpidt （1.2.3）而且，qi、pi满足以下基本关系式:qi,qj=pi、pj=0，qi，pj=ij. （1.

9、2.4）在引进泊松括号，且qi、pi满足（1.2.4）时，方程（1.2.1）称为哈密顿系统。qi、pi也称为动力学变量。显然，它是2n维的一阶方程组。如果存在I=I（qi，pi），使得当qi、pi是（1.2.1）的解时，有dIdt=0， （1.2.5）则称I是“（1.2.1）的一个守恒量”。如果两个互相独立的守恒量I1、I2满足I1，I2=0. （1.2.6）便称I1、I2是对合的。由此我们可以给出有限维刘维尔意义下的可积系统。定义 如果哈密顿系统（1.2.1）存在n个互相独立的守恒量Ii（i=1,2，,n）,它们两两对合，则称（1.2.1）是“在刘维尔意义下的可积系统”。2 KdV方程及其孤

10、立波解2.1 孤立子的历史背景孤立子理论是数学物理领域的一个重要的组成部分。近几十年来引起国际上数学界和物理学界的充分关注，得到迅速发展，孤立子往往也称为孤立波，它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解以及与之对应的物理现象。用物理的语言来说，这些性质是：（1）能量集中在一个较狭小的区域；（2）孤立子之间相互作用时会出现弹性子和波的许多性能。这些特殊的性质使得它在许多的科学领域都有着重要的应用，如流体力学、等离子体物理、超导物理、非线性光学、经典场论和量子场论等等都存在着孤立子以及与孤立子理论密切相关的重要现象。近年来，人们也在更广泛的意义下理解孤立子这一术语，比如具有性质（1）的一

11、些稳定解有时也称为孤子解。孤立子的发现可以追溯到1834年，英国数学家Scott Russel于1834年8月在一次偶然的机会中观察到的。他在1844年英国科学促进协会第14届会议报告文集中发表波动论一文，文中讲述他在运河里发现一个波形不变的水团，该水团在一两英里之外的河道转弯处逐渐消失的奇观。Russel本人当时未能从理论上对此作出论证，致使有关孤立波的问题在物理学家中引起了长期而广泛的争论。直到1895年，Korteweg和他的学生de Vries提出了一个非线性演化方程（即著名的KdV方程），他们用该方程的行波解成功解释了Russel所观察到的孤立波现象。历史跨越了70年，1965年，美

12、国物理学家Kruskal和Zabusky通过数值模拟方法详细研究了KdV方程两波相互作用的全过程。他们对作用前后所得的数据进行分析后发现孤波的形状和速度保持不变而具有弹性散射的性质，所以Kruskal和Zabusky又将这种稳定的孤波称为孤子。从此一个研究非线性发展方程与孤子的热潮在学术界蓬勃发展起来，随着研究的不断深入，孤立波现象在分子生物等多个领域不断被实验观察到，孤子已经被人们看做是解释复杂非线性系统动力学行为的结构基础。现在孤子已经形成了自己独特的理论和研究方法，并且在科学的多个领域中寻觅到它应用的踪迹，其他相关学科的发展也不断补充和丰富着孤子理论。2.2 KdV方程的推导2.2.1

13、KdV方程关于孤立波的解释波动中会出现两种常见的现象，一种是非线性的会聚现象，还有一种是色散现象。当这两种效应之间达到相互间的巧妙平衡时，就产生了孤立波。下面我们进行稍微详细一点的说明。首先对不可压缩介质，在用 nt+nxxt=0 （2.2.1）所表示的粒子随时间与坐标变化的关系中，粒子密度n应该可以用粒子的速度v来代替（这是因为v=v（n）而n=n（v）=v+k1v2+k2v3+,取一阶近似）。将速度看成是常数，则总加速度dvdt=vt+vvx=0，即有 vt+vvx=0 （2.2.2）其中vvx为非线性项。现在考虑水面波动的色散关系，可以证明，若忽略表面张力，在重力作用下，水波的色散关系为

14、 （k）=gktanh（kh） （2.2.3）其中h为水深，g为重力加速度。对式（2.2.3）进行级数展开，并略去高阶项后，有 （k）=k-k3 （2.2.4）式中=gh，=16h2gh。由对应关系写t-i，xik出对应的方程应为 vt+vx+3vx3=0 （2.2.5）现在将导致波形坍塌的非线性效应的方程（2.2.2）和色散效应的方程包含到一个方程中，就得到KdV方程 vt+(+v)vx+3vx3=0 （2.2.6）KdV方程一个重要的特点就是同事包含色散项vxxx和非线性项vvx，但方程的解却没有色散，这时由于色散和非线性两种效应所产生的结果相互抵消，所形成的解才以孤立波的形式出现，在传播

15、过程中保持不变。接下来我们将详细推导KdV方程并且讨论它的孤立波解，由于KdV方程的孤立波解是由一类椭圆函数来说明的，所以接下来我们先介绍一下椭圆函数和椭圆方程的有关知识。2.2.2 KdV方程的导出考虑在三维空间某确定区域中的流体的运动。设在时刻t，点（x，y，z）出流体的速度为v=v（x，y，z，t）。以=（x，y，z，t）表示流体的密度，F=F（x，y，z，t）表示作用在单位流体质量上的体力，p=p（x，y，z，t）是流体内部的压强，则流体的连续性方程和动量方程分别为 t+v=0， (2.2.7) vt+（v）v=-1p+F， (2.2.8)其中=（x，y，z）是Hamilton算子（或

16、称梯度算子）。假设流体不可压缩（=常数）且在重力作用下做无旋运动，即rotv=v=0，对单连通区域无旋运动必有一个势函数，使 v=， (2.2.9)此时由公式（ab）=b（a）+（b）a+a（b）+（a）b，有（12vv）=（12|v|2）=（12|2）=（v）v-v（v）=（v）v，由此并适当选取坐标系，使重力加速度g的方向为z轴的负方向，则方程（2.2.7）和方程（2.2.8）化为 v=0， （2.2.10） vt+12|v|2=-1p-gk. （2.2.11）将速度势（2.2.9）带入方程（2.2.10）和方程（2.2.11），并对式（2.2.11）的空间部分进行积分得 2=0 （2.2

17、.12） t+12（）2+gz+p=C(t). （2.2.13）为了避免任意函数C（t）的出现，可取=-0tC（t）dt+p0pt来代替速度势而不受影响，即仍有 v= （2.2.14）于是方程（2.2.12）和方程（2.2.13）化为 2=0 （2.2.15） t+12（）2+gz+p-p0=0. （2.2.16）其中p0表示流体自由表面上的大气压力。方程（2.2.15）是Laplace方程。所以实质上我们要求的是满足Laplace方程还要依赖于t的解，解出以后，从式（2.2.16）便可以计算出压强p，再从式（2.2.14）得出速度v。此时动量方程（2.2.11）自动满足。现在假设流体在固壁容

18、器中运动，但流体的表面和空气接触。设流体表面的方程为 f（x，y，z，t）=0 （2.2.17）若用x=x（t），y=y（t），z=z（t）表示此表面上一条流线的方程，它们也应该同时满足流体表面的方程，即 f（x（t），y（t），z（t），t）0 (2.2.18)沿着这条流线，流体速度向量v的分量为u=dxdt，v=dydt，w=dzdt （2.2.19）将式（2.2.18）对t求导，并注意式（2.2.19），有fxu+fyv+fzw+ft=0.用速度势表示，上式就是 fxx+fyy+fzz+ft=0 （2.2.20）这就是流体表面的一个边界条件，特别地，如果流体表面的方程可表示为显式z=（x

19、，y，t），那么此时表面上的边界条件（2.2.20）就可以写成 xx+yy+t=z （2.2.21）同样，在运动的刚性底面z=h（x，y）上，流线的法向速度为零，即有 hxx+hyy-z=0 （2.2.22）若底面为一平面z=-h（h为常数），则得刚性边界条件 z=0 （2.2.23）此外，流体表面上的压强应和大气压强相等，设大气压强为常数，那么由式（2.2.16）可以得到流体表面上的另一个边界条件。这样，就得到了不可压缩流体在无限大刚性河床上的流动所满足的定解问题，即Laplace方程（2.2.15）和自由表面及刚性底面条件： （xx+yy+t-z）z=（x，y，t） =0， （2.2.24

20、a） t+12（x2+y2+z2）+gzz=（x，y，t） =0， （2.2.24b） zz=-h=0. （2.2.24c）现在考虑平面波的情形。假设在与一竖直平面平行的各平面内流体具有完全相同的运动，取这竖直平面为xOz坐标面，且Ox轴位于流体静止时的水平面上，这时只需考虑处在坐标面xOz上流体质点的运动。从而上述定解问题化为 xx+zz=0， （2.2.25a） （xx+t-z）z=（x，t）=0， （2.2.25b） t+12（x2+z2）+gzz=（x，t） =0， （2.2.25c） zz=-h=0. （2.2.25d）式中z=（x，t）是流体自由表面与坐标平面的交线。引入参 数 =

21、ah，=h2l2 （2.2.26）其中a为平面波德振幅，l为波长，因此当取最小值时表示波长较长，取最小值时表示振幅较小。再取为水平刚性底面测量的流体高度，在变换z=+h，t=lct，x=lx，z=hz =a，=glac，c2=gh （2.2.27）下，定解问题（2.2.25）变为（省略变量字母上的撇号）xx+zz=0（0z1+ ）， （2.2.28a）zz=0=0， （2.2.28b）（xx+t-1z）z=1+=0， （2.2.28c）t+12x2+12y2+ z=1+=0. (2.2.28d)式（2.2.28a）和式（2.2.28b）的通解可以表示为=m=0（-1）m1（2m）!2mfx2m

22、mz2m， （2.2.29）这里f=f（x，t）是x的解析函数。将解（2.2.29）代入到边界条件（2.2.28c）和式（2.2.28d），得到t+（1+）fxx-16（1+）3fxxx+12（1+）2fxxxx +O( 2)=0， （2.2.30）+ft+12fx2-12（1+）2(fxxt+fxfxxx-fxx2) +O（ 2）=0. （2.2.31）在以上两式中忽略一次以上的项，又令=fx，并将式（2.2.31）对x求导一次，得到t+（1+） x=0， （2.2.32）t+t+x=0. （2.2.33）在式中（2.2.30）和式（2.2.31）中，保留的一次项，忽略2以上的项，得到t+（

23、1+） x-16xxx=0， （2.2.34）t+t+x-2xxt=0. （2.2.35）由式（2.2.32）和式（2.2.33）可设 =+A+B， （2.2.36）其中A,B是及其导数的待定函数。将式（2.2.36）代入到式（2.2.34）和式（2.2.35）中，得到t+x+（Ax+2x）+（Bx-16xxx）=0， （2.2.37）t+x+（At+x）+（Bt-16xxt）=0. （2.2.38）若取A=-142，B=13xx，则式（2.2.37）和式（2.2.38）分别成为t+x+ 32x+ 16xxx=0， （2.2.39）t+x-（12t-x）-16xxt=0. （2.2.40）在式

24、（2.2.39）中再做变换t=（6）1/2t，x=（6）1/2x，=14（+23）， （2.2.41）且将t，x和仍记为t，x，就得到了KdV方程t+6x+xxx=0. （2.2.42）而方程（2.2.40）称为BBM方程。如果在式（2.2.39）和式（2.2.40）中只保留和的零次项，则有t=-x，这时BBM方程也变成KdV方程。需要指出的是，我们推导出的KdV方程（2.2.42）只是常见的标准型式之一。KdV方程的一般形式可以表示为ut+auux+buxxx=0， （2.2.43）其中u=u（u，t）是动力学量，而a和b是不为零的常数。我们可以通过标度变换使uxxx项或uux项前得系数有常

25、数倍的改变，这并不会改变方程的基本性质。KdV方程的常见形式有ut+6uux+ uxxx=0ut-6uux+ uxxx=0ut+uux+ uxxx=0ut+uux+uxxx=0等等。2.3 预备知识：椭圆函数和椭圆方程（1）椭圆积分：形如R（x，y）dx的积分称之为一般椭圆积分，其中R(x，y)是x和y的有理函数，而y2是x的四次或三次多项式，即y2=P（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e. （2.3.1）当a=0时，y2是x的三次多项式，即P（x）是x的三次多项式，此时做变换x=1，则y2=P（x）=P（1）= b（1）3+c（1）2+d（1）+e=P1()4=14（e4+d3+c2+b

26、）， （2.3.2）即P1()是的四次多项式。反之，若已知函数（2.3.1）的一个零点x1，做变换x=x1+1，则有y2=P（x）=P（x1+1）=a（x1+1）4+b（x1+1）3+c（x1+1）2+d（x1+1）+e=P2()4 =14（4ax13+3bx12+2cx1+d）3+（6ax12+3bx1+c）2+（4ax1+b）+a， （2.3.3）可见P2()是的三次多项式。由于三次多项式和四次多项式情形可以简单地相互变换，它们相应的积分的性质是一样的，都是椭圆积分。普通椭圆积分可以归结为几个基本椭圆积分的组合，由于我们行波解中利用到的只是第一类Legendre椭圆积分所诱导的椭圆函数，所

27、以在此我们只做一下简单的说明：定理1：由y2=P（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e我们可以把R(x,y)表示为R(x,y)=R1（x）+R2（x）y，其中R1（x），R2（x）为x的有理函数。积分R1（x）dx可以用初等函数表达，只剩下R2（x）ydx是椭圆积分。R2（x）可表示为R2（x）=m=0namxm+p=1qk-1pbpk(x-hp)k。其中am，bpk为常数。由此可见椭圆函数归结为下面两种类型Im=xmydx，Jk=dx（x-h）ky （2.3.4）在P（x）是三次多项式的情形下，可以证明Im和Jk能用三个基本椭圆积分I0,I1,J1表达。证明过程如下:求微商ddx(xmP(

28、x)=mxm-1P(x)+xm2P（x）P(x)=1y mxm-1（ax4+bx3+cx2+dx+e）+12xm（4ax3+3bx2+2cx+d） =1y（m+2）axm+3+（m+32）bxm+2+（m+1）cxm+1+（m+12）dxm+mexm-1. （2.3.5）求积分，得，(m+2)aIm+3+（m+32）bIm+2+（m+1）cIm+1+（m+12）dIm+meIm-1=xmP(x)+C，其中C为积分常数。 （2.3.6）当P（x）为三次多项式时，a=0，上式中依次令m=0,1，时，给出Im用两个基本椭圆积分I0,I1表达。同样求微商有ddxP(x)（x-h）k=1（x-h）k+1

29、yx-h2Px-kP(x)=1y-kP(h)（x-h）k+1+(12-k)Ph（x-h）k+1-kP（h）2（x-h）k-1+（14-k6）P（h）（x-h）k-2， （2.3.7）求积分，得，-kP(h) Jk+1+（12-k）PhJk+（1-k）2P（h）Jk-1+（14-k6）P（h）Jk-2=P(x)（x-h）k+C. （2.3.8）很显然有J0=I0，J-1=I1-hI0。上式中依次令k=1,2，我们求出Jk由I0,I1,J1表达。接下来我们讨论P（x）为四次多项式时，如何得到第一类Legendre椭圆积分的标准型.1.根据代数学基本定理，实系数四次多项式可以表示为两个实系数二次三项

30、式的形状，ax4+bx3+cx2+dx+e=a（x2+px+q）（x2+px+q）。利用分式线性替换x=ut+vt+1，选取合适的u与v，我们得到R（x，P(x)）dx=R（ut+vt+1，M+Nt2（M+Nt2）（t+1）2）u-v（t+1）2dt，这样可以改写成如下形状R（t，A1+mt2（1+mt2）dt，当A，m与m异于0时.2.仿照定理1的证明过程，可以把这么积分在相差一个有理函数积分的范围内化为R（t）A1+mt2（1+mt2）dt.然后分解有理函数R（t）成为两项R（t）=R（t）+R（-t）2+R（t）-R（-t）2.第一项当以-t代替t时不改变自己的值，所以，可化为t2的有理

31、函数：R1（t2）；第二项在前述的代换时改变符号，因此有R2（t2）t的形状。所考虑的积分可表示为积分的和R1（t2）A1+mt2（1+mt2）dt+R2（t2）tA1+mt2（1+mt2）dt的形式。但是，它们中的第二项可用过替换u=t2立即化成初等积分并在有限形状中求得，所以只需进一步研究积分R1（t2）A1+mt2（1+mt2）dt就够了。3.我们要说明积分R1（t2）A1+mt2（1+mt2）dt的每一种可能性都可以表示为下面形式R（z2）1-z2（1-k2z2）dz其中k是某一正真分数：0kh0）。为了使根式有实值，必须使t1h。我们令ht=z，这里0zhh。在这种情况下dty=dzh1-z2（1-h2h2z2）于是这里应该取k=hh。.A=+1，m=-h2，m=h2（h，h0）。为了使根式有实值，必须使t1h。令ht=1-z2，这里0h0）.t的变换不受任何限制。令ht=z1-z2，这里0z0）。t的变化受不等式t1h所限制。取ht=11-z2，这里0zh0）。为了使根式有实值，必须使1ht1h。令ht=1-h2-h2h2z2，这里0z0，方程（2.4.11）成为u2=-A（u-b1）（u-b2）（u-b3），A0，b1b2b3，其中