第七章 梁的应力和强度计算

1、1271 梁的正应力梁的正应力72 梁的正应力强度条件及应用梁的正应力强度条件及应用73 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力74 梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件第七章第七章 梁的应力和强度计算梁的应力和强度计算37-1.1 7-1.1 梁的应力情况梁的应力情况由图可知，在梁的由图可知，在梁的acac、dbdb两段内，各横截面上两段内，各横截面上既有剪力又有弯矩，这既有剪力又有弯矩，这种弯曲称为种弯曲称为剪切弯曲剪切弯曲( (或或横力弯曲横力弯曲) )。 在梁的在梁的cdcd段内，各段内，各横截面上只有弯矩而无横截面上只有弯矩而无剪力，这种弯曲称为剪力，这种弯曲称为纯纯弯曲弯曲。 41

2、1、剪切弯曲、剪切弯曲内力内力剪力剪力q q 切应力切应力t t弯矩弯矩m 正应力正应力s s2、纯弯曲纯弯曲内力内力：弯矩弯矩m 正应力正应力由以上定义可得：由以上定义可得：57-1.2 7-1.2 现象和假设现象和假设1.纯弯曲实验纯弯曲实验 横向线横向线(a b、c d）变形）变形后仍为直线，但有转动；后仍为直线，但有转动；（一）梁的纯弯曲实验一）梁的纯弯曲实验纵向对称面纵向对称面bdacabcdmm 纵向线变为曲线，且上纵向线变为曲线，且上缩下伸；缩下伸； 横向线与纵向线变形后横向线与纵向线变形后仍正交。仍正交。横截面高度不变。横截面高度不变。6纵向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。纵

3、向纤维间无挤压、只受轴向拉伸和压缩。 平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转平面假设：横截面变形后仍为平面，只是绕中性轴发生转动，距中性轴等高处，变形相等。动，距中性轴等高处，变形相等。中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴（横截面上只有正应力横截面上只有正应力）2. 根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的根据上述的表面变形现象，由表及里地推断梁内部的变形，作出如下的变形，作出如下的两点假设：两点假设：73 . .两 个 概 念两 个 概 念中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因中性层：梁内一层纤维既不伸长也不缩短，因而纤维不受拉应力和压应力，此层纤维称中性而纤维不

4、受拉应力和压应力，此层纤维称中性层。层。中性轴：中性层与横截面的交线。中性轴：中性层与横截面的交线。中性层中性层纵向对称面纵向对称面中性轴中性轴8 一、公式推导一、公式推导：变形的几何关系变形的几何关系应力与应变间物理关系应力与应变间物理关系静力平衡条件静力平衡条件正应力计算公式正应力计算公式导出导出7-1.3 纯弯曲梁正应力纯弯曲梁正应力9（二）正应力公式（二）正应力公式变形几何关系变形几何关系物理关系物理关系ysesye静力学关系静力学关系z1eimzimys为梁弯曲变形后的曲率为梁弯曲变形后的曲率1为曲率半径为曲率半径由以上分析得由以上分析得10 m 横截面上的弯矩横截面上的弯矩 y 所

5、计算点到中性轴的距离所计算点到中性轴的距离 iz 截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩zimys（三）正应力公式适用条件（三）正应力公式适用条件不仅适用于纯弯曲，也适用于剪力弯曲；不仅适用于纯弯曲，也适用于剪力弯曲；适用于所有截面。适用于所有截面。（四）应力正负号确定（四）应力正负号确定 m为正时为正时,中性轴上部截面受压下部截面受拉中性轴上部截面受压下部截面受拉; m为负时为负时,中性轴上部截面受拉下部截面受压中性轴上部截面受拉下部截面受压. 在拉区在拉区s s为正为正,压区压区s s为负为负117-2 .1 最大正应力最大正应力 最大正应力最大正应力危险截面危险截面: 最大弯矩所在截面

6、最大弯矩所在截面 mmax危险点：距中性轴最远边缘点危险点：距中性轴最远边缘点 ymaxmaxmaxmaxzmyismaxyi wzz抗弯截面模量。抗弯截面模量。zwmmaxs 令令 则则一般截面，最大正应力发一般截面，最大正应力发生在弯矩绝对值最大的截生在弯矩绝对值最大的截面的上下边缘上；面的上下边缘上；12dddda)1 (32 43maxadyiwzz圆环bhd6212 23maxbhhbhyiwzz矩形322/64/ 34maxdddyiwzz圆形wzwz 抗弯截面模量抗弯截面模量maxyi wzz抗弯截面模量。抗弯截面模量。13s 材料的容许应力maxmax zmwss7-2.2 7

7、-2.2 正应力强度条件及计算正应力强度条件及计算1 1、正应力强度条件：、正应力强度条件： 矩形和工字形截面梁正应力矩形和工字形截面梁正应力 s smax=m/wz wz = iz /(h/2) 特点：特点： s smax+= s smax- t形截面梁的正应力形截面梁的正应力 s smax+ =m/w1 w1 = iz / y1 s smax- =m/w2 w2 = iz / y2 特点：特点： s smax+ s smax-14 s ss s zwmmaxmax2 2、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、强度条件应用：依此强度准则可进行三种强度计算：、校核强度：校核强度：设计

8、截面尺寸：确定许可载荷：maxsmwzmax zmws15例例7.2.1 受均布载荷作用的简支梁如图所示，试求：（1）11截面上1、2两点的正应力；（2）此截面上的最大正应力；（3）全梁的最大正应力；（4）已知e=200gpa，求11截面的曲率半径。q=60kn/mab1m2m11x+ m82qlm1mmax12120180zy解：画m图求截面弯矩knm60)22(121xqxqlxm3016q=60kn/mab1m2m11m1mmax12120zyknm5 .678/3608/22max qlm451233m10832. 5101218012012bhiz34m1048. 609. 0/zz

9、iwmpa7 .6110832. 56060 5121ziymss求应力1803082qlx+ m17mpa6 .921048. 610006041max1zwmsm4 .194106010832. 51020035911meizmpa2 .1041048. 610005 .674maxmaxzwms求曲率半径q=60kn/mab1m2m11m1mmax121201803082qlx+ m18y1y2ga1a2a3a4解：画弯矩图并求危面内力例例7-2.2 t 字形截面的铸铁梁受力如图，铸铁的sl=30mpa，sy=60 mpa，其截面形心位于g点，y1=52mm， y2=88mm，iz=76

10、3cm4 ，试校核此梁的强度。并说明t字梁怎样放置更合理？kn5 .10;kn5 . 2barr)(knm5 . 2下拉、上压cm（上拉、下压）knm4bm4画危面应力分布图，找危险点p1=9kn1m1m1mp2=4knabcdx-4knm2.5knmm19校核强度mpa2 .2810763885 . 2822zclaiymsmpa2 .2710763524813zblaiymsmpa2 .4610763884824zbyaiymsllss2 .28maxyyss2 .46maxt字头在上面合理。y1y2ga1a2y1y2ga3a4a3a4x-4knm2.5knmm207 73 3 梁横截面上

11、的切应力梁横截面上的切应力一、一、 矩形截面矩形截面梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力dxxq(x)+d q(x)m(x)ym(x)+d m(x)q(x)dx图图a图图bzs s1 1xys s2 2t t1 1t tb图图czzsbisfy1)(ttts sz z* *为面积为面积a a* *对横截面中性轴的对横截面中性轴的静矩静矩. .21)4(2)2(22d22yhbyhbyhayayscazzy式中式中: -: -所求切应力面上的剪力所求切应力面上的剪力. .i iz z-整个截面对中性轴的惯性矩整个截面对中性轴的惯性矩. .s sz z* *-过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的

12、静矩过所求应力点横线以外部分面积对中性轴的静矩. .b-b-所求应力点处截面宽度所求应力点处截面宽度. .,:即随高度变化变化只随则一般也不变定，、则如截面确定公式中注意zzzssbizqbisfttya*yc*sf22tt5 . 123maxafs)()4(222为二次抛物线矩yhifzstqt t方向：与横截面上剪力方向相同 ；t t大小：沿截面宽度均匀分布，沿高度h分布为抛物线。中性轴上有最大切应力. 为平均切应力的1.5倍。23 二、其它截面梁横截面上的切应力二、其它截面梁横截面上的切应力工字形截面梁工字形截面梁 剪应力分布假设仍然适用剪应力分布假设仍然适用 横截面上剪力；横截面上剪力

13、；iz整个工字型截面对中性轴的惯性矩；整个工字型截面对中性轴的惯性矩；b1 腹板宽度；腹板宽度；sz*阴影线部分面积阴影线部分面积a*对中性轴的静矩对中性轴的静矩最大剪应力：最大剪应力：sfzzsbisftzzsbisfmaxmaxt24iz圆形截面对中性轴的惯性矩；圆形截面对中性轴的惯性矩；b 截面中性轴处的宽度；截面中性轴处的宽度；sz*中性轴一侧半个圆形截面对中性轴的静矩中性轴一侧半个圆形截面对中性轴的静矩圆形截面梁圆形截面梁最大剪应力仍发生在中性轴上最大剪应力仍发生在中性轴上:圆环截面梁圆环截面梁 zzsbisfmaxmaxtafs34maxtafs2maxt257-4 梁的切应力强度

14、条件梁的切应力强度条件 1 1、危险面与危险点分析：、危险面与危险点分析：最大切应力发生在剪力绝对值最大的截面的中性轴处。qt tt tqt t262 2、切应力强度条件：、切应力强度条件： ttzzsibsfmaxmaxmax3 3、需要校核切应力的几种特殊情况：、需要校核切应力的几种特殊情况：铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的铆接或焊接的组合截面，其腹板的厚度与高度比小于型钢的相应比值时，要校核切应力。相应比值时，要校核切应力。梁的跨度较短，梁的跨度较短，m m 较小，而较小，而f fs s 较大时，要校核切应力。较大时，要校核切应力。各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差

15、，各向异性材料（如木材）的抗剪能力较差，要校核切应力。要校核切应力。27注意事项 设计梁时必须同时满足正应力和剪应设计梁时必须同时满足正应力和剪应力的强度条件。力的强度条件。 对细长梁，弯曲正应力强度条件是主对细长梁，弯曲正应力强度条件是主要的，一般按正应力强度条件设计，不需要的，一般按正应力强度条件设计，不需要校核剪应力强度，只有在个别特殊情况要校核剪应力强度，只有在个别特殊情况下才需要校核剪应力强度。下才需要校核剪应力强度。28弯曲强度计算的步骤弯曲强度计算的步骤 画出梁的剪力图和弯矩图画出梁的剪力图和弯矩图, 确定确定|fs|max和和|m|max及其所在截面的位置，即确定危险截面。注及

16、其所在截面的位置，即确定危险截面。注意两者不一定在同一截面；意两者不一定在同一截面； 根据截面上的应力分布规律，判断危险截面上根据截面上的应力分布规律，判断危险截面上的危险点的位置，分别计算危险点的应力，即的危险点的位置，分别计算危险点的应力，即s smax和和t tmax（二者不一定在同一截面，更不在同一点）；（二者不一定在同一截面，更不在同一点）； 对对s smax和和t tmax分别采用正应力强度条件和剪应分别采用正应力强度条件和剪应力强度条件进行强度计算，即满足力强度条件进行强度计算，即满足 s smax s s , t tmax t t29解：画内力图求危面内力例例7-4.1 矩形(

17、bh=0.12m0.18m）截面木梁如图，s=7mpa，t=0. 9 m pa，试求最大正应力和最大切应力之比,并校核梁的强度。n54002336002maxqlfsnm4050833600822maxqlmq=3.6kn/mabl=3mq2ql2ql+xx+ql2/8m30求最大应力并校核强度应力之比7 .1632maxmaxmaxhlqawmztsq=3.6kn/mq2ql2ql+x7mpa6.25mpa 18. 012. 040506622maxmaxmaxssbhmwmz0.9mpa0.375mpa 18. 012. 054005 . 15 . 1maxmaxttafsx +ql2/8

18、m31梁的应力种类正应力计算应力强度条件及应用切应力计算32作弯矩图，寻找需要校核的截面作弯矩图，寻找需要校核的截面 ccttssssmax,max,要同时满足要同时满足分析：分析： 非对称截面，要寻找中性轴位置非对称截面，要寻找中性轴位置 t t型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。型截面铸铁梁，截面尺寸如图示。试校核梁的强度。试校核梁的强度。 mpa,60,mpa30ctss综合题33mm522012020808020120102080cy（2 2）求截面对中性轴）求截面对中性轴z z的惯性矩的惯性矩462323m1064. 728120201212020422080122080zi （1 1）求截面形心）求截面形心z1yz52解：解：34（4 4）b b截面校核截面校核 ttssmpa2 .27pa102 .271