自动控制理论52频域：伯德图

1、12 表示系统频率特性的图形有三种：l对数坐标图l极坐标图l对数幅相图34l把频率特性的乘除运算转变为加减运算；l在对系统作近似分析时，一般只需要画出对数幅频特性曲线的渐近线，从而大大简化了图形的绘制；l用实验方法，将测得系统频率响应的数据画在半对数坐标纸上。根据所作出的曲线，估计被测系统的传递函数。5 如果开环传递函数以时间常数形式表示，则与之相对应的开环频率特性 一般由下列五种典型因子组成。 jhjgl比例因子kl一阶因子l微分和积分因子l二阶因子l滞后因子11tj1j1221nntjjtj6 1 1 比例因子比例因子 比例因子的对数幅频特性是一条幅值为20lgk分贝，且平行于横轴的直线，

2、相频特性是一条和横轴重合的直线，相角为00。k1时，20lgk0db；k1时，20lgk0db。 ()l()2 0 lg k2 01 01 01 0001 0 01 0 01 0kjg72 2 积分因子积分因子当=1时当=10时当=100时每增加10倍，l()则衰减20db，记为：20db/十倍频程，或-20db/dec。 说明积分环节的对数幅频曲线是一条经过横轴上=1这一点，且斜率为-20的直线。j1jg db20lgj120lgjg20lgl db020lg1l db0220lg10l db0420lg100l8 相频与无关，值为-90且平行于横轴的直线。()l()0 .10 .12 01

3、 01 009 00112 09 3 微分因子微分因子 微分环节是积分环节的倒数，它们的曲线斜率和相位移也正好相差一个负号。jjg()l()0 .110 .11 01 002 09 012 002 010 4 4 一阶因子中一阶因子中惯性环节惯性环节 惯性环节的幅频特性为 惯性环节的幅频特性 在 时（低频段）： 近似地认为，惯性环节在低频段的对数幅频特性是与横轴相重合的直线。 tj11jg22221lg2011lg2011lg20tttjt1 db020lg1t120lg2211 在 时（高频段）： 幅频特性：幅频特性： 表示一条经过 横轴处，斜率为-20db/dec的直线方程。 综上所述：综

4、上所述：惯性环节的对数幅频特性可以用在 处相交于0分贝的两条渐近直线来近似表示： 当 时，是一条0分贝的直线； 当 时，是一条斜率为-20db/dec的直线。 t1 dbt20lgt120lg22t1 t1 t1 t1 12 两条渐近线相交处的频率 称为转折频率或交接频率。 ()l() 100090451t20精确曲线dbt1 13惯性环节的相频特性 当=0时， ，当 时， ；当 趋于无穷时， 趋于-90。 采用渐近线在幅频曲线上产生的误差是可以计算的。幅值的最大误差发生在转折频率 处，近似等于3db。 tarctan o0 t1 o-45 t1 db3.0110lg21120lg145 一阶

5、比例微分因子一阶比例微分因子 一阶比例微分因子的频率特性（1+jt）与惯性环节的频率特性互为倒数关系，此其对数幅频曲线和相频曲线仅差一负号。即tj1jg22t120lgtj120lgtarctan15 一阶微分环节高频渐近线的斜率是+20db/dec，其相位变化范围由0（=0）经+45至90（=）()l() 110t110t1t1t10t10t2090450200()l() db110t110t1t1t10t10t2090450200166 6 二阶因子二阶因子( (二阶振荡环节二阶振荡环节) )对数幅频特性对数幅频特性对数相频特性对数相频特性低频段，即低频段，即tn1时时 当增加10倍 即高

6、频渐近线是一条斜率为-40db/dec的直线。当 时说明 为二阶系统(振荡环节)的转折频率。 2n222nt2t120lgl)lg(40)lg(20)(22nnttlnt1n)(01lg40lg40)(dbtlnnt1nnnt40lg40t40lg10)(l18l。10110090180() 101.00)(l2.024688.06.04.0n/1.02.03.07.011.02.03.07.01db-40db/dec19 可见：当频率接近 时，将产生谐振峰值。阻尼比的大小决定了谐振峰值的幅值。 振荡环节的对数幅频特性在转折频率 附近产生谐振峰值 可通过下列计算得到：n t1nrjg20振荡环

7、节的幅频 特性为其中 ：当出现揩振峰值时， 有最大值，即 有最小值。得到 谐振频率式中， g1t2t11jg2n222n 2n222nt2t1gjg g 0t2t1ddddg2n222n2n2nr2121t1210nnt1 21 将 代入 ，不难求得 。 因此，在=r处 具有最小值， 有最大值。 谐振峰值 谐振频率r及谐振峰值mr都与有关。越小, r越接近n, mr将越大。当0.707时，r为虚数，说明不存在谐振峰值，幅频特性单调衰减。当=0.707时，r=0，mr=1。0，mr1。 0时，r n，mr。2nr21 22dgd 0dgd22 gjg2rr121jgm22振荡环节相频特性 相角

8、是和的函数。在= 0，当 时，不管值的大小， ；当=时， 。相频曲线对-90的弯曲点是斜对称的。 0 o90 o180 n 2212arctannttn23 7 7 滞后因子滞后因子 幅频特性幅频特性 相频特性相频特性 tjejg db020lg1jg20lgl 0t57.3t(rad)1t10t110t() 010020030040024 sgsgsgsgn21 jgjgjglnlg20lg20lg2021 jgjgjgnargargarg2125 绘制开环系统的绘制开环系统的伯德图伯德图 基本步骤： 把系统的频率特性改写成各典型因子的乘积形式，画出每个因子的对数幅频和相频曲线，然后进行同频

9、率叠加，即得到该系统的伯德图。 261)(l1010020402009045180)() 11 . 0(10)(jjjg例1：27l写出开环频率特性的表达式，把其所含各因子的转折频率由小到大一次标注在频率轴上；l绘制开环对数幅频曲线的渐近线。渐近线由若干条分段直线所组成，其低频段的斜率为-20vdb/dec，其中v为积分环节数。在w=1处，l（w）=20lgk 。以低频段作为分段直线的起始段，从它开始，沿着频率增大的方向，每遇到一个转折频率就改变一次分段直线的斜率。如遇到 因子的转折频率 ，当 时，分段直线斜率的变化量为-20db/dec；如遇到 因子的转折频率 ，当 时，分段直线斜率的变化量

10、为+20db/dec。111tj1/1t1/1t21tj2/1 t2/1t28l分段直线最后一段是开环对数幅频曲线的高频渐近线，其斜率为-20（ n-m）db/dec，其中n为开环系统的极点数，m为开环系统的零点数。l作出以分段直线表示的渐近线后，如果需要，再按照各典型因子的误差曲线对相应的分段直线进行修正，就可得到实际的对数幅频特性曲线。l作相频特性曲线。根据开环相频特性的表达式，在低频、中频及高频区域中各选择若干个频率进行计算，然后连接成曲线。29 例例5-2 5-2 已知一反馈控制系统的开环传递已知一反馈控制系统的开环传递函数为函数为 试绘制开环系统的伯德图（幅频特性用分段直试绘制开环系

11、统的伯德图（幅频特性用分段直线线 表示）。表示）。 解解 系统的开环频率特性为系统的开环频率特性为 sssshs5.011.0110gjjjjhj5.011.0110g由此可知，该系统是由比例、积分、一阶比例微分和惯性环节所组成。它的对数幅频特性为 221 . 01205 . 0120lg2010lg20l301）由于v=1，因而渐近线低频段的斜率为-20db/dec。在w=1处，其高度为20lg10=20db。2）当w=2时，由于惯性环节，使分段直线的斜率变为-40db/dec。同理，由于一阶比例微分环节，当w=10时，使分段直线的斜率变为-20db/dec。 10arctan2arctan

12、900系统 的相频特性为 086.110w=1 07 .123w=10 090w=无穷大 090w=031p116 图5-1732 四、最小相位系统四、最小相位系统 1. 定义：定义： 在系统的开环传递函数中，没有位于s右半平面的 零点和极点，且没有纯滞后环节的系统为最小相位系统，反之为非最小相位系统。 2. 最小相位系统特征：最小相位系统特征： a在在nm且幅频特性相同的情况下，最小相位且幅频特性相同的情况下，最小相位系统的相角变化范围最小。系统的相角变化范围最小。 这里n和m分别表示传递函数分母和分子多项式的阶次。33例如例如 两个系统的开环传递函数分别为（t1t20）它们的对数幅频和相频

13、特性为 st1st1sg121 st1st1sg122 21221t120lgt120lgl 21222t120lgt120lgl 211tarctantarctan 212tarctantarctan()l()111t221t2 009 01 8 0d b01g2g34显然,两个系统的幅频特性一样，但相频特性不同。由图可见， 的变化范围要比 大得多。 最小相位系统 非最小相位系统 2 1)(1sg)(2sg()l()111t221t2 009 01 8 0d b01g2g35 b、当当时，其相角等于时，其相角等于-90（n-m），），对数对数幅频特性曲线的斜率为幅频特性曲线的斜率为20(nm

14、)db/dec。有时用这一特性来判别该系统是否为最小相位系统。 c、对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对对数幅频特性与相频特性之间存在确定的对应关系。应关系。对于一个最小相位系统，我们若知道了其幅频特性，它的相频特性也就唯一地确定了。也就是说：只要知道其幅频特性，就能写出此最小相位系统所对应的传递函数，而无需再画出相频特性。 36tjkjg11. 0型系统 0型系统的对数幅频特性低频渐近线为一条xdb的水平线 21lg20lg20tkl则其对数幅频特性的表达式为0型系统的开环频率特性为 kxlg2037tjjkjg12. 型系统 型系统的对数幅频特性有如下特点： 21lg20lg20lg20

15、tkl则其对数幅频特性的表达式为型系统的开环频率特性为 klg201）低频渐近线的斜率为20db/dec；2）低频渐近线（或其延长线）在）低频渐近线（或其延长线）在w=1处的纵坐标处的纵坐标为为 ；3）开环增益）开环增益k在数值上也等于低频渐近线（或其在数值上也等于低频渐近线（或其延长线）与延长线）与0db线相交点的频率值。线相交点的频率值。38 tjjkjg123. 型系统 型系统的对数幅频特性有如下特点： 21lg20lg40lg20tkl则其对数幅频特性的表达式为型系统的开环频率特性为 klg201）低频渐近线的斜率为40db/dec；2）低频渐近线（或其延长线）在）低频渐近线（或其延长线）在w=1处的纵坐标处的纵坐标为为 ；3）开环增益）开环增益k在数值上也等于低频渐近线（或其在数值上也等于低频渐近线（或其延长线）与延长线）与0db线相交点的频率值的平方。线相交点的频率值的平方。39 试求：试求：（）写