课件高等数学下册同济大学出版社经管类第2版第八章第一节二重积分概念

1、第九章第九章 重积分重积分 第一节 二重积分的概念与性质 解法: 类似定积分解决问题的思想 : 一、引例 1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底：底： xoy 面上的闭区域 D 顶顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “ 分割,近似, 求和, 逼近” DD1)“ 分割” 用任意曲线网分D为 n 个区域 n?,21?以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“ 近似” 在每个 3)“ 求和” ?nkkkkf1),(?),(kkf?),2, 1(),(nkfVkkkk?则 中任取一点 小曲顶柱体 k?),(kk?4)“ 逼近” ?kk,PP

2、PP?2121max)(令 ?)(max1knk?nkkkkfV10),(lim?),(kkf?k?),(kk?2. 平面薄片的质量 有一个平面薄片, 在 xoy 平面上占有区域 D , 计算该薄片的质量 M . 度为 设D 的面积为? , 则 ?M若 非常数 , 仍可用 其面密 “ 大化小, 常代变,近似和, 求 极限” 解决. 1)“ 分割” 用任意曲线网分D 为 n 个小区域 ,21n?相应把薄片也分为小区域 . Dyx2)“ 近似” 中任取一点 k?在每个),(kk?3)“ 求和” ?nkkkk1),(?4)“ 逼近” ?)(max1knk?令?nkkkkM10),(lim?k?),(

3、kk?则第 k 小块的质量 yx二、二重积分的定义及可积性 定义: ),(yxf设将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , ),(yxf则称),(yxfI为称在D上的二重积分. 称为积分变量yx,记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , ?DyxfV?d),(引例1中曲顶柱体体积: ?DyxM?d),(引例2中平面薄板的质量: 如果 在D上可积, ),(yxf也常 ,ddyx二重积分记作 .dd),(?Dyxyxf这时 分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 ?Dyxyxfdd),(?Dyxyxdd),(?二重积分存在定理 : 若

4、函数 定理2. (证明略证明略) 定理定理1. 在D上可积可积. 限个点或有限个光滑曲线外都连续 , 积. 在有界闭区域 D上连续, 则 若有界函数 在有界闭区域 D 上除去有 三、二重积分的性质 ?Dyxfk?d ),(. 1( k 为常数) ?21d),(d),(d ),(. 3DDDyxfyxfyxf?DD?dd1? 为D 的面积, 则 ?Dyxfk?d),(特别, 由于 ),(),(),(yxfyxfyxf?Dyxf?d),(则 ?Dyxf?d),(?Dyx?d),(5. 若在D上 ),(yxf, ),(yx?Dyxf?d),(6. 设 D 的面积为? , ?MyxfmD?d),(则有

5、 7.(二重积分的中值定理 ) ?),(),(fdyxfD?证: 由性质6 可知, MyxfmD?d),(1由连续函数介值定理 , 至少有一点 ?Dyxff?d),(1),(在闭区域D上 ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 使 连续, 因此 例1. 比较下列积分的大小比较下列积分的大小 : ?d)(,d)(32?DDyxyx其中 2) 1()2( :22?yxD解解: 积分域 D 的边界为圆周 1? yx332)()(yxyx?它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 , 1? yx从而 ?d)(d)(32?DDyxyx于直线的上方, 故在 D 上 1y2xo1Dxbad ?四、曲顶柱体体积的计算 设曲顶柱的底为 ?bxaxyxyxD)()(),(21?任取 平面 故曲顶柱体体积为 ?DyxfV?d),(截面积为 yyxfxxd),()()(21?baxxAd)(截柱体的 )(2xy?)(1xy?zxyoab0 xDydcxo)(2yx?)(1yx?yydcd ?dycyxyyxD?),()(),(21?同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 ?DyxfV?d),(xyxfyyd),()()(21?例4. 求两个底圆半径为R 的直角圆柱面所围的体积 . xyzRRo解解: 设两个直圆柱方程为 ,222Ryx?利用对称性,