高教五版高数(经济类)不定积分的换元积分法与分部积分法随堂讲义

1、2021年10月19日星期二1 1(Introduction)在上次课中，我们学习了在上次课中，我们学习了“不定积分的概念和性质不定积分的概念和性质” 给出了给出了“基本积分公式表基本积分公式表” 。但是，但是，对于形如对于形如2sin2 d ;x x21d ;xx这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表这样的积分，利用不定积分的性质和基本积分公式表我们就无能为力了。我们就无能为力了。为此，为此，2021年10月19日星期二2 2 第四章第四章 一、换元积分法一、换元积分法二、分部积分法二、分部积分法三、小结与思考题三、小结与思考题2021年10月19日星期二3 3xxxfd)()(uu

2、fd)(设, )()(ufuF)(xu可导,xxxfd)()(CxF)()(d)(xuuuf)()(xuCuF)(dxFxxxfd)()(则有基本思路基本思路 2021年10月19日星期二4 4定理定理1 ,)(有原函数设uf,)(可导xu则有换元公式xxxfd)()()d( )( )xfx( )duf u)(xu(也称配元法配元法, 凑微分法凑微分法)2021年10月19日星期二5 5解解 sin(25)dxx1sin(25)(25) d2xxx1sin(25)d(25)2xx1sin d2u u1cos2uC 1cos(25)2xC 2021年10月19日星期二6解解 所以所以1d32xx

3、2021年10月19日星期二7 7解解 13351(2) (2)d3xxx151d3uu651 53 6uC6355(2)18xC2021年10月19日星期二8 8211cosd xxx例例4 求答案：答案：1sinCx例例5 求deexxx例例6 求1d(12ln )xxx答案：答案：1ln |12ln|2xC例例7 求tan dxx答案答案:ln cosxC例例8 求35cossindxxx答案：答案：4681111coscoscos438xxxC或或68211sinsin.68xxC2021年10月19日星期二9 9答案：答案： 1arctanxCaa答案：答案： 1ln |.2xaCa

4、xa答案：答案： 1sin224xxC答案：答案： 答案：答案： ln |csccot|xxCln |sectan|xxC自学课本例自学课本例142021年10月19日星期二10 10 xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a1xxxfnnd)()2(1)(nxfnxdn1xxxfnd1)()3()(nxfnxdn1nx1万万能能凑凑幂幂法法xxxfdcos)(sin)4()(sin xfxsindxxxfdsin)(cos)5()(cos xfxcosd常用的几种配元形式常用的几种配元形式: 2021年10月19日星期二11xxxfdsec)(tan)6(2)(tan xfx

5、tandxeefxxd)()7()(xefxedxxxfd1)(ln)8()(lnxfxlnd2021年10月19日星期二12 12第一类换元法第一类换元法解决的问题难求易求xxxfd)()(uufd)()(xu若所求积分xxxfd)()(易求,则用第二类换元积分法第二类换元积分法 .难求，uufd)(2021年10月19日星期二13 13CxF)()()()(ttft)(tx是单调可导函数 , 且,0)( t)()(ttf具有原函数 ,)(1d)()(d)(xttttfxxf.)()(1的反函数是其中txxt证证:的原函数为设)()(ttf, )(t令 )()(1xxF则)(xFtddxtd

6、d)()(ttf)(1t)(xfxxfd)(Cx)(1Ct )(1xt)(1d)()(xttttf则有换元公式定理定理2 设2021年10月19日星期二14 14. )0(d22axxa解解: 令, ),(,sin22ttax则taaxa22222sintacosttaxdcosd 原式tacosttadcosttadcos22Ca242sin2ttax22xa taxarcsinCxax222122atttcossin22sin2axaxa22例例14求2021年10月19日星期二15 15. )0(d22aaxx解解: 令, ),(,tan22ttax则22222tanataaxtasec

7、ttaxdsecd2 原式 ta2sectasectdttdsec1tanseclnCttax22ax tln22ax a)ln(1aCCCaxx22lnxa1C例例15 求2021年10月19日星期二16 16. )0(d22aaxx解解:,时当ax 令, ),0(,sec2ttax则22222secataaxtatanxdtttadtansec 原式td ttatansectatanttdsec1tanseclnCttax22ax t1 lnCCaxx22ln)ln(1aCC22ax axa例例16 求2021年10月19日星期二17 17,时当ax令,ux,au 则于是22daxx22d

8、auuCaxx22ln22daxx，时ax 122lnCauu122lnCaxx1222lnCaxxa)ln2(1aCCCaxx22ln2021年10月19日星期二18 1822(1) axtaxsin或或taxcos22(2) axtaxtan22(3)xataxsec从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：从上面三个例子，可以看出如果被积函数含有：可作代换可作代换 可作代换可作代换可作代换可作代换2021年10月19日星期二19 19解解 于是于是222d()xxa2422secd(tan1)attat 231cosdtta311(sin2 )24ttCa311(sin cos )22t

9、ttCa32221arctan22()xxCaaaxa2021年10月19日星期二20(14)tan dxx (15)cot dx x (16)sec dx x (17)csc dx x Cx coslnCx sinlnCxx tanseclnCxxcotcscln 常用基本积分公式的常用基本积分公式的补充补充 2021年10月19日星期二21 21221(18)d xax221(20)dxax221(21)d xxa221(19)d xxaCaxaarctan1Caxaxaln21CaxarcsinCaxx)ln(22221(22)dxxaCaxx22ln2021年10月19日星期二2222

10、(Introduction)前面，我们利用复合函数的求到法则得到了前面，我们利用复合函数的求到法则得到了“换元积分法换元积分法” 。但是，但是，对于形如对于形如e d ;xxxln d ;xx xsin d ;xx x的积分用的积分用直接积分法直接积分法或或换元积分法换元积分法都无法计算都无法计算. 注意到，注意到，这些积分的被积函数都有共同的特点这些积分的被积函数都有共同的特点都是两种不同类型函数的乘积。都是两种不同类型函数的乘积。这就启发我们把两个这就启发我们把两个这就是另一个基本的积分方法：这就是另一个基本的积分方法：分部积分法分部积分法. 函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，函

11、数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，2021年10月19日星期二2323vuvuuv )(积分得:xvuxvuuvdd分部积分公式分部积分公式xvuuvxvudd或uvvuvudd1) v 容易求得 ;xvuxvudd)2比容易计算 .:)d(的原则或及选取vvu由导数乘法公式：2021年10月19日星期二24 第四章第四章 （Integration by Parts）sind .xx x例例18 求解解: 令,xu sin ,vx 则, 1 ucosvx 原式( cos )xx( cos ) dxxcossinxxxC 另解另解: 令sin ,ux,vx 则cos ,ux 22xv 原

12、式2sin2xx2cosd2xx x三、分部积分法三、分部积分法答案答案sincosxxxC2021年10月19日星期二2525解解 1(31)d(cos3 )3xx1(31)cos3cos3 d3xxxx 11(31)cos3sin333xxxC 原式原式解解 2dexx2e dxxx2e2e dxxxxx2e2dexxxx2e2 e2exxxxxC. .2021年10月19日星期二2626.dlnxxx解解: 令,ln xu xv 则,1xu 221xv 原式 =xx ln212xxd21Cxxx2241ln21例例22 求2021年10月19日星期二2727解解 arcsindxxarc

13、sindarcsinxxxx2arcsind1xxxxx2211arcsind(1)21xxxx2arcsin1xxxC2021年10月19日星期二2828.darctanxxx解解: 令,arctan xu xv 则,112xu221xv 原式xx arctan212xxxd12122xx arctan212xxd)111 (212xx arctan212Cxx)arctan(21例例24 求2021年10月19日星期二2929.dsinxxex解解: 令,sin xu xev , 则,cos xu xev 原式xexsinxxexdcos再令,cos xu xev , 则,sin xuxe

14、v xexsinxxexexxdsincos故 原式 =Cxxex)cos(sin21说明说明: 也可设veux,为三角函数 , 但两次所设类型必须一致 . 例例25 求自学课本例自学课本例26、282021年10月19日星期二3030.dxex解解: 令, tx则,2tx ttxd2d 原式tettd2tet (2Cxex)1(2, tu tev )teC令例例26求2021年10月19日星期二31 31:的一般方法及选取vu把被积函数视为两个函数之积 ,按 “ 反对幂指三反对幂指三” 的顺序,前者为 后者为u.v例例5（补充题）（补充题）求.darccosxx解解: 令,arccos xu

15、 1 v, 则,211xuxv 原式 =xxarccosxxxd21xxarccos)1d()1 (222121xxxxarccosCx 21反反: 反三角函数反三角函数对对: 对数函数对数函数幂幂: 幂函数幂函数指指: 指数函数指数函数三三: 三角函数三角函数解题技巧解题技巧:（自学课本（自学课本例例56）2021年10月19日星期二3232.dcoscosln2xxx解解: 令,coslnxu xv2cos1, 则,tan xuxvtan原式 =xxcoslntan xxdtan2xxcoslntan xxd) 1(sec2xxcoslntan Cxx tan例例6（补充题）（补充题）求2

16、021年10月19日星期二3333本节小结本节小结2.分部积分公式分部积分公式xvuvuxvuddduvv u(1) 使用原则使用原则 :xvuvd易求出易求出,易积分易积分(2) 使用经验使用经验 :“反对幂指三反对幂指三” , 前前 u 后后v(3)题目类型题目类型 :分部化简分部化简 ;循环解出循环解出;递推公式递推公式1.换元积分法换元积分法 2021年10月19日星期二3434习题习题4-3 2单数单数 ; 3单数单数思考与练习思考与练习1. 下列各题求积方法有何不同下列各题求积方法有何不同? xx4d) 1 (24d)2(xxxxxd4)3(2xx4)4(d22221)(1)d(x

17、x22214)4(dxxxxxd4)4(2224d)5(xxxxd441241xx2121xd24d)6(xxx2)2(4x)2(dx2021年10月19日星期二35352. 下列积分应如何换元才使积分简便下列积分应如何换元才使积分简便 ?xxxd1) 1 (25xex1d)2(令21xt令xet1 )2(d)3(7xxx令xt12021年10月19日星期二3636xxxd11) 132) 1(d113133xxCx1323xxxxd2132)22xxxd2125)22(x2221)21d(xxxx 52) 1(2 x) 1d( x2212xx Cx21arcsin53. 求下列积分:2021年10月19日星期二37374. 下述运算错在哪里下述运算错在哪里? 应如何改正应如何改正?xxxdsincosxxxxxdsin)sin