74重积分的应用

1、返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分第四节第四节 重积分的应用重积分的应用一、问题的提出一、问题的提出把定积分的元素法推广到重积分的应用中把定积分的元素法推广到重积分的应用中. .(2)( , )ddduf x y d 内内任任一一小小区区域域，(3) ( , )duf x y d (1)(1)待计算量待计算量u u对区域对区域d d有可加性有可加性返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分二、几何中的应用二、几何中的应用1 1、平面图形的面积、平面图形的面积d的面积的面积dad 2 2、空间立体的体积、空间立体的体积vdv 的的 体体 积积 ( , )d ddv

2、f x yx y 曲曲顶顶柱柱体体体体积积返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分1. 3cos1 cos 例例求求圆圆周周的的内内部部与与心心脏脏线线的的外外部部所所围围成成的的区区域域的的面面积积。返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分2222. 1zxyzxy 例例2 2 求求与与所所围围成成的的立立体体的的体体积积。返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分1:221yxzs切平面与曲面切平面与曲面222:yxzs的体积的体积 v . 例例3. 求曲面求曲面任一点的任一点的所围立体所围立体返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分3

3、 3、曲面的面积、曲面的面积(cos ,cos,cos )1 .()cosnea 如如图图一一底底面面为为矩矩形形的的柱柱体体被被一一平平面面所所截截，截截面面法法向向量量，证证明明截截面面( (平平例例4 4、行行四四边边形形) )面面积积 是是底底面面面面积积xyzlmnrqpo返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(yxfz ,dxoy 面上的投影区域为面上的投影区域为在在,dd 设小区域设小区域,),( dyx 点点.),(,(的切平面的切平面上过上过为为yxfyxms .dsdadadsszd 则有则有，为为；截切平面；截切平面为为

4、柱面，截曲面柱面，截曲面轴的小轴的小于于边界为准线，母线平行边界为准线，母线平行以以如图，如图， d),(yxmdaxyzs o 返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分,面上的投影面上的投影在在为为xoydad cos,dda221cos,1xyff dffdayx221,122 dyxdffa 曲面曲面s s的面积元素的面积元素曲面面积公式为：曲面面积公式为：221()()xydzzadxdyxy d),(yxmdaxyzs o 返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(xzhy 曲面面积公式曲面面积公式为：为：221()()

5、.zxdyyadzdxzx 设曲面的方程为：设曲面的方程为：),(zygx 曲面面积公式曲面面积公式为：为：221()();yzdxxadydzyz 同理可得同理可得返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分若光滑曲面方程为隐式若光滑曲面方程为隐式,0),(zyxf则则yxzyzxdyxffyzffxz),(,ayxdzzyxffff222,0zf且且yxdd返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分问：问：如何计算曲面面积？如何计算曲面面积？ ( , )zz x y xyd(1)(1)找到曲面显方程找到曲面显方程(2)(2)找到曲面投影域找到曲面投影域(3)(3)表为

6、二重积分并计算表为二重积分并计算返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分由由对对称称性性知知14aa , 1d：axyx 22 曲面方程曲面方程 222yxaz , 于于是是221()()zzxy ,222yxaa 解：解：)0,( yx返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分面面积积dxdyzzadyx 12214 12224ddxdyyxaa cos0220142ardrrada.4222aa 返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分例例6. 推导半径为推导半径为 a 的球的表面积的球的表面积.解解:设球面方程为设球面方程为 ar球面面积元素为球面

7、面积元素为2dsinddaa 2200dsindaa 24asina da 方法方法2 利用直角坐标方程利用直角坐标方程. (见书见书 p153)方法方法1 利用球坐标方程利用球坐标方程. axyzod sin da 返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分22222222: :(0), (),sxyzaaxyzarsr 练练习习已已知知球球面面球球面面：求求在在 内内部部的的那那部部分分面面积积，并并给给出出使使得得该该部部分分面面积积取取得得最最大大的的 值值。返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分 向量代数空间解析几何向量代数空间解析几何: 30分分(3选选

8、择择,2填空、填空、1道综合题道综合题) 多元函数微分学：多元函数微分学：46分分（2选择，选择，2填空，填空，3计算计算） 二重积分：二重积分：24分（分（1填空，填空，2计算）计算）返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分班级班级不及格人数不及格人数5050分分平均分平均分110111011111101066.466.41102110211116 662.562.5110311038 86 665.765.71104110416165 562.862.8100510053 31 178.078.0返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分三、物理中的应用三、物理中

9、的应用1 1、质量、质量薄片质量薄片质量立体质量立体质量( , )dmx y d ( , , )mx y z dv 返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分2 2、质心、质心返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分,),(),( dddyxdyxxx .),(),( dddyxdyxyy 由元素法由元素法返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分当薄片是均匀的，质心称为当薄片是均匀的，质心称为形心形心. .,1 dxdax .1 dyday dda 其中其中返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分2sin , 4sin7dd 例例 、求求均

10、均匀匀薄薄片片 的的质质心心, ,其其中中为为所所围围成成的的区区域域。返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分例例8. 一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形, 剖面壁线剖面壁线的方程为的方程为, 30,)3(922zzzx内储有高为内储有高为 h 的均质钢液的均质钢液,自重自重, 求它的质心求它的质心.oxzh若炉若炉不计炉体的不计炉体的返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分解解: 利用对称性可知质心在利用对称性可知质心在 z 轴上，轴上，vzyxzzddd,0 yx故故其坐标为其坐标为226030490405hhhhh 返回7.47.4 重积分的应用重积分

11、的应用微积分微积分例例9. 计算二重积分计算二重积分,dd)35(dyxyx其中其中d 是由曲是由曲044222yxyx所围成的平面域所围成的平面域 .解解:2223)2() 1(yx其形心坐标为其形心坐标为:面积为面积为:9a923) 1(5a积分区域积分区域线线2, 1yx返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分3 3、转动惯量、转动惯量设设xoy平平面面上上有有n个个质质点点， 它它们们分分别别位位于于),(11yx，),(22yx，,),(nnyx处处 ， 质质 量量 分分 别别 为为nmmm,21则则该该质质点点系系对对于于x轴轴和和y 轴轴的的转转动动惯惯量量依依次次

12、为为 niiixymi12， niiiyxmi12. . 返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分,),(2 dxdyxyi .),(2 dydyxxi 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域 d，在在 点点),(yx处处 的的 面面 密密 度度 为为),(yx ， 假假 定定),(yx 在在 d 上上连连续续，平平面面薄薄片片对对于于 x 轴轴和和 y轴轴的的转转动动惯惯量量为为 薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量x薄片对于薄片对于 轴的转动惯量轴的转动惯量y返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分例例10.求半径为求半径为

13、a 的均匀半圆薄片对其直径的均匀半圆薄片对其直径解解: 建立坐标系如图建立坐标系如图, 0:222yayxdyxyidxdd2241amoxydaa的转动惯量的转动惯量.返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分解解: 取球心为原点取球心为原点, z 轴为轴为 l 轴轴,:2222azyx则则zizyxyxddd)(22ma252olzx球体的质量球体的质量334am 例例11.11.求均匀球体对于过球心的一条轴求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动惯量的转动惯量.设球设球 所占域为所占域为(用球坐标用球坐标) 返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分222zyxr

14、 g 为引力常数为引力常数4、物体的引力、物体的引力利用元素法利用元素法,vrxzyxgfxd),(d3vryzyxgfyd),(d3vrzzyxgfzd),(d3rzxvdyfd引力元素在三轴上的投影为引力元素在三轴上的投影为返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分在在 上上积分即得各引力分量积分即得各引力分量:vrxzyxgfxd),(3vryzyxgfyd),(3vrzzyxgfzd),(3返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分对对 xoy 面上的平面薄片面上的平面薄片d ,它对原点处的它对原点处的的引力分量为的引力分量为,d),(3dxxyxgfdyyyx

15、gfd),(3)(22yx 单位质量质点单位质量质点返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分xyzor例例12.设面密度为设面密度为 ,半径为半径为r的圆形薄片的圆形薄片求它对位于点求它对位于点解解: 由对称性知引力由对称性知引力d,222ryx)0(), 0 , 0(0aam处的单位质量质点的引力处的单位质量质点的引力. a0m。, 0z), 0, 0 (zff返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分aar1122zdfg a ag223222)(dayx返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分rxyzo例例13. 求半径求半径 r 的均匀球的均匀球2222rzyx对位于对位于)(), 0 , 0(0raam的单位质量质点的引力的单位质量质点的引力.解解: 利用对称性知引力分量利用对称性知引力分量0yxff点点0mazd返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分zfvazyxazgd)(232222amg343rm 为球的质量为球的质量返回7.47.4 重积分的应用重积分的应用微积分微积分几何应用：平面图形面积几何应用：平面图形面积 立体体积立体体积 曲面的面积曲面的面积物理应用：质量、质心、转动惯量、对物理应用：质量