医用高等数学课件

1、第二节第二节 导数的运算导数的运算二、反函数求导法则二、反函数求导法则三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则一、四则运算求导法则一、四则运算求导法则四、隐函数的求导法则四、隐函数的求导法则五、参数方程的导数五、参数方程的导数六、高阶导数六、高阶导数三、复合函数求导法则三、复合函数求导法则定理定理2-2为为且且其其导导数数处处可可导导在在点点则则复复合合函函数数处处可可导导对对应应点点在在而而处处可可导导在在点点设设函函数数,)(,)(,)( xxfyuxufyxxu 即即 因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量因变量对自变量求导，等于因变量对中间变量求导，乘以中间变量对自变量求导求导，乘以

2、中间变量对自变量求导. .( (链式法则链式法则) ) )()()(xufxf或或dxdududydxdy推广推广),(),(),(xvvuufy设设则复合函数则复合函数 的导数为的导数为)(xfy.dxdvdvdududydxdy)()()(xvufy或或解解则则令令,sin,34xxuuy)sin()(34xxudxdududyy)cos3(423xxu)cos3()sin(4233xxxx解解则则令令,cos,ln2xvvuuy例例2-12 已知函数已知函数 ,求求y43)sin(xxy例例2-13 已知函数已知函数 ,求求y2coslnxy )()(cos)(ln2xvudxdvdvd

3、ududyy22tan2)2()sin(1xxxxu例例2-14 已知函数已知函数 ,求求y3221xy 比较熟练后比较熟练后,中间变量不必写出来中间变量不必写出来,直接按锁链法则对直接按锁链法则对复合函数求导复合函数求导.解解)21 ()21 (31)21(2322312xxxy)4()21 (31322xx322)21 (34xx 例例2-15 证明幂函数的求导公式证明幂函数的求导公式 对任意实对任意实数指数数指数 成立成立.1)(aaaxxa证明证明 将将 化为化为 ,则则axy xaeyln)ln()(lnlnxaeeyxaxa11lnaaxaaxaxxxae例如例如,xxxx2121

4、)()(21212211)()1(xxxx例例2-16 已知函数已知函数 ,求求yxxysin)ln(sin)(lnsinlnsinxxeeyxxxx解解 为幂指函数为幂指函数, 将其化为将其化为 ,则则xxeylnsinxxysin)(lnsinln)(sinsinxxxxxx)sinln(cossinxxxxxx例例2-17 已知函数已知函数 ,求求yxxysinln2sin解解)sinln2(sinxxy)sin(ln2sinsinln)2(sinxxxxxxxxxcossin12sinsinln2)2(cosxxx2cos2sinln2cos2四、隐函数的导数四、隐函数的导数 如果联系

5、两个变量如果联系两个变量 和和 的函数式是由方程的函数式是由方程 来确定的，这样的函数称为来确定的，这样的函数称为隐函数隐函数.0),(yxfyx.)(形式称为显函数形式称为显函数xfy 0),( yxf)(xfy 隐函数的显化隐函数的显化例如例如013 yx31xy（显化）（显化）15sin345xxyy（不能显化）（不能显化）问题问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导隐函数不易显化或不能显化如何求导? 直接从方程直接从方程 两边来求导两边来求导,称为隐函数的称为隐函数的求导法则求导法则.0),(yxf 例例2-20 已知函数已知函数 是由椭圆方程是由椭圆方程 所确定所确定的的,求求 yy

6、解解 方程两边分别关于方程两边分别关于 求导求导,由复合函数求导法则由复合函数求导法则和四则运算法则有和四则运算法则有x02222ybyax解得解得yaxby2212222byax 例例2-21 已知函数已知函数 是由方程是由方程 确定的确定的.求求 和和yy0 xy 解解 方程两边分别关于方程两边分别关于 求导求导,由复合函数求导法则由复合函数求导法则和四则运算法则有和四则运算法则有xyxyyey解得解得xeyyy. 1,0yx从从原原方方程程解解得得时时当当1100exeyyyxyx所以所以exyey对数求导法对数求导法 方法方法: 先在方程两边取对数先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的

7、求导然后利用隐函数的求导方法求出导数方法求出导数.适用范围适用范围: :.)()(的的情情形形函函数数多多个个函函数数相相乘乘除除和和幂幂指指xvxu解解 两边取对数，得两边取对数，得)4ln() 3ln() 2ln() 1ln(31lnxxxxy两边对两边对 求导，得求导，得x例例2-23 已知函数已知函数 ,求求y3)4)(3()2)(1(xxxxy)41312111(311xxxxyy)41312111()4)(3()2)(1(313xxxxxxxxy所以所以解解 两边取对数，得两边取对数，得xxytanlnsinln求导得求导得上式两边对上式两边对xxxxxxyy2sectan1sin

8、tanlncos1xxysin)(tan例例2-24 已知函数已知函数 ,求求y)sectanln(cosxxxyy)sectanln(cos)(tansinxxxxx五、参数方程确定函数的导数五、参数方程确定函数的导数若参数方程若参数方程)()(tytx可确定一个可确定一个 y 与与 x 之间的函数之间的函数)(, )(tt可导可导, 且且,0 )( )(22tt则则0)( t时时, 有有xyddxttyddddtxtydd1dd)()(tt关系关系,ttttdtdxdtdydxdy21121122解：的导数。所确定的函数求由参数方程例)(arctan1)1ln(. 52xyytytx 六、

9、高阶导数六、高阶导数即即处可导处可导在点在点的导数的导数如果函数如果函数,)()(xxfxfxxfxxfxfx)()(lim) )(0.)() )(,处处的的二二阶阶导导数数在在点点为为函函数数则则称称存存在在xxfxf记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, .)(,),(4444)4()4(dxxfddxydyxf二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.)(,),(3333dxxfddxydyxf 记记作作阶阶导导数数的的函函数数阶阶导导数数的的导导数数称称为为的的函函数数一一般般地地,)(1)(,

10、nxfnxf.)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.例例1 已知指数函数已知指数函数 ( 为常数为常数) ,求求axey a)(ny解解,axaey ,2axeay ,3 axeayaxnneay)(例例2 已知已知 次多项式次多项式 nnnnnaxaxaxp 110)(求求 的各阶导数的各阶导数.)(xpn12110) 1()( nnnnaxanxnaxp解解231202)2)(1() 1()( nnnnaxannxannxp 00)(!12) 1()(anannxpnn 0)()()2()1( xpxpnnnn例例3 ).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解:211xy)11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 02