2021届高考数学艺体生文化课总复习第七章数列第4节数列求和点金课件

1、第七章第七章数数 列列第第4节节 数列求和数列求和知识梳理知识梳理数列求和常用方法数列求和常用方法:1.公式法公式法:直接用等差、等比数列的求和公式求和直接用等差、等比数列的求和公式求和.2.裂项相消法裂项相消法:(常见形式常见形式) 22111111(1)111111()41(21)(21)2 21211;2;31;411111,(01()nnnnnnnnannnnnnnnnnnnna ad aaa 如果为等差数列 则有3.错位相减法错位相减法:若若an为等差数列为等差数列,bn为等比数列为等比数列,则求则求anbn的前的前n项的和时项的和时,用错位相减法用错位相减法.例如例如:sn=a1b

2、1+a2b2+a3b3+anbn.(将上式两边乘数列将上式两边乘数列bn的公比的公比q,再相减再相减.)错位相减法辅助公式错位相减法辅助公式:若若cn=(an+b)qn,tn=c1+c2+c3+cn,则则tn=(an+b)qn-b.其中其中a,b满足满足 (用用n=1,n=2验证验证a,b的值的值)4.分组求和法分组求和法:常见形式常见形式:当数列当数列cn=an+bn,其中其中an为等差数为等差数列列,bn为等比数列为等比数列,则可以用分组求和法求数列则可以用分组求和法求数列cn的前的前n项和项和.122(),(2).tabqbtabqb精选例题精选例题【例例1】 (裂项相消法裂项相消法)(

3、2013新课标卷新课标卷)等差数列等差数列an中中,a7=4,a19=2a9.(1)求求an的通项公式的通项公式; 1711199111,1,4641,1,( ).2182(8()12.2nnnnadaandaadadaaadadnaa【解析】设等差数列的公差为则因为所以解得所以的通项公式为【例例1】 (裂项相消法裂项相消法)(2013新课标卷新课标卷)等差数列等差数列an中中,a7=4,a19=2a9.(2)设设bn= ,求数列求数列bn的前的前n项和项和sn.1nna1111222,(1)111( )()()()()()()111111122 1122334112.1nnnbnan nnn

4、snnnnn【解析】所以【例例2】 (错位相减法错位相减法)(2020新课标新课标卷卷)设设an是公比不为是公比不为1的等的等比数列比数列,a1为为a2,a3的等差中项的等差中项.(1)求求an的公比的公比;(2)若若a1=1,求数列求数列nan的前的前n项和项和.123212311121231(1),2,0,20,1,2;(2),1,( 2),1 12 ( 2)3 ( 2)( 2),21 ( 2)2 ( 2)3 ( 2)(1) ( 2)( 2),3nnnnnnnnnnaq aa aaaa aqqqqnans aasnsnns 设的公比为为的等差中项设的前 项和为】得【解析211 ( 2)(

5、2)( 2)( 2)1 ( 2)1 (1 3 ) ( 2)1 (1 3 ) ( 2)( 2),.1 ( 2)39nnnnnnnnnnnns 所以【例例3】 (分组求和法分组求和法)求数列求数列 的前的前n项和项和.2342321111111111,22,33,44,224282162111112342()()()222111 ( ) (1)11222.122212nnnnsnn nnn 【解析】因为11111 ,2,3 ,4,.24816专题训练专题训练1.(公式法公式法)已知等差数列已知等差数列an的前的前n项和为项和为sn,a3=4,s6=27.(1)求求an的通项公式的通项公式;(2)设

6、设bn=2an ,记记tn为数列为数列bn的前的前n项和项和.若若tm=124,求求m.11111124,( )61527,2,(1)11.(2)(1)24(1 2) 424(21)1 21244(21)12451nnnnnnnnmmadaadadaaandndbbttm设的首项为 ，公差为 ，由已知得解得所以由可得，是首项为 ，公比为 的等比数列，则由，得，】解得【解析2.(公式法公式法)(2017新课标新课标卷卷,文文)记记sn为等比数列为等比数列an的前的前n项和项和,已知已知s2=2,s3=-6.(1)求求an的通项公式的通项公式;(2)求求sn,并判断并判断sn+1,sn,sn+2是

7、否成等差数列是否成等差数列.12112113221121(1)2,( )(1)6,2,2,( 2) .(1)22(2)(1)( 1),133422222( 1)2+( 1)3333222+( 1)2,133nnnnnnnnnnnnnnnnnnaqaqaqqqaaaaqsqsss 设的公比为 ，由题意可得解得所以的通【项公式为由得因为解析】12,.nnnsss所以成等差数列3. (裂项相消法裂项相消法)已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为sn,对任意的对任意的nn*,点点(n,sn)均在函数均在函数f(x)=2x的图象上的图象上.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式; 1111111

8、11 1111,2.2 ,1,2,2,:2,2222 12,2(1( )()( )()121.),2(2xnnnnnnnnnnnnnnn sf xsnsansassnnaan 【解析】因为点均在函数的图象上所以当时当时 有得检验时3. (裂项相消法裂项相消法)已知数列已知数列an的前的前n项和为项和为sn,对任意的对任意的nn*,点点(n,sn)均在函数均在函数f(x)=2x的图象上的图象上.(2)记记bn=log2an,求求244 66 82221111.nnntb bb bb bb b122244 66 82222log,log 21,2111111111 33 55 7(21)(21)1

9、111111( )()(111.23352121221)(21)nnnnnnnbabnntb bb bb bb bnnnnnnn因为所以4.(裂项相消法裂项相消法)(2013新课标新课标卷卷,文文)已知等差数列已知等差数列an的前的前n项项和和sn满足满足s3=0,s5=-5.(1)求求an的通项公式的通项公式;(2)求数列求数列 的前的前n项和项和.21211nnaa1135121213 230,1,210,5.5 41,55,22.111112,(21)(23)2 2321111111111 1123355723( )( )()()()()()()(21111221)2nnnnadassd

10、adanaannnnsnnnnn 【解析】因为所以解得所以因为所以.15.(裂项相消法裂项相消法)已知等差数列已知等差数列an中中,2a2+a3+a5=20,且前且前10项和项和s10=100.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;(2)若若bn= ,求数列求数列bn的前的前n项和项和.11nna a135111( )12(1)21.1111(2)(),(21)(21)2 (21)(21)111111 (1.()23235(820,1,110 92,10121)(21)04511(1,2200nnnnnaaadadaannbnnadannbntnnd 【解析】解由已知得所以数列的通项公式

11、为因为所以的得前 项和1).2121nnn6.正项数列正项数列an满足满足an 2-(2n-1)an-2n=0.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;(2)令令 ,求数列求数列bn的前的前n项和项和tn.1(1)nnbna212120210,21,0,2 .11111112,(1)(1) 22 (1)211 1111111111( )()()()( )()()(12 122334121.2(1)()()()nnnnnnnnnnnnananan aanaaanbbnannnnnntnnnnn 【解析】由得所以或所以7.(裂项相消法裂项相消法)(2015新课标新课标卷卷) sn为数列为数列a

12、n的前的前n项和项和,已知已知an0, an2+2an=4 sn+3.(1)求求an的通项公式的通项公式;【解析解析】 (1)当当n=1时时,a12+2a1=4s1+3=4a1+3,因为因为an0,所以所以a1=3;当当n2时时, an2+2an-an-12-2an-1=4sn+3-4sn-1-3=4an,即即(an+an-1)(an-an-1)=2(an+an-1),因为因为an0,所以所以an-an-1=2,所以数列所以数列an是首项为是首项为3,公差为公差为2的等差数列的等差数列,所以所以an=2n+1.121111( )(1)()(21)(23)2 2123 1111111()()()

13、23557212311.646926nnnbnnnnbnbbbnnnnn由知，所以数列前 项和为7.(裂项相消法裂项相消法)(2015新课标新课标卷卷) sn为数列为数列an的前的前n项和项和,已知已知an0, an2+2an=4 sn+3.(2)设设bn= ,求数列求数列bn的前的前n项和项和.11nna a8.(错位相减法错位相减法)数列数列an满足满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),nn*.(1)证明证明:数列数列 是等差数列是等差数列;(2)设设bn=3n ,求数列求数列bn的前的前n项和项和sn.nan11nna a111(1):(1)(1),(1)1,1,111

14、.nnnnnnnnanan naaaan nnnnnadn 证明两边同时除以得是公差为的等差数列21123234112311(2)(1),(1) 1,1 (1)1,.133 ,1 32 33 33,3,31 32 33 33,21 31 31 31 333(1 3 )(3,1 3nnnnnnnnnnnnnnnnnaaannnannnbansnsnsnns 由可知得所以所以所以两边乘以公比 得再两式相减得到所以121)33.4nn9.(错位相减法错位相减法)(2020新课标新课标卷卷)设数列设数列an满足满足a1=3,an+1=3an-4n.(1)计算计算a2,a3,猜想猜想an的通项公式的通项

15、公式;(2)求数列求数列2nan的前的前n项和项和sn.【解析解析】 (1)由题意可得由题意可得a2=3a1-4=9-4=5,a3=3a2-8=15-8=7,由数列由数列an的前三项可猜想数列的前三项可猜想数列an是以是以3为首项为首项,2为公差的等为公差的等差数列差数列,即即an=2n+1,若若an=2n+1(n1),则则3an-4n=3(2n+1)-4n=6n+3-4n=2n+3=2(n+1)+1=an+1.an=2n+1成立成立.(2)由由(1)可知可知,an2n=(2n+1)2n.sn=32+522+723+(2n-1)2n-1+(2n+1)2n ,2sn=322+523+724+(2

16、n-1)2n+(2n+1)2n+1 ,由由-得得-sn=6+2(22+23+2n)-(2n+1)2n+1=6+2 -(2n+1)2n+1=(1-2n)2n+1-2,即即sn=(2n-1)2n+1+2.212(1 2)1 2n1212122323111111,4,4,()()12,8,()4,1,21.()(2 )8,(2),nnadaaaaaaaaaaaadaanadadd【解析】设等差数列的公差为由已知得即所以解得所以10.(错位相减法错位相减法)已知等差数列已知等差数列an满足满足(a1+a2)+(a2+a3)+ +(an+an+1)=2n(n+1)(nn*).(1)求数列求数列an的通项

17、公式的通项公式;111221231222135232121,1,22222211352321,22222211112123:1 13,22222246.( )2(6)nnnnnnnnnnnnnnnannnsnnsnnsns 由得所以得所以10.(错位相减法错位相减法)已知等差数列已知等差数列an满足满足(a1+a2)+(a2+a3)+ +(an+an+1)=2n(n+1)(nn*).(2)求数列求数列 的前的前n项和项和sn .12nna11.(错位相减法错位相减法)已知数列已知数列an的各项均为正数的各项均为正数,且且an2-2nan-(2n+1)=0,nn*.(1)求数列求数列an的通项公

18、式的通项公式;(2)若若bn=(-1)n-1an,求数列求数列bn的前的前n项和项和tn.【解析解析】 (1)由由-2nan-(2n+1)=0得得an-(2n+1)(an+1)=0,所以所以an=2n+1或或an=-1,又因为数列又因为数列an的各项均为正数的各项均为正数,所以所以an=2n+1,nn*. (2)因为因为bn=(-1)n-1an=(-1)n-1(2n+1),所以所以tn=3-5+7-9+(-1)n-1 (2n+1).由由tn=3-5+7-9+(-1)n-1(2n+1) ,得得(-1)tn=-3+5-7+9+(-1)n-1(2n-1)+(-1)n(2n+1) ,-得得2tn=3-

19、2(1-1+(-1)n-1)-(-1)n(2n+1)=3-2 -(-1)n(2n+1)=2+(-1)n-1-(-1)n(2n+1)=2+(-1)n-1(2n+2).tn=1+(-1)n-1(n+1).11 ( 1)1 ( 1)n 1231111112.231(1);(2), .1,( 1).2(2),)nnnnnnnnnnnnannnaaaananabntabbbaa a 若数列满足求数列的通项公式若_ 求数列的前 项和从这三个条件中任选一个填入第问的横线中 并回答问题123123111111(1),231111112,23(1)111,1,1(1)1,21,1.nnnnnnnnaaanann

20、naaanannnannannn nnaanaan 【解析】 当时两式相减得则当时满足数列的通项公式为123413452234121212221(2):,22234112341,22222222212341122222211(1)11311333382,.1224224222121:nnnannnnnnnnnnnnnnnnnanbnnttntnnnntba选条件两式相减得选条件1111,(1)(2)121111111111()()()().233445122224nnannnnntnnnn:( 1),13,2345(1)11;222,234(1)1 ,223,22,2nnnnnnnbannnt

21、nnnnntntnntnn 选条件当 为奇数时当 为偶数时为奇数，为偶数.13.(分组求和法分组求和法)(2016北京北京)已知已知an是等差数列是等差数列,bn是等比数列是等比数列,且且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4.(1)求求an的通项公式的通项公式;(2)设设cn=an+bn,求数列求数列cn的前的前n项和项和.211231114 1111144*11,313.93,1,327,114 127,2( ) .111 221n()()()().nnnnnnnnad bqbbqbqbbqbbbqababddaaandnnn 【解析】设数列的公差为的公比为，由得的通项公式又解得的通

22、项公式112301210222.21 3,2 1 1 32 2 1 32 3 1 321 33(1 3 )(1( ) ()31312 122.1 322231.2) nnnnnnnnnnnnnncnscabnsccccnnnnnnncnn 设数列的前 项和为即数列的前 项和为14.(分组求和法分组求和法)已知已知an是等差数列是等差数列,满足满足a1=1,a4=-5,数列数列bn满满足足b1=1,b4=21,且且an+bn为等比数列为等比数列.(1)求数列求数列an和和bn的通项公式的通项公式;(2)求数列求数列bn的前的前n项和项和sn.4114 14411441111231231,2,4

23、1111223.2,16,( )()() ()( )()(8,2,2 22 ,2223.2212123)()nnnnnnnnnnnnnnaaadabqdaandnnabababqqababbansbbbb 【解析】设的公差为的公比为1231222322221 1 3232(1 2 )( 123)222.1 2()()2(nnnnnnnnnn 15.(分组求和法分组求和法)已知数列已知数列an的前的前n项和项和sn= ,nn*.(1)求数列求数列an的通项公式的通项公式;(2)设设bn= +(-1)nan,求数列求数列bn的前的前2n项和项和.22nn2na21121221(1),1,1,2(1)(1)2,2(1)(1)22(1).nnnnnnnsnasnnnsnnnnssan n【解析】因为 当时当时得到整理得到时也成立2123211223322123212321232(2)( 1)2