复变函数积分

1、第三章第三章 复变函数的积分复变函数的积分基本要求：基本要求：1、掌握积分概念和性质。、掌握积分概念和性质。 2、理解柯西定理（闭路积分）。、理解柯西定理（闭路积分）。 3、熟练应用柯西积分公式解题。、熟练应用柯西积分公式解题。重点：重点：柯西定理、柯西公式柯西定理、柯西公式。 2一、积分的定义一、积分的定义1.有向曲线有向曲线: 设设C为平面上给定的一条光滑为平面上给定的一条光滑( (或按段光滑或按段光滑) )曲曲线线, , 若选定若选定C的两个可能方向中的一个作为正方向的两个可能方向中的一个作为正方向( (或正向或正向), ), 则称则称C为为有向曲线有向曲线. .xyoAB如果如果A到到

2、B作为曲线作为曲线C的正向的正向,那么那么B到到A就是曲线就是曲线C的负向的负向, , . C记为记为简单闭曲线正向的定义简单闭曲线正向的定义:当曲线上的点当曲线上的点P顺此方向前进时顺此方向前进时, , 邻近邻近P点的曲线的内部始终位于点的曲线的内部始终位于P点的左方点的左方. . xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向与之相反的方向就是曲线的负方向. .1 复变函数积分的概念复变函数积分的概念32.积分的定义积分的定义:011 ( ) , , , , kknwf zDCDABCnAzzzzzB设定义在区域内为内由到 的一条光滑有向曲线 把曲线任意分成 个弧段 分点为在每个弧段oxyA

3、B1 nzkz1 kz2z1zk C1 2 1,(1,2, ) ,kkkzzkn上任意取一点作和式1111 () ()(), nnnkkkkkkkkkkSfzzfzzzz其中.1max.kk ns 1 , kkkszz 记的长度( 0 n当无限增加且时: , , ( ) , knCSf zC如果不论对的分法及的取法如何有唯一极限 那么称这极限值为函数沿曲线的积分 记为1( )lim()nkkCnkf z dzfzD4关于定义的说明关于定义的说明: .d)( , )1( CzzfC记为记为那么沿此闭曲线的积分那么沿此闭曲线的积分是闭曲线是闭曲线如果如果 . ),( )( , )2(定积分的定义定

4、积分的定义实变函数实变函数这个积分定义就是一元这个积分定义就是一元而而轴上的区间轴上的区间是是如果如果xuzfbxaxC 5二、积分存在的条件及其计算法二、积分存在的条件及其计算法(1) ( )CCCf z dzudxvdyivdxudy通过两个二元线积分求：(2) ( ), ( )( )( )CCzz ttf z dzf z tz t dt 若曲线 可表示为参数方程：1. 存在条件：存在条件：( )dCf zz若若f(z)为连续函数且为连续函数且C是光滑曲线，是光滑曲线， 则积分则积分 一定存在。（证明一定存在。（证明略）略）2. 积分计算：积分计算：1212(3) ( )( )( )( )

5、nnCCCCCCCCCf z dzf z dzf z dzf z dz为分段光滑曲线：6( ) ddd f zuivzxi y，代入分式，可得( )Cf z dz.CCudxvdyivdxudyCudxivdxiudyvdy()()Cuiv dxidy计算方法计算方法1的推导：的推导：( )d ( ) ( )Cf zzf z t d z t ( ) ( ).f z t z t dt计算方法计算方法2的推导：的推导：( )( )( ), zz tx ti y t7( )( ) x t y t 如果和是( )()( )xx t atb yy t ( )( )( ). ()zz tx tiy tat

6、b 连续曲线连续曲线 两个连续的实函数，则方程组代表一平面曲线，称为连续曲线。平面曲线的复数表示:曲线的数学表达曲线的数学表达 34 i复平面上从原点到点的直线段:( )3 ,01,( )4 ,x ttty tt ( )( )( )(34 )z tx tiy ti t00( )cos,( )sin.x txty tyt过定点00(,)M xy，倾斜角为 的直线参数方程为： 8222()()xaybr其参数方程为cos02sinxarttybrt 复平面上以z0为圆心，半径为r的圆：00( )cos2( )sinxxryyr 00 ( )( )( )+izxiyzre以(a,b)为圆心，半径为r

7、的圆：9例例1 3 , 01ztt 3dzdt13099. 2Czdztdt 2 :(0,0)( 3,0)(3,4) C直线段C3: 的方程为3 ,01,0,xtty (0,0)( 3,0) 34 , 01 zitt 4dzidt1114000(34 )41216128 Czdzitidtidttdti3,01,4 ,xtyt (3,0)( 3,4)2349-724: 12822CCCizdzzdzzdzi故解：解： 1 :(0,0)(3,4) C计算 其中积分路径C分别为如下两种：直线段 ，和折线段d ,Cz z写成复数形式有：直线段C4: 的方程为写成复数形式有：10例例1 续续 直线段直

8、线段 方程为方程为3 , 01,4 ,xttyt 1 , (34 ) , Czi t在在上上d(34 )d , zit120(34 )Czdzi tdt120(34 ) itdt2(34 )72422ii 1 :(0,0)( 3,4) C这两个积分都与路线这两个积分都与路线C 无关无关（格林定理）（格林定理） 34 ,: Ci所以不论是怎样从原点连接到点的曲线都有2(34 )d2Ciz zdddd CCx xy yiy xx y ()() CCzdzxiy dxidy因为111(1) 0 011(2) 0 01011CzdzCiCC计算：从原点到点（）：（ ， ） （， ）直线段；：（ ， ）

9、 （， ） （， ）xyoi 11iy=x例例2 12例例3 解解 . 2 : ,d zCzzC圆圆周周为为其其中中计计算算积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(2 iez d2diiez Czzd 20d22 iie 20d)sin(cos4 ii. 0 13例例4 解解. , , ,d)(1 010为为整整数数径径的的正正向向圆圆周周为为半半为为中中心心为为以以求求nrzCzzzCn zxyor0z 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为),20(0 irezz Cnzzzd)(110 20)1(1d ninierire,d20 inneri14zxyor0z , 0 时时当

10、当 n Cnzzzd)(110 20d i;2 i , 0 时时当当 n Cnzzzd)(110 20d)sin(cos ninrin; 0 rzznzzz0d)(1 10所所以以 . 0, 0, 0,2nni重要结论重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关：积分值与路径圆周的中心和半径无关. . Cnzzzd)(110,d20 inneri15例例5 解解2 Re( )d , : (1) 1 ; (2) 1 ; (3) 1 1 .CzzCiyxixi 计算其中为从原点到点的直线段抛物线上从原点到点的弧段从原点沿轴到点再到的折线(1) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为( )(01),

11、z ttitt Re( ),d(1)d ,ztzit于是101Re( )d(1)d(1);2Czztitixyoi 11iy=x(2) 积分路径的参数方程为积分路径的参数方程为2( )(01),z ttitt Re( ),d(12 )d ,ztztit于是10Re( )d(12 )dCzztitt1230212;2323titi2xy 16xyoi 11iy=x2xy (3) 积分路径由两段直线段构成积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为轴上直线段的参数方程为( )(01),z ttt 1到到1+i直线段的参数方程为直线段的参数方程为( )1(01),z titt Re( ),ztd

12、zdt于是 Re( )1,zdzidt于是1100Re( )dd1 dCzzt ti t1.2i17三、积分的性质三、积分的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质复积分与实变函数的定积分有类似的性质.(1)( )( );CCf z dzf z dz (2)( )( );() CCkf z dzkf z dzk为常数(3) ( )( )( )( );CCCf zg z dzf z dzg z dz(4) , ( ) ( ), ( )d( ) d.CCCLf zCf zMf zzf zsML设曲线的长度为函数在上满足那么估值不等式估值不等式18性质性质(4)的证明的证明 , 1两两点点之之间间的

13、的距距离离与与是是因因为为 kkkzzz , 度度为这两点之间弧段的长为这两点之间弧段的长ks knkkzf 1)( 所以所以 nkkkzf1)( nkkksf1)( 两端取极限得两端取极限得.d)(d)( CCszfzzf nkkksf1)( 因因为为 nkksM1,ML .d)(d)( MLszfzzfCC 所所以以证毕证毕19例例6解解. d1 , 43 绝对值的一个上界绝对值的一个上界试求积分试求积分的直线段的直线段为从原点到点为从原点到点设设 CziziC 1)(0 ,)43( ttizC的参数方程为的参数方程为根据估值不等式知根据估值不等式知 Czizd1 Csizd1ittizC

14、)14(311 , 上上因因为为在在22)14()3(1 tt21=25 t-4 25+9 255,3 Czizd1 从从而而 Csd35325 5 202 柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理f (z)不满足不满足C-RC-R方程方程, , 在复平面内处在复平面内处处不解析处不解析. .此时积分与路线有关此时积分与路线有关. . 2(34 )( )2Cizdzf zz处处解析1211CCCzdzzdzzdzi 01d20.czizz002z zrdzizz由以上讨论可知由以上讨论可知, 积分是否与路线无关积分是否与路线无关, 或沿闭曲线的积分值或沿闭曲线的积分值为为0的条件，可能决定于被积函数的

15、解析性及区域的连通性的条件，可能决定于被积函数的解析性及区域的连通性.上一小节几个例子：上一小节几个例子：例例1 1 此时积分与路线无关此时积分与路线无关. . 例例2 2 例例4 4 f (z)在以在以z0为中心的圆周内不是处处为中心的圆周内不是处处解析的，此时解析的，此时 虽然在除虽然在除z0外的圆内处处解外的圆内处处解析，但此区域已不是单连通域析，但此区域已不是单连通域21积分积分 定积分定积分 二重积分三重积分二重积分三重积分曲线积分曲线积分曲面积分曲面积分积分域积分域 区间区间 平面区域平面区域 空间区域空间区域 曲线曲线 曲面曲面曲线积分曲线积分第一型曲线积分（对弧长的曲线积分）第

16、一型曲线积分（对弧长的曲线积分）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）第二型曲线积分（对坐标的曲线积分）高数知识回顾：曲线积分高数知识回顾：曲线积分在高等数学中我们学习了下列积分：在高等数学中我们学习了下列积分：22二重积分二重积分yxzO),(yxfz ),(ii ),(iif i niiiiniifVV11),( DyxfV d),( Dyxyxfdd),(23第一型曲线积分第一型曲线积分iPi 如果如果 L 是闭曲线是闭曲线 , 则记为则记为( ,)dLf x ys设设 L 是空间可求长曲线段是空间可求长曲线段, f ( x, y ) 为定义在为定义在 L上的函数，则可定义上的函数，则可定义

17、 f ( x, y ) 在空间曲线在空间曲线L 上的第一型曲线积分，并记作上的第一型曲线积分，并记作( ,)dLf x ys24第二型曲线积分第二型曲线积分 变力沿曲线作功变力沿曲线作功:设一质点受如下变力作用设一质点受如下变力作用),(, ),(),(yxQyxPyxF 沿曲线沿曲线 L 从点从点 A 移动到点移动到点 B ，则力，则力 F ( x, y ) 所作的所作的功由如下曲线积分给出：功由如下曲线积分给出：dy),(d),(yxQxyxPL 或或dy),(d),(yxQxyxPAB 也记为也记为 LLyyxQxyxPd),(d),(或或 ABAByyxQxyxPd),(d),(简记为

18、简记为dydQxPL P、Q是连续函数25格林格林 (Green)(Green)公式公式定理定理, ),(yxP),(yxQddd dDLQPP xQ yx yxy( 格林公式格林公式 )若函数若函数在闭区域在闭区域 D 上具有连续一阶偏上具有连续一阶偏导数，则有：导数，则有：其中其中 L 为区域为区域 D 的边界曲线，并取正方向的边界曲线，并取正方向.CE)(1y )(2y AB)(1x )(2x ab26曲线积分与路线的无关性定理曲线积分与路线的无关性定理),(),(yxQyxP在在D 内具有一阶连续偏导数内具有一阶连续偏导数,(iii) 沿沿D 中任意按段光滑闭曲线中任意按段光滑闭曲线

19、L , 有有0.LPdxQd y(ii) 对对D 中任一按段光滑曲线中任一按段光滑曲线 L, 曲线积分曲线积分(i) 在在 D 内内 处处成立处处成立PQyxLPdxQdy与路径无关与路径无关, 只与只与 L 的起点及终点有关的起点及终点有关. 设设D 是单连通域，函数是单连通域，函数则以下三个条件等价则以下三个条件等价:27( )B( )Bf zuivfz设在单连通域 内处处解析且在 内连续( )=, ,Bxxyyxyxyfzuivviuu v uuvv由于所以在内连续C-R = =-xyxyuvvu并且满足方程 ( )dcccf zzudxvdyivdxudy()()0 xyxyDDvud

20、iuvd根据格林公式：根据格林公式：28B柯西古萨基本定理柯西古萨基本定理（柯西积分定理）（柯西积分定理） ( ) , ( ) : ( )d0.cf zBf zBCf zz 如果函数在内处处解析那么函数沿内的任何一条封闭曲线的积分为零单连通域C定理中的定理中的 C 可以不是简可以不是简单曲线单曲线.29关于定理的说明关于定理的说明:(1) 如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界, )( 在在函函数数zf , 上解析上解析即在闭区域即在闭区域CBB , 上上解解析析内内与与CB ( )d0.cf zz 那么(2) 如果曲线如果曲线 C 是区域是区域 B 的边界的边界, )( 在在函

21、函数数zf那那末末上上连连续续在在闭闭区区域域 , CBB , 内解析内解析B定理仍成立定理仍成立.例例 , 1 321 内内解解析析在在函函数数 zz根据柯西古萨定理根据柯西古萨定理, 有有 1. 0d321zzz30( )f z多连通区域问题：在解析时如何？内内一一条条简简单单闭闭曲曲线线。是是DC(1),( )0CCDCf z dz 内部全属于相当于 内部为单连通域；111;( )0CCCCCCDf z dz 在 内部做使以为边界的区域全属于3 复合闭路定理复合闭路定理(2),( )0CCDCf z dz 内部不全属于相当于 内部为多连通域；一般31 ),( 1正向为逆时针方向正向为逆时

22、针方向单闭曲线单闭曲线内的任意两条简内的任意两条简为为及及DCC. 11DDCC全全含含于于为为边边界界的的区区域域及及DC1C1DAA BB , BBAA 和和作作两两段段不不相相交交的的弧弧段段设函数设函数f(z)在多连通域在多连通域D内解析内解析32DC1C1DAA BB EE FF , AAEBAEB 显然曲线显然曲线 BFABFAA , , , , ,FFEE 添添加加字字符符为为了了讨讨论论方方便便 . 均均为为封封闭闭曲曲线线 , D因为它们的内部全含于因为它们的内部全含于, 0d)( AAEBAEBzzf故故. 0d)( BFABFAAzzf,AAAEBBBAEBAAEBAEB

23、 ,BFABBBFAAABFABFAA 33 AAEBAEBzzfd)( 由由, 0d)( BFABFAAzzf得得DC1C1DAA BB EE FF Czzfd)( 1d)(Czzf, 0d)(d)( 1 CCzzfzzf即即1( )d( ).d CCf zzf zz或解析函数沿闭曲线的积分解析函数沿闭曲线的积分, , 不因闭曲线在区域内作不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值连续变形而改变它的值. . 闭路变形原理闭路变形原理说明说明: : 在变形过程中曲线不经过函在变形过程中曲线不经过函数数 f(z) 的不解析的点的不解析的点. .( )dAAf z z( )dAAf z z( )dB

24、 Bf z z( )dBBf z z34例例1 121 d .23zzz计算积分221.51 2311 21.511 , 0.521.5zzzrdzzdzzdzrzizxyo|z| 20z r闭路变形原理：闭路变形原理：35DC1C1DAA BB EE FF 1 , : CC如果我们把这两条简单闭曲线及看成一条的正方向为复合闭路 , 按逆时针进行按逆时针进行外面的闭曲线外面的闭曲线 C , 1按顺时针进行按顺时针进行内部的闭曲线内部的闭曲线C , , :即沿的正向进行时的内部总在的左手边 那么( )0.f z dz36复合闭路定理复合闭路定理1212 , , , , , , , , , . (

25、 ) , :nnCDCCCCC CCCDf zD设为 多连通域内的一条简单闭曲线是在内部的简单闭曲线 它们互不包含也互不相交 并且以为边界的区域全含于如果在内解析那么DC1C2C3C(2)( )0.f z dz1212 , , , , (: , , , , ).nnC CCCCCCC这里为由组成的复合闭路其方向是按逆时针进行按顺时针进行1(1) ( )d( )d , ; knCkCkf zzf zzCC其中及均取正方向37例例2 2解解 . 1 ,d12 2曲曲线线在在内内的的任任何何正正向向简简单单闭闭为为包包含含圆圆周周计计算算积积分分 zzzzz, 1 0 12 2 zzzzz和和内内有

26、有两两个个奇奇点点在在复复平平面面因因为为函函数数依题意知依题意知, xyo 1 也也包包含含这这两两个个奇奇点点， 38, 21CC 和和不相交的正向圆周不相交的正向圆周内作两个互不包含也互内作两个互不包含也互在在 xyo 1 , 0 1 zC 只只包包含含奇奇点点 , 1 2 zC 只包含奇点只包含奇点1C2C根据复合闭路定理根据复合闭路定理, zzzzd122 21d12d1222CCzzzzzzzz 2211d1d11d1d11CCCCzzzzzzzz0220 ii.4 i 39例例3 3 . 1 2 ,d 所所组组成成向向圆圆周周和和负负为为正正向向圆圆周周计计算算积积分分 zzzz

27、ezxyo121C2C解解 , 21围成一个圆环域围成一个圆环域和和CC, 上上处处处处解解析析在在此此圆圆环环域域和和其其边边界界函函数数zez圆环域的边界构成一条复合闭路圆环域的边界构成一条复合闭路,根据闭路复合定理根据闭路复合定理,. 0d zzez40例例4 411 d , , .()nzanza求为含的任一简单闭路为整数解解1 , , : , aza因为在曲线内部 故可取很小的正数使含在内部 a 1 111 ,()nza在以为边界的复连通域内处处解析由复合闭路定理有由复合闭路定理有11111()()nndzdzzaza 02 ,izae令可得12211001ddd()()iinnin

28、nieiezzae12,01 0,0.()nindznza故 此结论非常重要此结论非常重要, 用起来很用起来很方便方便, 因为因为 不必是圆不必是圆, a也不也不必是圆的圆心必是圆的圆心, 只要只要a在简单在简单闭曲线闭曲线 内即可内即可.41例例5 5. , ,d)(121 00为为自自然然数数闭闭曲曲线线的的任任意意正正向向为为含含求求nzzzzin 解解由上例可知由上例可知 , 0, 00,2d)(1 1nnizazn , 0za 此此处处不不妨妨设设 . 1, 01, 1d)(121 0nnzzzin则则有有42定理一定理一 ( ) , ( )d . Cf zBf zzC如果函数在单连

29、通域内处处解析那么积分与连结起点及终点的路线无关由定理一可知由定理一可知: 解析函数在单连通域内的积分只与起点解析函数在单连通域内的积分只与起点和终点有关和终点有关, (如下页图如下页图)4 原函数与不定积分原函数与不定积分43BB 0z1z 0z1z 1C2C1C2C , , 10zz终点为终点为如果起点为如果起点为 21d)(d)(CCzzfzzf 10d)(zzzzf , , , 110zzBzz 并令并令内变动内变动在在让让如果固定如果固定 .d)()( 0 zzfzFB 内的一个单值函数内的一个单值函数便可确定便可确定440 ( ) , ( )( ) , ( )( ). zzf zB

30、F zfdBF zf z如果函数在单连通域内处处解析那么函数必为内的一个解析函数 并且定理二定理二 此定理与微积分学中的对变上限积分的求导此定理与微积分学中的对变上限积分的求导定理完全类似定理完全类似.其证明也完全类似。其证明也完全类似。45原函数原函数: ( ) ( ), ( )( ), ( ) ( ) .zBf zzf zzf zB如果函数在区域内的导数为即那么称为在区域内的原函数0 ( )( )d ( ).zzF zff z显然是的一个原函数原函数之间的关系原函数之间的关系: : . )(一个常数一个常数的任何两个原函数相差的任何两个原函数相差zf证证 ( ) ( ) ( ) ,G zH

31、 zf z设和是的任何两个原函数( )( )( )( )G zH zG zH z那么 ( )( )0f zf z ( )( ).G zH zc于是()c为任意常数 证毕证毕 ( ) ( ),B( )(). f zBF zF zc c如果在区域内有一个原函数那么它在 内就有无穷多个原函数： 为任意常数推论：推论：46不定积分的定义不定积分的定义: ( ) ( ),() ( ) , f zF zc cf z称的原函数的一般表达式为任意常数 为的不定积分 记作定理三定理三 ( ) , ( ) ( ) , f zBG zf z如果函数在单连通域内处处解析为的一个原函数 那么( (类似于牛顿类似于牛顿-

32、 -莱布尼兹公式莱布尼兹公式) )101001( )d( )() , .zzf zzG zG zzzB为内的两点( )d( ).f zzF zc说明说明: : 有了以上定理有了以上定理, 复变函数的积分就可以用复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算跟微积分学中类似的方法去计算.47例例1 1解解 . d 10的的值值求求 zzzz , 是解析函数是解析函数因为因为 z ,21 2z它的原函数是它的原函数是由牛顿由牛顿-莱布尼兹公式知莱布尼兹公式知, 21 d 10102zzzzzzz ).(212021zz 48例例2 2. dcos 02的值的值求求 izzz解解 izzz02d

33、cos izz022dcos21iz 02sin21)sin(212 .sin212 (使用了微积分学中的使用了微积分学中的“凑微分凑微分”法法)49例例3 3. dcos 0的值的值求求 izzz izzz0dcos izz0)(sind iizzzz00dsinsin解解izzz0cossin . 11 e此方法使用了微积分中此方法使用了微积分中“分部积分法分部积分法”50例例4 4. d1)1ln( , 1 0)Re(, 0)Im( 1的的值值求求内内的的圆圆弧弧试试沿沿区区域域 izzzzzz解解 , 1)1ln( 在所设区域内解析在所设区域内解析函数函数 zz ,2)1(ln 2 z

34、它它的的一一个个原原函函数数为为 izzz1d1)1ln(iz122)1(ln 2ln)1(ln2122 i 2ln42ln212122i.82ln2ln833222i 51一、问题的提出一、问题的提出00000( ), . ( ), ( ). . Cf zBzBf zBzzzf zdzCBzzz设 为一单连通域为 中一点 若在 内解析 则在不解析 所以一般不为零( 为 内围绕 的闭曲线)根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变, 5 柯西积分公式柯西积分公式 000, ,( ), ( ), Czzzf zCf zz积分曲线 取作以 为中心 半径为很小的 的正向圆周由于连续 在

35、 上的值随 的缩小逐渐接近于它在 处的值000()( )d d .CCf zf zzzzzzz00000()1: d()d2().CCf zzf zzif zzzzz而52二、柯西积分公式二、柯西积分公式定理定理 CzzzzfizfCzDDCDzf.d)(21)( , , , , )( 000那末那末内任一点内任一点为为于于它的内部完全含它的内部完全含闭曲线闭曲线内的任何一条正向简单内的任何一条正向简单为为内处处解析内处处解析在区域在区域如果函数如果函数D 0zC- 柯西积分公式柯西积分公式00( )2( )Cf zdzif zzz或者：或者：53D 0zCK , 0时时当当 zz0( )()

36、 . f zf z, :)( , 00的的内内部部全全在在的的正正向向圆圆周周半半径径为为为为中中心心设设以以CRzzKRRz R Czzzzfd)( 0则则 Kzzzzfd)(0 KKzzzzfzfzzzzfd)()(d)(0000 Kzzzzfzfzifd)()()(2000证明：（不作要求，仅供参考）证明：（不作要求，仅供参考） , )( 0连连续续在在因因为为zzf, 0 则则, 0)( 5400( )()dKf zf zszzd2 .KsR上不等式表明上不等式表明, 只要只要 足够小足够小, 左端积分的模就左端积分的模就可以任意小可以任意小,根据闭路变形原理知根据闭路变形原理知, 左

37、端积分的值与左端积分的值与 R 无关无关, 所以只有在对所有的所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能积分值为零时才有可能.证毕证毕00( )()dKf zf zzzz0( ) dCf zzzz所以:0000( )()2()d2()Kf zf zif zzzzif z55关于柯西积分公式的说明关于柯西积分公式的说明: :(1) 把函数在把函数在C内部任一点的值用它在边界上的内部任一点的值用它在边界上的值表示值表示. (2) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值的平均值.0 ,iCzzR e如果是圆周则20001()()d2if zf zR e

38、56例例1 1解解41sin d2zzziz求积分 , sin)( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zzf , 4 0内内位位于于 zz00041sindsin02zzzzziz由柯西积分公式可得由柯西积分公式可得57412d .13zzzz441213zzdzdzzz2122ii 6 i例例2 2412 d .13zzzz求积分解解2)( 1)(zfzf58例例3 3 2.d1 zzzze计算积分计算积分解解 , )( 在复平面内解析在复平面内解析因为因为zezf , 2 1内内位位于于 zz由柯西积分公式由柯西积分公式122d1 zzzzeizze.2ie 59定理定理. , )( )

39、, 2 , 1(d)()(2!)( : , )( 0100)(DzDzfCnzzzzfinzfnzfCnn而而且且它它的的内内部部全全含含于于线线任任何何一一条条正正向向简简单单闭闭曲曲的的内内围围绕绕的的解解析析区区域域为为在在函函数数其其中中导导数数为为阶阶它它的的的的导导数数仍仍为为解解析析函函数数解解析析函函数数 6 高阶导数高阶导数高阶导数公式的作用高阶导数公式的作用:不在于通过积分来求导不在于通过积分来求导, , 而在于通过求导来求积分而在于通过求导来求积分. .60例例1 1解解5cos, d , : 1. (1)CzzCzz计算积分其中为正向圆周 , 1 )1(cos )1(5

40、处处不不解解析析内内在在函函数数 zCzz , cos 内处处解析内处处解析在在但但Cz Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根根据据公公式式 Czzzd)1(cos51)4()(cos)!15(2 zzi;125i 6122 , (1)zeCziz 函数在内的处不解析1C2Cxyo iCi , 1CiC为中心作一个正向圆周为中心作一个正向圆周内以内以在在 , 2Ci为为中中心心作作一一个个正正向向圆圆周周以以 , , )1( 2122围围成成的的区区域域内内解解析析在在由由则则函函数数CCCzez 22d , : 1. (1)zCezCzrz计算积分 其中为正向圆周例例2

41、2解解621C2Cxyo iCi 根据复合闭路定理根据复合闭路定理 Czzzed)1(22 21d)1(d)1(2222CzCzzzezze 1d)1(22Czzze122()d () zCezizziizzizei 2)()!12(2,2)1( iei222 d(1)zCezz ,2)1( iei Czzzed)1( 22于是于是 2)1(iei 2)1(iei)(1(2iiieei )1sin1(cos)1(22 i.41sin2 i63例例3 33421 d .(1)zzzz求积分解解3 z +1 , 函数在复平面内解析 , 2 10内内在在 zz, 3 n 243d)1(1zzzz13

42、1! 32 zzi;2 i Cnnzzzzfinzfd)()(2!)( 100)(根根据据公公式式64 , cos 在复平面内解析在复平面内解析函数函数zez , 1 00内内在在 zz, 1 n 12dcoszzzzze0)cos(! 12 zzzei0sincos2 zzzzezei.2 i 例例4 421cos d .zzezzz求积分解解65一、调和函数的定义一、调和函数的定义. ),( 0, , ),( 2222内的调和函数内的调和函数为区域为区域那末称那末称并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数D

43、yxyxDyx 7 解析函数与调和函数的关系解析函数与调和函数的关系 66二、解析函数与调和函数的关系二、解析函数与调和函数的关系1. 两者的关系两者的关系定理：任何在区域定理：任何在区域 D 内解析的函数内解析的函数, ,它的实部和它的实部和虚部都是虚部都是 D 内的调和函数内的调和函数.证：证： ,)( 内内的的一一个个解解析析函函数数为为设设Divuzfw , .uvuvxyyx 222222 , .uvuvxy xyx y 根据高阶导数定理根据高阶导数定理, , 数数具有任意阶的连续偏导具有任意阶的连续偏导与与vu22: ,vvy xx y 即即有有2222 0,uuxy所所以以, 0

44、 2222 yvxv同同理理 . 都都是是调调和和函函数数与与因因此此vu证毕证毕67. , , ,的共轭调和函数的共轭调和函数称为称为两个调和函数中两个调和函数中的的内满足方程内满足方程在在换句话说换句话说uvxvyuyvxuD 2. 共轭调和函数的定义共轭调和函数的定义. ),( ),( , ),( 的的共共轭轭调调和和函函数数称称为为函函数数内内构构成成解解析析函函数数的的调调和和在在们们把把使使我我内内给给定定的的调调和和函函数数为为区区域域设设yxuyxvDivuDyxu 区域区域D内的解析函数的虚部为实部的共轭调内的解析函数的虚部为实部的共轭调和函数和函数. .683. 偏积分法偏

45、积分法 如果已知一个调和函数如果已知一个调和函数 u, 那末就可以利用那末就可以利用柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数柯西黎曼方程求得它的共轭调和函数 v, 从而从而构成一个解析函数构成一个解析函数u+vi. 这种方法称为这种方法称为偏积分法偏积分法.解解例例1 . ),( , 3),( 23数数和由它们构成的解析函和由它们构成的解析函其共轭调和函数其共轭调和函数并求并求为调和函数为调和函数证明证明yxvyxyyxu 6,uxyx 22 6 ,uyx 2233,uyxy226 ,uyy2222 0,uuxy于于是是故u(x, y)为调和函数。69,6 xyxuyv 因为因为 yxyvd6),(3

46、2xgxy ),(32xgyxv yuxv 又又因因为为,3322xy 2223( )33,yg xyx 由由上上二二式式可可得得: : xxxgd3)( 2故故,3cx ,3),(23cxyxyxv ) ( 为任意常数为任意常数c得一个解析函数得一个解析函数).3(32323cxyxiyxyw 这个函数可以化为这个函数可以化为).()(3czizfw 练习：练习：. , 236),( 3223并求其共轭调和函数并求其共轭调和函数调和函数调和函数为为证明证明yxyyxxyxu 答案答案.263),(3322cxyxyyxyxv 70例例2 . 0)0( ,)( , )sincos(),( fi

47、vuzfyxyxyyeyxvx使使求求一一解解析析函函数数和和函函数数为为调调已已知知解解, 1)sinsincos( yyxyyexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由, 1)cossin(cos yxyyyex xyxyyyeuxd1)cossin(cos 得得),()sincos(ygxyyyxeux 71 , 得得由由yuxv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ,)( cyyg 故故,)sincos( cyxyyyxeux 于于是是,)1(czizez , 0)0( f由由, 0 c得得所求解析函数为所求解析函数为.)1()(zizezfz ivuzf )(ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1(724. 不定积分法不定积分法. , ),( ),( 不定积分法不定积分法求解析函数的