定积分及不定积分

1、青海民族大学 毕业论文（设计）论文题目：浅谈关于定积分与不定积分的拓展应用以及其两者所存在的联系与区别学生姓名： 东主才让 学号： 1111020007 指导教师： 范合宁 职称： 教授 院 系： 青海民族大学数学与统计学院 专业班级： 2015级数学与应用数学（民族师范） 二 年 月 日独创性声明本人声明所呈交的毕业论文是本人在导师指导下进行的理论学习、实习实践以及研究所取得的成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含获得青海民族大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一起探讨、工作的同学对本论文所做的任何贡献均已在论文中作了明确

2、的说明并表示了谢意。毕业论文作者签名： 签字日期： 年 月 日毕业论文版权使用授权书本毕业论文作者完全了解青海民族大学有关保留、使用毕业论文的规定。特授权青海民族大学可以将毕业论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。论文作者签名： 签字日期： 年 月 日 指导教师签名： 签字日期： 年 月 日 青海民族大学毕业论文 摘要摘要：一直以来积分问题就是高等数学院校学习数学的重点，也是作为研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分和不定积分的理论拓展延伸，以及分析研究两者之间的区别

3、与联系。在初等数学、数学分析、解析几何、微积分等学科中的定积分和不定积分的理论知识做了较为系统性总结和分析。并利用一些例题对这些问题做除了详细解析。关键词：积分，不定积分，定积分，变量，原函数。AbstractAbstract：Has always been integral problem is the focus of study in colleges and universities in higher mathematics mathematics, also as one of the postgraduate entrance examination focuses on con

4、tent, so in this paper, the indefinite integral and definite integral theory extends, and the analysis of the differences and relations between.In elementary mathematics, mathematical analysis, analytic geometry, calculus and other disciplines of the indefinite integral and definite integral theory

5、made a more systematic summary and analysis. And use a few examples do in addition to the detailed analysis of these problems.Key words: Integral, indefinite integral, definite integral, variable, function.目 录00000000000000000001引言 2定积分 2.1定积分的定义 2.2定积分的性质 2.3定积分的几何意义 2.4定积分的应用 2.4.1定积分在初等数学里的应用 2.4

6、.2定积分在几何中的应用3不定积分 3.1不定积分的概念及性质 3.2不定积分的第一类换元法 3.3不定积分的第二类换元法 3.4不定积分的分部积分法 3.5不定积分的两种典型积分4 定积分与不定积分的区别与联系5 结语参考文献 附录 致谢 1.引言 积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的正实值函数，在一个实数区间上的定积分可以理解为在坐标平面上，由曲线、直线以及轴围成的曲边梯形的面积值（一种确定的实数值）。积分的一个严格的数学定义由波恩哈德黎曼给出（参见条目“黎曼积分”）。黎曼的定义运用了极限的概念，把曲边梯形设想为一系列矩形组合的极

7、限。从十九世纪起，更高级的积分定义逐渐出现，有了对各种积分域上的各种类型的函数的积分。比如说，路径积分是多元函数的积分，积分的区间不再是一条线段（区间a,b），而是一条平面上或空间中的曲线段；在面积积分中，曲线被三维空间中的一个曲面代替。对微分形式的积分是微分几何中的基本概念。2. 定积分2.1定积分的定义一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：.如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分记为：，其中成为被积函数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限说明：（1）定积分是一个常数

8、,即无限趋近的常数（ 时）称为，而不是（2）用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功 2.2 定积分的性质性质1 性质2 （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）性质3 （定积分的线性性质）性质4 （其中acb）2.3 定积分的几何意义 如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积2.3-1说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号 分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值考察和式不妨设

9、于是和式即为阴影的面积阴影的面积（即轴上方面积减轴下方的面积）。2.4 定积分的应用2.4.1定积分在初等数学里的应用近些年来，定积分还越来越多的被广泛应用到初等数学中的一些问题上来，下面来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一些数列的极限的方面的应用。运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：设与都在上可积且；则特别的当时，有例1 证明贝努利不等式 已知且且求证：证明：若或且时， 。因此 即为。若或且时因此 由此可得。综合以上可得：当时，且 且 时有。由上面的证明我们可以推广，去掉条件时，结论仍然成立所以，我们可以得到一个一般的结论设 则若时，有若或时，有当且仅当时，两式中的等号成立求

10、和：根据微分与积分互为逆运算的关系,先对和式积分,利用已知数列的和式得到积分和,再求导即可.2.4.2定积分在几何中的应用2.4.2.1定积分微元法 定积分的应用范围很广，在这里介绍它在几何方面和物理方面的一些应用首先说明一种运用定积分解决实际问题时常用的方法将所求量表达成为定积分的分析方法微元法（或元素法）. 在将具体问题中所求的量（如曲边梯形的面积，变速直线运动的路程）表达成定积分：时，总是把所求量看作是与变量的变化区间相联系的整体量当把区间划分为若干小区间时，整体量就相应地分为若干部分量，而整体量等于各部分量之和，这一性质称为所求量对于区间具有可加性.划分区间后，在各部分区间上，求出部分

11、量的近似表达式，由可加性，总量的近似值可以表达成和式（由于点任意选取时，和式极限有确定的值，常取为区间的左端点），从而这个和式的极限就是所求量的精确值，于是由定积分的定义，总量可用定积分来表达 一般地，如果某一实际问题中所求量满足以下条件：是与变量的变化区间有关的量，且对于该区间具有可加性，所求量就可用定积分来计算.具体步骤如下：（1）确定积分变量，并求出相应的积分区间（2）在区间上任取一小区间，并在该小区间上找出所求量的微元（3）写出所求量的积分表达式，然后计算它的值.这里通常称为所求量的微分（或元素），这种直接在小区间上找积分表达式从而得出定积分表达式的方法，通常称为微元法（或元素法）.2

12、.4.2.1定积分求解平面图形面积直角坐标情形：根据定积分的几何意义，由区间连续曲线、。及直线所围成的平面图形的面积A，由定积分的性质，此式可写为(利用微元法求解可得同样的结果)其中d就是面积元素。2.4-1极坐标情形：某些平面图形，用极坐标计算它们的面积比较方便用微元法计算：由极坐标方程所表示的曲线与射线所围成的曲边扇形面积（见图）以极角为积分变量，积分区间为，在上任取一小区间，与它相应的小曲边扇形面积近似于以为圆心角为半径的圆扇形面积，从而得到面积元素于是所求面积为2.4.2.3用定积分求解图形体积旋转体的体积：设一旋转体是由曲线与2.4-2直线、及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成（见2

13、.4-2图）现用微元法求它的体积在区间上任取，对应于该小区间的小薄片体积近似于以为半径，以为高的薄片圆柱体体积，从而得到体积元素为从a到b积分，得旋转体体积为 类似地，若旋转体是由连续曲线与直线及y轴所围成的图形绕y轴旋转而成，则其体积为。3. 不定积分3.1 不定积分的概念与性质原函数定义1：若，则称为的原函数。 连续函数一定有原函数； 若为的原函数，则也为的原函数； 事实上， 的任意两个原函数仅相差一个常数。事实上，由，得故表示了的所有原函数，其中为的一个原函数。一般地，原函数有下面的性质： 设F(x)是函数f(x)在区间I上的一个原函数，对于任意常数C，F (x)+C也是f(x)的原函数

14、，并且f(x)在区间I上任何一个原函数都可以表示成F(x)+C的形式。不定积分定义2：的所有原函数称为的不定积分，记为，积 分号，被积函数，积分变量。显然对于不定积分的定义，说明如下： （1）函数f(x)的不定积分 等于函数f(x)的所有原函数F (x)+C，常数C不要漏写，F(x)只能表示一个原函数，这也正是原函数和不定积分的区别；不定积分记号， 由积分记号“ ”和被积式“f(x)dx”构成，书写时不要漏掉dx. （2）在不定积分 中，积分变量是x；在不定积分 中，积分变量是x，被积分函数 是关于x的指数函数；在 中，积分变量是u，被积函数 是关于u的幂函数。 强调：F（x）与f(x)是定义

15、在同一区间I上，这里的区间I可以是闭区间或半闭区间或开区间；F（x）是f(x)的一个原函数，不是所有的原函数；求原函数（在不计所加常数C的情况下）与求导数互为逆运算。 3.1.2不定积分基本积分公式（略）3.1.3不定积分的性质例3求下列不定积分1234563.2 不定积分的换元法3.2.1第一类换元法（凑微分法）1、例1、求不定积分2、例2、求不定积分3. 例1求不定积分1234567例4、求不定积分891011121314153.3不定积分的第二类换元法3.3.1 三角代换例1、解：令，则原式=例2、解：令原式=例3、解：令，则原式= 例4、解：令，则 原式=例5、解：令，则原式= 例6、

16、解：令，则原式=小结：中含有可考虑用代换3.3.2无理代换例1、解：令原式=例2、解：令原=3.3.3 倒代换例1、解：令原式 3.4不定积分分部积分法分部积分公式：，故 （前后相乘）（前后交换）例1、例2、例3、或解：令原式3.5 不定积分两种典型积分3.5.1有理函数的积分有理函数可用待定系数法化为部分分式，然后积分。例1、将化为部分分式，并计算解：故或解： 例2、例3、4不定积分与定积分的区别与联系 单纯的积分，也就是已知导数求原函数，而若F(x)的导数是f(x)，那么F(x)+C（C是常数）的导数也是f(x)，也就是说，把f(x)积分，不一定能得到F(x)，因为F(x)+C的导数也是f

17、(x)，C是无穷无尽的常数，所以f(x)积分的结果有无数个，是不确定的，我们一律用F(x)+C代替，这就称为不定积分。不定积分计算的是原函数（得出的结果是一个式子）定积分计算的是具体的数值（得出的借给是一个具体的数字）不定积分是微分的逆运算，而定积分是建立在不定积分的基础上把值代进去相减积分。 而相对于不定积分，就是定积分。 所谓定积分，其形式为f(x) dx (上限a写在上面，下限b写在下面)。之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。定积分就是把直角坐标系上的函数的图象用平行于y轴的直线把其分割成无数个矩形，然后把某个区间a,b上的矩形累加起来，所得到的

18、就是这个函数的图象在区间a,b的面积。实际上，定积分的上下限就是区间的两个端点a,b.不定积分。设F（x)是函数f(x)的一个原函数，我们把函数f(x)的所有原函数F(x)+C（C为任意常数）叫做函数f(x)的不定积分，记作，即f(x)dx=F(x)+C.其中叫做积分号，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数的不定积分的过程叫做对这个函数进行积分.由定义可知：求函数f(x)的不定积分，就是要求出f(x)的所有的原函数，由原函数的性质可知，只要求出函数f(x)的一个原函数，再加上任意的常数C，就得到函数f(x)的不定积分.求导数与求原函数或不定积

19、分（在不计所加任意常数时）互为逆运算。求一个函数的不定积分，允许结果在形式上不同，但结果的导数应相等。 定积分的正式名称是黎曼积分。用自己的话来说， 把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-尼兹公式，它的内容是：若F(x)=f(x)那么f(x) dx (上限a下限b)=F(a)-F(b)牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。正因为这个理论，揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本

20、定理。定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。这个重要理论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式，它的内容是： 如果，那么 这里x出现了两种意义，一是表示积分上限，二是表示被积函数的自变量，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的。虽然这种写法是可以的，但习惯上常把被积函数的自变量改成别的字母如t，这样意义就非常清楚了：牛顿-莱布尼兹公式用文字表述，就是说一个定积分式的值，就是上限在原函数的值与下限在原函数的值的差。正这个理论揭示了积分与黎曼积分本质的联系，可见其在微积分学乃至整个高等数学上的重要地位，因此，牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。4 结语定积分与实际应用联系较近，牛顿曾利用积分从万有引力导出行星三定律定积分在物理，化学，经济，工程中也有重要的应用，我也相信，随着人类认识的不断发展，定积分将越来越起着重要的作用参考文献 1刘玉莲，数学分析上册（第二版），北京：高等教育出版社20112刘玉莲，数学分析下册（第二版），北京：高等教育出版社2011 3钟玉泉，复变函数（第三版），北京：高等教育出版社20044王高雄，常微分方程（第三版），北京：高等教育出版社2012