高考数学二轮复习 专题四 数列 4.2.1 等差、等比数列与数列的通项及求和优质课件 文

1、14 4. .2 2. .1 1等差、等比数列与数等差、等比数列与数列的通项及求和列的通项及求和-2-等差、等比数列的通项及求和等差、等比数列的通项及求和例1(2018全国,文17)记Sn为等差数列an的前n项和,已知a1=-7,S3=-15.(1)求an的通项公式;(2)求Sn,并求Sn的最小值.解 (1)设an的公差为d,由题意得3a1+3d=-15.由a1=-7得d=2.所以an的通项公式为an=2n-9.(2)由(1)得Sn=n2-8n=(n-4)2-16.所以当n=4时,Sn取得最小值,最小值为-16.解题心得对于等差、等比数列,求其通项及前n项和时,只需利用等差数列或等比数列的通项

2、公式及求和公式求解即可.-3-对点训练对点训练1已知等差数列an的前n项和为Sn,等比数列bn的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2.(1)若a3+b3=5,求bn的通项公式;(2)若T3=21,求S3.解 设an的公差为d,bn的公比为q,则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1.由a2+b2=2得d+q=3.(1)由a3+b3=5,得2d+q2=6.因此bn的通项公式为bn=2n-1.(2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0,解得q=-5或q=4.当q=-5时,由得d=8,则S3=21.当q=4时,由得d=-1,则S3=-6.-4-可转化为等差、等比数列的问题可转

3、化为等差、等比数列的问题例2已知an是公差为3的等差数列,数列bn满足b1=1, b2= ,anbn+1+bn+1=nbn.(1)求an的通项公式;(2)求bn的前n项和.-5-解题心得无论是求数列的通项还是求数列的前n项和,通过变形、整理后,能够把数列转化为等差数列或等比数列,进而利用等差数列或等比数列的通项公式或求和公式解决问题.-6-对点训练对点训练2设an是公比大于1的等比数列,Sn为数列an的前n项和,已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列.(1)求数列an的通项公式;(2)令bn= ,n=1,2,求数列bn的前n项和Tn.-7-(2)由(1)得a3n+1=23n,b

4、n=ln 23n=3nln 2.bn+1-bn=3ln 2,数列bn为等差数列.-8-求数列的通项及错位相减求和求数列的通项及错位相减求和例3已知an为等差数列,前n项和为Sn(nN*),bn是首项为2的等比数列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通项公式;(2)求数列a2nbn的前n项和(nN*).解 (1)设等差数列an的公差为d,等比数列bn的公比为q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0.又因为q0,解得q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8.由S11=11

5、b4,可得a1+5d=16,联立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,an的通项公式为an=3n-2,bn的通项公式为bn=2n.-9-(2)设数列a2nbn的前n项和为Tn,由a2n=6n-2,有Tn=42+1022+1623+(6n-2)2n,2Tn=422+1023+1624+(6n-8)2n+(6n-2)2n+1,上述两式相减,得-Tn=42+622+623+62n-(6n-2)2n+1得Tn=(3n-4)2n+2+16.所以,数列a2nbn的前n项和为(3n-4)2n+2+16.-10-解题心得求数列通项的基本方法是利用等差、等比数列通项公式,或通过变形转换成等差、等

6、比数列求通项;如果数列an与数列bn分别是等差数列和等比数列,那么数列anbn的前n项和采用错位相减法来求.-11-对点训练对点训练3(2018浙江,20)已知等比数列an的公比q1,且a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列bn满足b1=1,数列(bn+1-bn)an的前n项和为2n2+n.(1)求q的值;(2)求数列bn的通项公式.解 (1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4,所以a3+a4+a5=3a4+4=28,解得a4=8.-12-13-14-求数列的通项及裂项求和求数列的通项及裂项求和例4设数列an满足a1+3a2+(2n-1)an=2n

7、.(1)求an的通项公式;(2)求数列 的前n项和.-15-解 (1)因为a1+3a2+(2n-1)an=2n,故当n2时,a1+3a2+(2n-3)an-1=2(n-1).两式相减得(2n-1)an=2.-16-解题心得对于已知等式中含有an,Sn的求数列通项的题目,一般有两种解题思路,一是消去Sn得到f(an)=0,求出an;二是消去an得到g(Sn)=0,求出Sn,再求an.把数列的通项拆成两项之差,求和时中间的项能够抵消,从而求得其和.注意抵消后所剩余的项一般前后对称.-17-对点训练对点训练4已知an为公差不为零的等差数列,其中a1,a2,a5成等比数列,a3+a4=12.(1)求数

8、列an的通项公式;-18-19-涉及奇偶数讨论的数列求和涉及奇偶数讨论的数列求和例5已知等差数列an的前n项和为Sn,且a1=2,S5=30.数列bn的前n项和为Tn,且Tn=2n-1.(1)求数列an,bn的通项公式;(2)设cn=(-1)n(anbn+ln Sn),求数列cn的前n项和.解 (1)S5=5a1+ d=10+10d=30,d=2,an=2n.对数列bn:当n=1时,b1=T1=21-1=1,当n2时,bn=Tn-Tn-1=2n-2n-1=2n-1,当n=1时也满足上式.bn=2n-1.-20-21-当n为偶数时,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+ln n+ln(n+1)=ln(n+1)-ln 1=ln(n+1);当n为奇数时,Bn=-(ln 1+ln 2)+(ln 2+ln 3)-(ln 3+ln 4)+-ln n+