电势及其梯度-文档资料

1、 电磁学电子教案使用教材：使用教材：赵凯华、陈熙谋赵凯华、陈熙谋: : 新概念物理学新概念物理学电磁学电磁学主讲：周贵德主讲：周贵德沧州师范学院物电系沧州师范学院物电系 2011年年2月制作月制作dlFl dFdAcos（1 1）单个点电荷产生的电场）单个点电荷产生的电场如图，有心力场中，质点在有心力如图，有心力场中，质点在有心力F(r)F(r) 的作用下，沿任意路径从的作用下，沿任意路径从P P点运动到点运动到Q Q点，点，求：力的功。求：力的功。drdl cos由于：由于：所以：所以：drrFdA)(QPPQdlFAcos)(L从从P P到到Q, Q, F(r)F(r)的功：的功：QPrr

2、PQdrrFA)(有心力的功，只与始、末点到力心的距离有心力的功，只与始、末点到力心的距离r rP P、r rQ Q有关，有关，与路径无关。与路径无关。4dlEql dFdAcos0（1 1）单个点电荷产生的电场）单个点电荷产生的电场试探电荷试探电荷q q0 0 从从P P点移动到点移动到Q Q，q q对对q q0 0的力所做的功：的力所做的功：QPrrrrrrPQrrqqrqqdrrqqEdrqAQPQPQP1144400002000q q对对q0q0的力所做的功，只与始、末点到力心的距离的力所做的功，只与始、末点到力心的距离r rP P、r rQ Q有关，有关，与路径无关。与路径无关。5l

3、 dEql dFdA0（2 2）任何带电体系产生的电场）任何带电体系产生的电场试探电荷试探电荷q q0 0 在任意带电体系的电场中，从在任意带电体系的电场中，从P P点移动到点移动到Q Q，电，电场力对场力对q q0 0的力所做的功：的力所做的功：总电场力对总电场力对q q0 0的功，也与路径无关。的功，也与路径无关。kEEEE21QPQPkQPQPkQPPQldEqldEqldEqldEEEqldEqA020102100)()(L)(L)(L)(L)(L)(L结论：结论：试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功只与这试探电试探电荷在任何静电场中移动时，电场力所作的功只与这试探电荷电量的大

4、小及其起点、终点的位置有关，与路径无关。荷电量的大小及其起点、终点的位置有关，与路径无关。6做功与路径无关的另一种表述：QPPQldEqA0)(1L上式表示，静电场中场强沿任意闭合环路的线积分，即环量恒等于0。我们把它叫做静电场的环路定理，它和“静电场力作功与路径无关”的说法完全等价。)(2ILQPPQQPPQAldEqldEqA00)(2L0QPPQAA得到：)(1L0PQQPldEldE)(2L0ldE故：7 做功与路径无关的场是做功与路径无关的场是保守场保守场，做功与路径无关的力是做功与路径无关的力是保守力，保守力，可可以引入以引入势能。（重力、弹力、电场力）势能。（重力、弹力、电场力）

5、1. 静静电场是电场是保守场保守场，静电场力是，静电场力是保守力保守力. 静电场静电场力所做的功就等于电荷力所做的功就等于电荷电势能电势能的的减少减少.QPPQQPPQl dEqAWWW02. 电势与电势差电势与电势差 WPQ与试探电荷的电量与试探电荷的电量 q0 成正比。但是，比成正比。但是，比值值WPQ / q0 与试探电荷无关，它反映了电场本身与试探电荷无关，它反映了电场本身在在P、Q两点的性质。这个量定义为电场中两点的性质。这个量定义为电场中P、Q两点间的两点间的电势差电势差，或称，或称电势降落电势降落、电压。用电压。用UPQ来来表示：表示：QPPQPQPQlEqAqWUd008参考点

6、PlEPUd)(QPPQPQPQlEqAqWUd004.2 电势与电势差电势与电势差电势差：电势差：QPQPQPPQlEUUqWqWUd00设设 UQ=0，Q点称为参考点，则点称为参考点，则如果带电体系局限在有限大小的空间里，一般选如果带电体系局限在有限大小的空间里，一般选无穷远点无穷远点为电势为电势的参考点，即的参考点，即,d)(PlEPUQlEQUd)(电势单位：伏特（电势单位：伏特（V）1C1J1V 9例题例题 10 示波管阳极示波管阳极A与阴极与阴极K之间的电压为之间的电压为3000V，求从阴极发射出的电子到达阳极时的速度。求从阴极发射出的电子到达阳极时的速度。解：解：已知已知 UAK

7、=3000V， -e=1.60210-19电子从阴极飞到阳极电场力的功为：电子从阴极飞到阳极电场力的功为：AKA=WKA=-eUKA=(-1.610-19)(-3000)=4.8010-16smmAvAvmee/1025. 31011. 9108 . 42221731162能量单位：电子伏特能量单位：电子伏特 eV 1eV=1.0210-19 J，近代物理学中常用。，近代物理学中常用。10例题例题 11 求点电荷电场的电势分布求点电荷电场的电势分布解：解：11例题例题 12 求均匀带电球壳产生的电场中电势的分布，求均匀带电球壳产生的电场中电势的分布，设电量设电量Q，半径，半径R。解：已知带电球

8、壳的电场分布：解：已知带电球壳的电场分布：)(, 0)(,420RrERrrQE在球壳内（在球壳内（rR）)(,4dlE)(0PRrrQPU)(,41)(,4100RrRQRrrQ总起来：总起来：12rdqdUP044.3 电势叠加原理电势叠加原理 点电荷系点电荷系iiEEPlEPUd)(lEiAidiiiiirqPUPU04)()(qdUrPVqddqd 电荷连续分布rqUP0 4d13r qUr qUPP004)(,4)11(40rr qUUUP例题例题13 求距电偶极子相当远的地方任一点的电势。求距电偶极子相当远的地方任一点的电势。已知电偶极子中两电荷已知电偶极子中两电荷q 之间的距离为

9、之间的距离为l。解：解：近似计算：近似计算：cos2,cos2lrrlrr22000)cos21(cos4)cos21)(cos21()cos21()cos21(4)cos211cos211(4rl qrrrr qrr qUP14例题例题13 求距电偶极子相当远的地方任一点的电势。求距电偶极子相当远的地方任一点的电势。已知电偶极子中两电荷已知电偶极子中两电荷q 之间的距离为之间的距离为l。解：解：20202041cos41cos4rrp rp rl qUP150, 0)(),(0PQQPQPPQAUUUUqA4.4 等势面等势面电势相等的点所组成的面称为电势相等的点所组成的面称为等势面等势面。

10、 点电荷电场的电势点电荷电场的电势:rqU041 r相等远处，电势值相等。点电荷电相等远处，电势值相等。点电荷电场的等势面是球面。场的等势面是球面。为了描述空间电势的分布，规定任意为了描述空间电势的分布，规定任意两相邻等势面间的电势差相等两相邻等势面间的电势差相等. 等势面的性质：等势面的性质：（1）等势面和电场线处处正交）等势面和电场线处处正交证明：沿着等势面把证明：沿着等势面把q0从从P点移到点移到Q点，电场力做功点，电场力做功0cos00Edlql dEqdA看看dA：得证得证 ，只有均不为、由于0cos00dlEq16等势面的性质：等势面的性质：（2）等势面较密集的地方场强大，较稀疏的

11、地方场强小）等势面较密集的地方场强大，较稀疏的地方场强小证明：如图两个相邻的等势面，电势分别为证明：如图两个相邻的等势面，电势分别为U 和和U+U ,nEldEUQPnUEnUE lim0n上式表明：当上式表明：当U 一定时，一定时，n 越大，越大，E越小越小174.5 电势的梯度电势的梯度标量场：标量场：任何空间坐标的标量函数，叫做标量场。电势任何空间坐标的标量函数，叫做标量场。电势U是个标量，它是个标量，它在空间每点有一定的数值，所以在空间每点有一定的数值，所以电势电势是个是个标量场。标量场有梯度。标量场。标量场有梯度。 “梯度梯度”：梯子，每米有：梯子，每米有2凳，一凳凳，一凳50厘米，

12、每米有厘米，每米有3凳，一凳凳，一凳33厘米。厘米。“梯度梯度” ，通常指一个物理量的空间变化率。，通常指一个物理量的空间变化率。用用数学语言数学语言来说，就是物理量对空间坐标的来说，就是物理量对空间坐标的微商微商。电势场中：沿某个方向走电势场中：沿某个方向走1米，电势变了多少？米，电势变了多少？，lU1lUlUmi llU0l184.5 电势的梯度电势的梯度nUnUmi l0l电势的梯度电势的梯度矢量矢量 定义：方向沿定义：方向沿 （沿等势面法线，指向电势增加（沿等势面法线，指向电势增加方向），大小为方向），大小为 ，记为，记为gradU，或，或nnUUlUlUmi l0lcoslncos,

13、cos1nUlUnUlU或电势沿电势沿n方向的微商最大，沿其它方向的微商最大，沿其它方向的微商等于该微商乘以方向的微商等于该微商乘以cosnUlUnnUgradUU19nUnUElim4.5 电势的梯度电势的梯度gradUUnnUEE在任意方向的分量：在任意方向的分量：lUnUElcos直角坐标系中：直角坐标系中：kEjEiEEzyxkzUjyUixU球坐标系中：球坐标系中：），（rrEErEEsin11UrUrrrU例题例题14 以后再讲，先自己看以后再讲，先自己看rdlrdqdUeP0044ReRePdlrrdlU(z)U2002004412202200422zRqzRRrRee例例151

14、5 求均匀带电圆形细环轴线上的电势和场强分求均匀带电圆形细环轴线上的电势和场强分布。环半径布。环半径R R，电荷线密度，电荷线密度e e 。dldqe解解：（：（1）电势分布）电势分布（2）场强分布）场强分布2322023220e42)z（Rqz)z（RzRzUEEz4 4.6.6 电偶极层电偶极层)(0)(0)(4141P)(SeSerdSrSdUdSrr(S)e11410)cos1)(cos1 ()cos1 (1)cos1 (1cos1r1rlrlrlrrlrlr2cos1)cos1 (1rlrrlr于是,coslrr因为因为2cos11rlrr所以所以)(20cos41P)(SerdSlU代入得：代入得：4 4.6