(完整版)概率论与数理统计课程第一章练习题及解答

1、概率论与数理统计课程第一章练习题及解答一、判断题(在每题后的括号中 对的打“V”错的打“X”)1、若P(A) 1，则 A 与任一事件 B 一定独立。(话2、 概率论与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。(话3、 样本空间是随机现象的数学模型。(V4、 试验中每个基本事件发生的可能性相同的试验称为等可能概型。(X)5、 试验的样本空间只包含有限个元素的试验称为古典概型。(X)6 实际推断原理就是“概率很小的事件在一次试验中实际上几乎是不发生的”。(V7、若 S 为试验 E 的样本空间，BI,B2丄,Bn为 E 的一组两两互不相容的事件，则 称BI, B2,L ,Bn为样本空间

2、S 的一个划分。(X)8、若事件 A 的发生对事件 B 的发生的概率没有影响，即 P(B A) P(B)，称事件A、B 独立。(V9、若事件BI,B2, L ,Bn(n 2)相互独立，则其中任意k (2 k n)个事件也是相互 独立的。(V10、若事件BI, B2,L ,Bn(n 2)相互独立，则将BI,B2,L ,B.中任意多个事件换成 它们的对立事件，所得的n个事件仍相互独立。(V二、单选题1 设事件 A 和 B 相互独立，则P(AUB)( C )A、P(A) P(B)B、P(A) P(B)C、1 P(A)P(B)D、1 P(A)P(B)2、设事件 A 与 B 相互独立，且0 P(A) 1

3、,0 P(B) 1，则正确的是( A )A、A 与 A B 一定不独立B、A 与 A B 一定不独立C、A 与 B A 一定独立D、A 与 AB 一定独立3、设当事件 A 与 B 同时发生时，事件 C 必发生，则( B )A、P(C) P(A) P(B) 1B、P(C) P(A) P(B) 1C、P(C) P(AB)D、P(C) P(AU B)4 4、在电炉上安装了 4 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度to，电炉就断电，以E E 表示事件“电炉断电”，而T(1)T(2)T(3)T(4)为 4 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值

4、，则事件E E 等于()A、T(1)toB、T(2)toC、T(3)toD、T(4)to分析 事件Tto表示至少有一个温控器显示的温度不低于临界温度to;事件T(3)to表示至少有两个温控器显示的温度不低于临界温度to,即ET(3)to，选Co5、对于任意二二事件A 和 B, 与 AU BB 不等价的是( : )A、A.BB、BAC、ABD、AB分析AU BBA BBAAB，而ABB A，因A B, AB不一疋成立，选 D6 对于任意二二事件A 和 B,A、若AB，贝 U A, B 一定独立B、若AB，贝 U A, B 有可能独立C、若AB，贝 U A, B 一定独立 D、若AB，贝 U A,

5、 B 一定不独立分析 若P(A), P(B)中至少有一个等于 o o 时，贝UA A 不成立；若P(A), P(B)均大于 o o 时,则 C C 不成立；若AB，但P(A) o，且P(B A) P(B)时，则A 与 B 独立，D 不成立，因此应选 B。即当AB时，如果P(AB) P(A)P(B)，则A 与 B 独立，否则 A 与 B 不独立。7、对于事件 A 和 B,满足 P( B A)1 的充分条件是()充分条件。选 D分析A、A 是必然事件B、P( B A) oC、 A BP(B A)1 的充分条件是P(AB)(A1，即P(AB) P(A)，显然在四个选项中，当 A B 时，AB A，可

6、得P(AB)P(A)，因此 AB 是 P( B A) 1的C、P(C) P(AB)D、P(C) P(AU B)8 8、已知o P(B) 1且P(A A2) B P(A B) P(A2B)，则下列选项成立的是A、P(A A2) B P(A B) P(A B)B、P(A1B AB)P(AB)P(AB)C、P(AiA)P(AiB) P(A2B)D、P(B)P(AI)P(BAI)P(A)P(BA2)分析依题意P(A A2)B P(AB) P(A2B)P(AB A2B) P(AB) P(A2B)心P(B)P(B) P(B)，P(B)P(B)因为0 P(B) 1，故有P(AB A2B) P(AB) P(A

7、2B)。选 B B9 9、设 A、B 为任意两个事件，且A B, P(B) 0,则下列选项必然成立的是A、P(A)P(A B)D、P(A)P(A B)分析因为 A B，故 AB A，又P(B) 1，于是有P(A) P(AB) P(B)P(A B) P(AB)，选 B10、设 A、B 是两个随机事件，且 0 P(A) 1, P(B) 0, P(B A) P(B A)，则 必有()A、P(A B) P(A B)B、P(AB) P(A B)C、P(AB) P(A)P(B)D、P(AB) P(A)P(B)分析 应用条件概率定义从 P(B A) P(B A)可得巴色 巴邑，P(A) P(A)即1 P(A

8、)P(AB) P(A)P(B) P(AB) P(AB) P(A)P(B)，选 C三、填空题1、 随机试验记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)，样本空间 S 为(S-|i 0,1,2,L ,100n)n2、 生产产品直到有 10 件正品为止，记录生产产品的总件数，样本空间S 为( S10,11,12,L)3、 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出 2 个次品就停止检查，或检查 4 个产品就停止检查，记录检查的结 果，样本空间 S为(S 00,100,0100,0101,0110,1100,1010,10110111,1101,1110

9、,1111) 4、在单位圆内任意取一点，记录它的坐标，样本空间 S 为(取一直角坐标系, 则样本空间为S (x, y) x2y21;若取极坐标系，则样本空间为S ( , )1,02o )5、设 A, B, C 为三个事件，用 A, B, C 的运算关系表示下列事件。(1) A 发生，B 与 C 不发生，(ABC或者 A B C )(2) A 与 B 都发生，而 C 不发生，(ABC或者 AB C )(3) A，B，C 中至少有一个发生，(ABC )(4) A，B，C 都发生，(ABC )(5) A，B，C 都不发生，(ABC)(6)A，B，C 中不多于一个发生，(ABBCCA或者AB BC C

10、A或者ABC ABCABCABC)(7) A，B，C 中不多于两个发生，(DyABC ABCABCABC ABC ABCABC或者D7A B CABC)(8 ) A， B， C 中至少有两个发生，(D8ABBCCA或者D8ABC ABC ABC ABC)o&设 A，B 是任意两个随机事件，则P( A B)(A B)(A B)(A B)(0)分析(A B)(A B) AAAB AB BB B(A B)(A B) AA AB ABBBBP( A B)(A B)(A B)(A B) P(BB) P( )07 7、一批产品共有 1010 个正品 2 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽出后不再放回

11、，则第 二次抽出的是次品的概率为( 分析 此为一全概率问题，设事件Bi第 i 次抽出次品，i 1,2，由题有P( B1)2/12 ,P( B1) 10/12,p(B2B1) 111,P(B2B,)211,于是P( B2)=P( BO(B2B1)+P(B1) ( B,B1)10121112118 8、设 A,B 两个事件满足P(AB) P(AB)，且P(A) p，则P(B)()分析P(AB) P(AUB) 1 P(AU B) 1 P(A) P(B) P(AB)因为P(AB) P(AB)，故有P(A) P(B) 1,P(B) 1 P(A) 1 p9、 设两两相互独立的三事件 A,B 和C,满足条件

12、：ABC , P(A) P(B) P(C),且已知PAUBUC) 916，贝UP(A)()分析 由于 A、B、C 两两相互独立，且P(A) P(B) P(C),所以，P(AC) P(A)P(C) P(A)2,P(BC) P(B)P(C) P(A)2,PAU B UC) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) P(BC) P(ABC) 3P(A) 3P(A)2依题意，有3P(A) 3P(A)2916, 解方程，得P(A) 14。(P(A) 3,4不合题意舍去)10、 设两个相互独立的事件 A 和 B 都不发生的概率为19, A 发生 B 不发生的概率与 B 发生 A 不发生的概率相

13、等，则P(A)()分析 依题意，P(AB) P(AB)，故P(AB) P(AB) P(AB) P(AB),即P(A) P(B)，又因 A 与 B 相互独立，故 A 与 B 亦相互独立，- - -1_P(AB) P(A)P(B) P(A)219 P(A) 13, P(A) 2 3。四、计算题1、(1)设 A, B, C 是三个事件，且(A)=P(B)=P(C)=1/4,P(AB)=P(BC)=0, P(AC)=1/8，求 A,B, C 至少有一个发生的概率。(2)已知 P(A)=1/2 , P(B)=1/3 , P(C)=1/5 , P(AB)=1/10 , P(AC)=1/15 , P(BC)

14、=1/20 ,P(ABC)=1/30,求A B,AB,C,亦C,ABC， C的概率。(3)已知 P(A)=1/2 , (i)若 A, B 互不相容，求P(A_), (ii )若 P(AB)=1/8 ,求P(A )。解：(1)P(A B C) P(A) P(B) P(C) P(AB) P(BC) 由 ABC AB,且已知 P( AB)0,得 0 P( ABC)5因此 P( A B C)=-81 1 1 11(2) P(A B) P( A P( B) P(AB)=2 3 10154P( AB) (A B) =1-(A B)=；P(ABC)P(A)P(B)+P(C)P(AB)-P(BC)-P(AC)

15、+P(ABC)11 111151235 10201530609P( ABC)P( ABC)=1-P( A BC)=M60因为P( AB)p( ABS):=p( AB(CC) =P( ABC)P(ABC)于是P(ABC)p( AB)P( ABC)_ 4911560124 11 - -23p(ABC) P( AE) +P( C) - P( ABC)=+。15 512 60(3) (i)因为所以AB,P(AB)0, P(A)P(AS)=P(A(BB)=P(AB)+P(AB)(AB)=P(A)1P(AB)=-2(ii)因为(AB)1,P(A)P(AS)=8：P(A(B B)=P(AB)+P(AB)所以

16、P(AB)=P(A)1 P(AB)=-1 35P(AC) P(ABC) P(ABC)P(AB)0,于是 P( ABC)0解：古典概型(1)设 A= “最小号码为 5”，贝 U P(A)CfCw1 ;12 ；28 82、在房间里有 10 个人，分别佩戴从1 号到 10 号的纪念章，任选 3 人记录其纪念章的号码。求(1)最小号码为 5 的概率;(2)最大号码为 5 的概率。3、在 1 500 个产品中有 400 个次品，1 100 个正品。从中任取 200 个。求(1) 恰有 90 个次品的概率；(2) 至少有 2 个次品的概率。解：古典概型设 A= “恰有 90 个次品” ；Bi= “恰有 i

17、 个次品”，i=0,1，C= “至少有 2 个次(2)设 C= “至少有 2 个次品”，求 P(C)又设 Bi= “恰有 i 个次品”，i=0,1，则C S B。B1，于是P(C)P(S BoB1)1 P(B。)P(BJ,这里 P(Bo)C200C1100P(BJC1C199C400C1100C200，C1500C200，C1500因此 P(C)C2001C1100C400CC200(2)设 B= “最大号码为 5”,则 P(B)C423120(1)设 A= “恰有 90 个次品”则 P(A)90、400C1101100200C15004、 从 5 双不同的鞋子中任取

18、 的概率是多少？4 只，问这 4 只鞋子中至少有两只鞋子配成一双解： 古典概型2 只配成一双”，_ N-则 P(A) 1 P(A) 1ANS110 8 6 4兰10 9 8 7 21另解：古典概型设 A= “所取 4 只鞋子至少有能配成 i 双”，i=1,2，贝 U2 只配成一双”，Ai= “所取 4 只鞋子恰P(A) P(AJ P(A2)牛NSc5(c；C4) &C；0210G4。120 1013215、 张卡片上分别写上 Probability 列结果为 ability的概率。这 11个字张，求其排解：古典概型，设 A= “排列结果为 ability ”，则P(A)山 刍NSP11& (1

19、)已知P( A)0.3, P( B)=0.4，P( AB)=0.5。求条件概率P(B AUB)62.4 10。已知(A) 1/4, ( AB) =1/2,P(BA) =1/3，求P(A B)解：(1)P(BA B)P(B(A里P(AB)_P(A B) P(A) P(B) P(AB)由题知,P(A) 1 P(A) 0.7, P(B) 1 P(B) 0.6,P(AB) P(A(S B) P(A) P(AB) 0.2,故(2)因为 P(A B) P(A) P(B) P(AB)所以 P(B)1, P(AB)丄,P(A B)161237、(1).设有甲、乙二袋，甲袋中装有 n 只白球 m 只红球，乙袋中

20、装有 N 只白球 M 只红球，今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球，问取 到(即从乙袋中取到)白球的概率是多少？(2)第一只盒子装有 5 只红球，4 只白球；第二只盒子装有 4 只红球，5 只 白球。先从第一盒子中任取 2 只球放入第二盒中去，然后从第二盒子中任取一只 球，求取到白球的概率。m nm NM1 nm NM1( n m)(N M 1)(2)设 Ai= “从第一盒取得的球中有B= “从第二盒取得一白球”，则1 2_6 A 536 11 18 11 18 11 gg 8、将两编码为 A 和 B 传送出去，接收站收到时，A 被误作为 B 的概率是 0.02， 而 B 被误作为

21、 A 的概率是 0.01。信息 A 与信息 B 被P(B AB)0.20.7 0.6 0.50.25P(A B)P(AB)P(A)1P(A)-解：(1)设 A= “从甲袋取得红球”，B= “从乙袋取得白球”，贝 UP(B) P(SB) P(AB) P(AB) P(A) P(B A) P(A)P(B A)Nn N 1n N(n m)i 只红球”，i=0,1,2.P(B) P(SB) P(代 B)P(AB) P(B)P(A0)P(B A) P(A)P(BA)P(A2)P(BAC2因为 P(Ac) CCg1C；6，P(A2)C9，P(A) 1 P(A0) P(A2)181018，所以 P(B)传出的

22、频繁程度为 2:1.若接 收的信息是 A,问原发信息的是 A 的概率是多少？(3解： 设 D= “将信息 A 传出去”,R= “接收到信息 A”， 题目要求 P(D 由题知 P(RD) 0.02 , P(RD) 0.01 ,P(D). P(D) 2 1,因为P(D) P(D) 1，所以P(D)23,P(D)13，因此,9、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少？解：设 Ai= “第 i 人能译出密码”，i=1,2,3, B= “译出密码”,111由题知 P(AJ, P(A2), P(A3)，贝 U534P(B)P(

23、A1A2A3)P(AJP(A2)P(A3)P(AA2)P(A3)P32A3)卩(人人2人3)1111111122113534535434534510、将 A, B, C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为a,而输出为其 它一字母的概率都是(1 a)/2。今将字母串 AAAA BBBB CCC(之一输入信道， 输入 AAAA BBBB CCCC 勺概率分别为 P1, P2, P3(P1+P2+P3=1),已知输出为 ABCA 问输入的是 AAAA 的概率是多少？(设信道传输每个字母的工作是相互独立的。)解：设 A1= “输入 AAAA ” , B1= “输入 BBBB ” , C1= “

24、输入 CCCC” , D= “输入 ABCA ” ,因为P(A1B1C1) P(AJ P(BJ P(CJ P1P2P31,因此P(AD)_P(A)P(DA)1P(D)P(A)P(DAJ P(A2)P(DA2)P(A3)P(D|AO1 1由于 P(DA)2()2，P(DBJ P(DG)()3,五、证明题R),P(DR)P(DR)P(R)P(D)P(RD)P(D)P_ (1_0.02)_23_ 196(1 0.02)20.011197. . 3 3/ / 3 3所以P(A D)2 P11)P1(3(i )已知,证明 A=B1、设 A, B 是两个事件(ii)证明事件 A 与事件 B 恰有一个发生的概率为 P(A)+P(B)-2P(AB)证明：(1)因为AB A(S B) A AB，AB (SA)B B AB，所以有 A AB B A