立体几何中的向量方法(三)----利用向量方法求距离参考word

1、3.2立体几何中的向量方法(三)利用向量方法求距离知识点一求两点间的距离已知矩形ABCD中，AB4，AD3，沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求BD间的距离解方法一过D和B分别作DEAC于E，BFAC于F，则由已知条件可知AC5，DE，BF.AECF，EF52，.|2 ()22 22222.面ADC面ABC，而DEAC，DE面ABC， DEBF, ,|2222，|.故B、D间距离是.方法二推荐精选同方法一过E作FB的平行线EP，以E为坐标原点，以EP，EC，ED所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图则由方法一知DEFB，EF，D，B，| | .【反思感悟】求两点间的距离或某

2、线段的长度的方法：(1)把此线段用向量表示，然后用|a|2aa通过向量运算去求|a|.(2)建立空间坐标系，利用空间两点间的距离公式d求解如图所示，正方形ABCD，ABEF的边长都是1，而且平面ABCD平面ABEF，点M在AC上移动，点N在BF上移动，若CMBNa(0a )(1)求MN的长；(2)当a为何值时，MN的长最小解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，F(1,1,0)，C(0,0,1)CMBNa(0a)，且四边形ABCD、ABEF为正方形，M(a,0,1a)，N(a，a,0)，|(0，a，a1)，|.(2)由(1)知MN，推荐精选所以，当a时，MN.即M、N分别移到

3、AC、BF的中点时，MN的长最小，最小值为.知识点二求异面直线间的距离如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AB侧面BB1C1C，E为棱CC1上异于C、C1的一点，EAEB1，已知AB，BB12，BC1，BCC1，求异面直线AB与EB1的距离解.以B为原点，、所在直线分别为y、z轴，如图建立空间直角坐标系由于BC1，BB12，AB，BCC1，在三棱柱ABCA1B1C1中有B(0,0,0)，A(0,0，)，B1(0,2,0)，设 E ()，由EAEB1，得=0，即0，得0，即a或a(舍去)，故E.设n为异面直线AB与EB1公垂线的方向向量，由题意可设n(x，y,0)，则有n=0.易得n(，1,

4、0)，两异面直线的距离d1.【反思感悟】求异面直线的距离，一般不要求作公垂线，若公垂线存在，则直接求解即可；若不存在，可利用两异面直线的法向量求解推荐精选如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB4，AD3，AA12，M、N分别为DC、BB1的中点，求异面直线MN与A1B的距离解以A为原点，AD、AB、AA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A1(0,0,2)，B(0,4,0)，M(3,2,0)，N(0,4,1)|(3,2,1)，(0,4，2)设MN、A1B公垂线的方向向量为n(x，y，z)，则 即.令y1，则z2，x，即n，|n|.(3，2,2)在n上的射影的长度为d,

5、故异面直线MN与A1B的距离为.知识点三求点到平面的距离在三棱锥BACD中，平面ABD平面ACD，若棱长ACCDADAB1，且BAD30，求点D到平面ABC的距离解如图所示，以AD的中点O为原点，以OD、OC所在直线为x轴、y轴，过O作OM面ACD交AB于M，以直线OM为z轴建立空间直角坐标系，推荐精选则A，B，C，D，=，设n(x，y，z)为平面ABC的一个法向量，则，yx，zx，可取n(，1,3)，代入d，得d，即点D到平面ABC的距离是.【反思感悟】利用向量法求点面距，只需求出平面的一个法向量和该点与平面内任一点连线表示的向量，代入公式求解即可正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为4，M

6、、N、E、F分别为A1D1、A1B1、C1D1、B1C1的中点，求平面AMN平面与EFBD间的距离. 解如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，则A(4,0,0)，M(2,0,4)，D(0,0,0)，B(4,4,0)，E(0,2,4)，F(2,4,4)，N(4,2,4)，从而(2,2,0)，(2,2,0)， (2,0,4)，(2,0,4)， ， ，EFMN，AMBF，平面AMN平面EFBD.设n(x，y，z)是平面AMN的法向量，推荐精选从而解得.取z1，得n(2，2,1)，由于在n上的投影为.两平行平面间的距离d.课堂小结：1求空间中两点A，B的距离时，当不好建系时利用|AB|来求2两异面直线

7、距离的求法如图(1)，n为l1与l2的公垂线AB的方向向量，d|.3点B到平面的距离：| |=.(如图(2)所示)4.面与面的距离可转化为点到面的距离. 一、选择题1.若O为坐标原点， =（1，1， 2）， =（3，2，8），=（0，1，0），则线段AB的中点P到点C的距离为（ ）A. B2C. D.答案D解析由题意(1t)()(2，3)，(1t)(2，3)，PC| .推荐精选2如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离是()A B.C. D.答案B解析 以D为坐标原点，以DA，DC，DD1所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角

8、坐标系，则有D1（0，0，1），D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），A1（1，0，1），C1（0，1，1）.因O为A1C1的中点，所以O（，,1）， =（， ，0），设平面ABC1D1的法向量为 n=（x,y,z），则有 即 则 n = （1，0，1），O到平面ABC1D1的距离为：,.3在直角坐标系中，设A(2,3)，B(3，2)，沿x轴把直角坐标平面折成120的二面角后，则A、B两点间的距离为()A2 B. C. D3答案A解析2222222925423244.|2.4已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2，点E是A1B1的中点，则点A到直线BE的距离是()A. B

9、.C. D.答案B推荐精选解析 如图所示， =（2，0，0），=（1，0，2），cos= ，sin，A到直线BE的距离d|*6|sin2.二、填空题5已知A(2,3,1)，B(4,1,2)，C(6,3,7)，D(5，4,8)，则点D到平面ABC的距离为_答案解析设平面ABC的法向量为n(x，y，z)，则即n，又 =（7，7，7）.点D到平面ABC的距离d = .6在正方体ABCDA1B1C1D1中，棱长为2，E为A1B1的中点，则异面直线D1E和BC1间的距离是_答案解析 如图所示建立空间直角坐标系,设n为异面直线D1E与BC1公垂线的方向向量,并设n=(x,y,z),则有 易求得n=（1，

10、2，1），d=.7在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，点A到平面A1BD的距离为_答案a推荐精选解析以D为空间直角坐标原点，以DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，则D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a，a,0)，A1(a,0，a)设n(x，y，z)为平面A1BD的法向量，则有，即令x1，n(1，1，1)点A到平面A1BD的距离da.三、解答题8如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB4，BC2，CC13，BE1.(1)求BF的长；(2)求点C到平面AEC1F的距离解(1)建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,

11、0)，B(2,4,0)，A(2,0,0)，C(0,4,0)，E(2,4,1)，C1(0,4,3)设F(0,0，z)四边形AEC1F为平行四边形，由得（-2，0，z）=（-2，0，2），z=2.F（0，0，2）.=（-2，-4，2）.于是|=（2）设n1为平面AEC1F的一个法向量，显然n1不垂直于平面ADF，故可设n1=（x，y，1），由得 即推荐精选n1=（1, ,1）.又=(0,0,3),设与n1的夹角为,则cos= C到平面AEC1F的距离为d=|cos=39已知：正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱长为4，E、F分别为棱AB、BC的中点(1)求证：平面B1EF平面BD

12、D1B1；(2)求点D1到平面B1EF的距离(1)证明建立如右图所示的空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(2，2，0)，E(2，0)，F(，2，0)，D1(0,0,4)，B1(2，2，4)(， ，0)， (2，2，0)， (0,0,4)，0.EFDB，EFDD1，DD1BDD，EF平面BDD1B1.又EF平面B1EF，平面B1EF平面BDD1B1.（2）解由（1）知 =，=,设平面B1EF的法向量为n,且n = (x,y,z)，则n,n，即n=（x，y，z）xy0，n(x，y，z)(0，4)y4z0.令x1，则y1，z，n.推荐精选D1到平面B1EF的距离10直四棱柱ABCDA1B1C1D1的高为3，底面是边长为4且DAB60的菱形，ACBDO，A1C1B1D1O1，E是O1A的中点(1)求二面角O1BCD的大小；(2)求点E到平面O1BC的距离解(1)OO1平面AC，OO1OA，OO1OB，又OAOB，建立如图所示的空间直角坐标系，底面ABCD是边长为4，DAB=60的菱形，OA=2，OB=2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(2,0,0)，O1(