高中数学平面空间向量知识点总结

1、平面向量知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：向量：既有大小又有方向的量 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行单位向量：模为1个单位长度的向量平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 相等向量：长度相等且方向相同的向量 2、向量加法：设，则+=（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；，但这时必须“首尾相连”3、向量的减法： 相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4、实数与向量的积：实数与向量的积

2、是一个向量，记作，它的长度与方向规定如下：（）； （）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。 2平面向量的坐标运算：(1) 若，则(2) 若，则(3) 若=(x,y)，则=(x, y)(4) 若，则(5) 若，则若，则三平面向量的数量积1两个向量的数量积：

3、已知两个非零向量与，它们的夹角为，则=cos叫做与的数量积（或内积） 规定2向量的投影：cos=R，称为向量在方向上的投影投影的绝对值称为射影3数量积的几何意义： 等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立： ；6平面向量数量积的运算律：交换律成立：对实数的结合律成立：分配律成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=, =,则AOB= （）叫做向量与的夹角cos=当且仅当两个非零向量与同方向时，=00，当且仅当与反方向时=1800，同时

4、与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作10两个非零向量垂直的充要条件：O平面向量数量积的性质 空间向量与立体几何1、空间向量及其运算：（1）空间中的平行（共线）条件：（2）空间中的共面条件：共面（不共线）推论：对于空间任一点和不共线三点、， ，则四点、共面（3）空间向量分解定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量（4）空间向量的加、减、数乘、数量积定义及运算若，则： 注1：数量积不满足结合律；注2：空间中的基底要求不共面。2、空间向量在立体几何证明中的应用：（1）证明，即证明（2）证明，即证明（3）证明（平面）（或在面内），即证明垂直于平面的法向

5、量或证明与平面内的基底共面；（4）证明，即证明平行于平面的法向量或证明垂直于平面内的两条相交的直线所对应的向量；（5）证明两平面（或两面重合），即证明两平面的法向量平行或一个面的法向量垂直于另一个平面；（6）证明两平面，即证明两平面的法向量垂直或一个面的法向量在内一个面内。3、空间向量在立体几何求值中的应用：异面直线和的成角直线和平面的成角（为平面的法向量）平面与平面的成角（，分别为两平面的法向量）或（需具体分析取哪一个）点到平面的距离（为平面的法向量）（其中点为平面内任意一点）直线平面 （）的距离转化为点到平面的距离平面与平面（）的距离（为平面的法向量）转化为平面内的点到平面的距离异面直线和

6、的距离（为既垂直于也垂直于的向量）（可以用，即两直线上分别取一点）空间两点，的距离坐标形式下：两点间距离公式基底形式下：若表示成，则可以得到：平面向量真题集训2004年（9）已知平面上直线的方向向量，点O(0,0)和A(1,-2)在上的射影分别是O1和A1，则，其中（ ）（A）（B）（C）2（D）22005年8. 已知点A（，1），B（0，0）C（，0）.设BAC的平分线AE与BC相交于E，那么有等于（ ）A. 2 B. C. 3 D. 2006年（1）（文）已知向量（4，2），向量（，3），且/,则( )（A）9 (B)6 (C)5 (D)32007年5在中，已知是边上一点，若，则（ ）AB

7、CD2009年6. 已知向量，则（ ）A. B. C. D. 2010年（8）中，点在上，平方若，则（ ）（A） （B） （C） （D）2011年（3）设向量、满足，,则（A） （B） （C） （D） 利用向量法解决立体几何问题基本知识回顾向量平行，垂直的坐标表示：平行x1y2-x2y1=0，垂直x1x2+y1y2=0直线的方向向量：1.直线的方向向量把直线上任意两点的向量或与它平行的向量都称为直线的方向向量.如图1,在空间直角坐标系中,由A(x1,y1,z1)与B(x2,y2,z2)确定的直线AB的方向向量是：平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面,称这个向量垂直于平面,

8、记作n,这时向量n叫做平面的法向量. 在空间直角坐标系中,如何求平面法向量的坐标呢?设a=( x1,y1,z1)、b=(x2,y2,z2)是平面内的两个不共线的非零向量,由直线与平面垂直的判定定理知,若na且nb,则n.换句话说,若na = 0且nb = 0,则n 求平面法向量的基本步骤：第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z).第二步(列):根据na = 0且nb = 0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特 殊越好),便得到平面法向量n的坐标. (一).判定直线、平面间的位置关系（1）直线与直线的位置关系，不重合

9、的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. 若ab,即a=b,则ab. 若ab,即ab = 0,则ab (2)直线与平面的位置关系 直线L的方向向量为a,平面的法向量为n,若an,即a =n,则 L 若an,即an = 0,则a .（3)平面与平面的位置关系平面的法向量为n1 ,平面的法向量为n2若n1n2,即n1=n2,则若n1n2,即n1 n2= 0,则(二)、用向量解决距离问题两点间距离由可算出；若，则由数量积得 ，若已知两点坐标，则可直接用两点间距离公式.点到直线的距离过点作直线的垂线，垂足为，则由且点共线得，解出点后再求。异面直线、的距离可先设、的公垂线段（、），再由垂直向量性质得，

10、从而得到、的坐标，最后算出所求.点到平面的距离先设平面的斜线为，再求的法向量，运用向量平移，不难得到推论“等于在法向量上的射影的绝对值”，即，最后由此算出所求距离.两平行平面之间的距离由平行平面间的距离定义知道，平面上任意一点A到的距离就是到的距离，因此，我们也可把到的距离转化为A到的距离，运用求点与面距离的方法来求。(三)、用向量解决角的问题两条异面直线、间夹角在直线上取两点A、B，在直线上取两点C、D，若直线与的夹角为，则。注意,由于两向量的夹角范围为,而异面直线所成角的范围为，若两向量夹角为钝角,转化到异面直线夹角时为180直线与平面所成的角（如图）可转化成用向量与平面的法向量的夹角表示

11、，由向量平图12图11图13移得：若时（图）；若时（图）.平面的法向量是向量的一个重要内容，是求直线与平面所成角、求点到平面距离的必备工具.由可知，要求得法向量，只需在平面上找出两个不共线向量、，最后通过解方程组得到.xyzABCC1A1B1GDE求二面角的大小已知二面角l，分别是平面和平面的一个法向量，设二面角l的大小为，规定0，则（这里若平面的法向量是二面角的内部指向平面内的一点，则平面的法向量必须是由平面内的一点指向二面角的内部，如图2-1，否则从二面角内部一点出发向两个半平面作法向量时，二面角，如图2-2）2-12-2ABCDl二面角的大小（如右图），也可用两个向量所成的夹角表示，在、

12、上分别作棱的垂线、（、），从图中可知：等于、所成的角. 2004年2012年云南省高考立体几何解答题汇总2004年20（本小题满分12分）如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB=90，AC=1，CB=，侧棱AA1=1，侧面AA1B1B的两条对角线交点为D，B1C1的中点为M.（）求证CD平面BDM；（）求面B1BD与面CBD所成二面角的大小.2005年（18）(本小题满分12分)在四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧面VAD是正三角形,平面VAD底面ABCD（）证明AB平面VAD（）求面VAD与面VDB所成的二面角的大小2006年（19）（本小题满分分）如图，在直三棱柱中，、分别

13、为、的中点。（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；（II）设求二面角的大小。AEBCFSD2007年19（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧棱底面分别为的中点 （1）证明平面；（2）设，求二面角的大小ABCDEA1B1C1D12008年19（本小题满分12分）如图，正四棱柱中，点在上且（）证明：平面；（）求二面角的大小2009年18（本小题满分12分） 如图，直三棱柱中，、分别为、的中点，平面（I）证明：（II）设二面角为60，求与平面所成的角的大小。2010年（19）（本小题满分12分） 如图，直三棱柱ABC-ABC 中，AC=BC， AA=AB，D为BB的中点，E为AB上的一点，AE=3 EB （）证明：DE为异面直线AB与CD的公垂线；