复数的乘幂与方根

1、1复变函数与积分变换2第第1 1章章 复数与复变函数复数与复变函数 复数的乘幂与方根 区域31.3.1 乘积与商乘积与商 定理定理1.11.1 两个复数乘积的模等于它们的模的乘积; 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角的和。 12zz设复数和的三角形式分别为1111(cossin,zri）2222(cossin,zri）12111222(cossin)(cossin)z zriri1212121212(coscossinsin)(sincoscossin)r ri1 212Arg()ArgArg .z zzz12121212cos()sin()z zr ri1 21212z zr rzz,4 几何

2、意义几何意义 , 2倍倍再再把把它它的的模模扩扩大大到到 r从几何上看从几何上看, 两复数对应的向量分别为两复数对应的向量分别为 , ,21zz , 21 旋旋转转一一个个角角按按逆逆时时针针方方向向先先把把 z . 21zzz 就就表表示示积积所所得得向向量量 2 oxyr2r1r 2z1 1z z复数相乘就是把模相乘复数相乘就是把模相乘, , 辐角相加辐角相加. .5如果用指数形式表示复数如果用指数形式表示复数: :)(212122112121ee,eiiirrzzrzrz为则定理一可简明地表示)4 . 3 . 1 (e)sin()cos(), 2 , 1(),sin(cos)(21212

3、1212121nkinnnnnkkkikkrrrirrrzzznkirerz则 由此逐步可证, 如果6定理定理1.21.2 两个复数的商的模等于它们的模的商; 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差.,1212zzzz .ArgArgArg1212zzzz 的指数形式分别为的指数形式分别为和和设复数设复数21zz,111 ierz .)(121212 ierrzz则则,222 ierz ,sin(cos1111）若若 irz ,sin(cos2222） irz 则有则有71.3.2 幂与方根幂与方根(a) n次幂次幂:, , nznzzn记作记作次幂次幂的的的乘积称为的乘积称为个相同复数

4、个相同复数. 个个nnzzzz . )sin(cos , ninrznnn 有有对于任何正整数对于任何正整数.1 , nnzzn 有有为负整数时为负整数时.ArgArg,znzzznnn 因而有因而有8.sincos)sin(cos ninin . , (c)为已知复数为已知复数其中其中的根的根计算方程计算方程zwzwn nkinkrzwnn2sin2cos1 )1, 2 , 1 , 0( nk (b)(b)棣莫佛棣莫佛( (De Moivre)公式公式 特别，当特别，当Z=Z=(cos(cos+ +i isinsin) )时，时，9设irez 为已知复数，n为正整数，则称满足方程zwn的所有

5、w值为z的n次方根，并且记为nzw 设,iew 则iinnreerniinee,nr,2kn, 2, 1, 0k10即,nr,2nk, 2, 1, 0k)2sin2(cos12nkinkrerwnnkin当k0，1，2，n1时，得到n个相异的根：)sin(cos10ninrwn11)2sin2(cos11ninrwn) 1(2sin) 1(2(cos11nninnrwnn)4sin4(cos12ninrwn.,个顶点边形的的圆的内接正为半径个值就是以原点为中心的结论：在几何上nnrnznn12例：例： 求 解：解： 因为 所以 例例 ：已知 ， 求 解：解： 因为 4)1 (i12cos()s

6、in()44ii 4)sin()cos(4)1 (4iiiz31iz324281zziz312 cos()sin()66iiz32552 cos()sin()66i13)620sin()620cos(2)68sin()68cos(2484281iizz所以)628sin()628cos(24i)31 (8i14例：求38解：233388,0,1,2kiek 3330882 cossin1333ieii 23331882 cossin2iei4333255882 cossin1333ieii 15例：求41. i12 cossin,44ii 解： 因为84224412 cossin,(0,1,2

7、,3)44kkiik 所以16808182832 cossin,1616992 cossin,161617172 cossin,161625252 cossin.1616wiwiwiwi即2821+iw0w1w2w3Oxy结论：四个根是内接于中心在原点半径为的圆的正方形的四个顶点.8217例解方程016zsincos16iz解：因为所以)5, 4, 3, 2, 1, 0(62sin62cos16kkik可求出个根，分别是：iziziz2123,2123210iziziz2123,2123543181.4.1 区域区域(函数的定义域函数的定义域)的概念的概念. : )( , 000的的邻邻域域内

8、内部部的的点点的的集集合合称称为为的的圆圆为为半半径径任任意意的的正正数数为为中中心心平平面面上上以以zzzz （1 1）邻域）邻域. 0 00的的去去心心邻邻域域所所确确定定的的点点的的集集合合称称为为不不等等式式zzz Z019（2 2）内点）内点. , , . , 000的的内内点点称称为为那那末末于于该该邻邻域域内内的的所所有有点点都都属属的的一一个个邻邻域域存存在在如如果果中中任任意意一一点点为为为为一一平平面面点点集集设设GzGzGzG（3 3）开集）开集 如果如果 G 内每一点都是它的内点内每一点都是它的内点, ,那末那末G 称为称为开集开集. .G20（4 4）区域）区域 如果

9、平面点集如果平面点集D满足以下两个条件满足以下两个条件, , 则称则称它为一个区域它为一个区域. . (a) D D是一个是一个开集开集； (b)(b)D D是是连通的连通的, ,即即D D中任何两点都可以用完全中任何两点都可以用完全 属于属于D D的一条折线连结起来的一条折线连结起来. .z2z1D不连通z1z221（5 5）边界点、边界）边界点、边界 设设D是复平面内的一个区域是复平面内的一个区域, ,如果点如果点P P 不属不属于于D, 但在但在P P 的任意小的邻域内总有的任意小的邻域内总有D中的点中的点,这这样的样的P P点我们称为点我们称为D的的边界点边界点.D的所有边界点组成的所

10、有边界点组成D的的边界边界. .（6 6）闭区域）闭区域区域区域D D与它的边界一起构成闭区域与它的边界一起构成闭区域. .22说明说明 (2) 区域的边界可能是区域的边界可能是由几条曲线和一些孤立由几条曲线和一些孤立的点所组成的的点所组成的.z 1C2C3Cz 1C2C3C (1) 区域都是开的区域都是开的.以上基以上基本概念本概念的图示的图示1z 2z 区域区域 0z 邻域邻域P 边界点边界点边界边界不包含边界！不包含边界！23 （7 7）有界区域和无界区域）有界区域和无界区域. , , 0, , 界的界的否则称为无否则称为无称为有界的称为有界的那末那末点都满足点都满足使区域的每一个使区域

11、的每一个即存在即存在为中心的圆里面为中心的圆里面点点可以被包含在一个以原可以被包含在一个以原如果一个区域如果一个区域DMzMD z zxo有界！有界！y24(1) 圆环域圆环域:;201rzzr 0z 2r1r课堂练习课堂练习判断下列区域是否有界判断下列区域是否有界?(2) 上半平面上半平面:; 0Im z(3) 角形域角形域:;arg0 z(4) 带形域带形域:.Imbza 答案答案(1)有界有界; (2) (3) (4)无界无界.xyo251.4.2 1.4.2 单连通域与多连通域单连通域与多连通域. , )( ),( , )( , )( )( 称称为为连连续续曲曲线线表表一一条条平平面面

12、曲曲线线代代那那末末方方程程组组是是两两个个连连续续的的实实变变函函数数和和如如果果 ttyytxxtytx平面曲线平面曲线C C的复数表示的复数表示: :)().()()( ttiytxtzzC C的实参数方程的实参数方程C C的的复复参数方程参数方程起点起点z z( ( ) )C C终点终点z z( ( ) )zxyCC C的正向：起点的正向：起点终点终点o26. )( , )()( , , 121212121的重点的重点称为曲线称为曲线点点时时而有而有当当与与的的对于满足对于满足Ctztztztttttt 没有重点的曲线没有重点的曲线 C 称为称为简单曲线简单曲线( (或若尔当曲线或若尔

13、当曲线).).重点重点重点重点重点重点. , )( )( , 为为简简单单闭闭曲曲线线那那末末称称即即的的起起点点和和终终点点重重合合如如果果简简单单曲曲线线CzzC 换句话说换句话说, 简单曲线自身不相交简单曲线自身不相交. 27简单闭曲线的性质简单闭曲线的性质约当定理约当定理 任意一条简单闭曲线任意一条简单闭曲线 C C 将复平面唯一地分成将复平面唯一地分成C C, ,I I( (C C), ),E E( (C C) ) 三个互不相交三个互不相交的点集的点集. .满足：满足：xyoI(C)E(C)边界边界（1）I I( (C C) ) 是一个有界区域是一个有界区域（称为（称为C C的内部）

14、的内部）. .（2）E E( (C C) ) 是一个无界区域（称为是一个无界区域（称为C C的外部）的外部）. .（3）若简单折线）若简单折线P的一个端点属于的一个端点属于I(C)，另一个，另一个端点属于端点属于E(C) ，则，则P必与必与C相交相交. . （4）C是是I(C)，E(C) 的公共边界的公共边界. .28课堂练习课堂练习 判断下列曲线是否为简单曲线判断下列曲线是否为简单曲线?答答案案简简单单闭闭简简单单不不闭闭不不简简单单闭闭不不简简单单不不闭闭 )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz )(az)(bz 294. 单连通域与多连通域的定义单连通域与多连通域的定义:

15、复平面上的一个区域复平面上的一个区域B, 如果在其中任作一如果在其中任作一条简单闭曲线条简单闭曲线, 而曲线的内部总属于而曲线的内部总属于B, 就称为就称为单连通域单连通域. 一个区域如果不是单连通域一个区域如果不是单连通域, 就称为就称为多连通域多连通域.单连通域单连通域多连通域多连通域30三、典型例题三、典型例题例例1 1 指明下列不等式所确定的区域指明下列不等式所确定的区域, 是有界的还是有界的还是无界的是无界的,单连通的还是多连通的单连通的还是多连通的. 111)5(; 411)4(; 31)3(;3arg)2(; 1)Re()1(2 zzzzzzz解解 , )1(时时当当iyxz ,

16、)Re(222yxz , 11)Re(222 yxz无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).313arg)2( z,3arg33arg zz是角形域是角形域, 无界的单连通域无界的单连通域(如图如图).31)3( z,3131 zz, 31 ,的圆的外部的圆的外部半径为半径为是以原点为中心是以原点为中心无界的多连通域无界的多连通域. 32411)4( zz表示到表示到1, 1的距离之的距离之和为定值和为定值4的点的轨迹的点的轨迹, 是椭圆是椭圆,411 zz ,411表示该椭圆内部表示该椭圆内部 zz有界的单连通域有界的单连通域.在平面内，与两个定点的距离之和等于常数的轨迹叫做椭圆。 331

17、11)5( zz,sincos irrz 令令 111 zz边界边界1sin)1cos(sin)1cos(222222 rrrr1)1cos2)(1cos2(22 rrrr1)cos(4)1(222 rr ,2cos2 02 rr或或 , )( 2cos22也称双纽线也称双纽线是双叶玫瑰线是双叶玫瑰线 r ,111是其内部是其内部 zz有界的单连通域有界的单连通域.34例例2 2解解 满足下列条件的点集是什么满足下列条件的点集是什么, 如果是区域如果是区域, 指出是单连通域还是多连通域指出是单连通域还是多连通域?, 3Im)1( z是一条平行于实轴的直线是一条平行于实轴的直线, -3-2-1123x123456y不是区域不是区域., 2Re)2(), 2Re ( 2Re zz不包括直线不包括直线为左界的半平面为左界的半平面以以单连通域单连通域.35, 210)3( iz, 2 , )1( 的去心圆盘的去心圆盘为半径为半径为圆心为圆心以以i 是多连通域是多连通域.,4)arg()4( iz), ( 1 , ii不包括端点不包括端点的半射线的半射线斜率为斜率为为端点为端点以以