画法几何-第四章：平面投影

1、4. 1 平面的表示法平面的表示法4. 2 平面对投影面的相对位置平面对投影面的相对位置4. 3 属于平面上的点和直线属于平面上的点和直线4.1 4.1 平面的表示法平面的表示法不在同一直线不在同一直线上的三个点上的三个点直线及线直线及线外一点外一点abca b c dd 两平行直线两平行直线abca b c 两相交直线两相交直线平面图形平面图形c abca b caba b c baca b c X XX XX XX XX X4.1.1 4.1.1 平面的几何元素表示法平面的几何元素表示法PPVPHPVPHQVQHQHQVQ投投 影影 特特 性性平面平行投影面平面平行投影面投影就把实形现投影

2、就把实形现平面垂直投影面平面垂直投影面投影积聚成直线投影积聚成直线平面倾斜投影面平面倾斜投影面投影类似原平面投影类似原平面实形性实形性类似性类似性积聚性积聚性1. 平面对一个投影面的投影特性平面对一个投影面的投影特性4. 2 平面对投影面的相对位置平面对投影面的相对位置平行平行A AB BC Cabc垂直垂直A AB BC Cabc倾斜倾斜A AC CabcB B 平面在三投影面体系中的投影特性平面在三投影面体系中的投影特性平面对于三投影面的位置可分为三类平面对于三投影面的位置可分为三类：投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某

3、一投影面，垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面倾斜于另两个投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜与三个投影面都倾斜 正垂面正垂面( ( V)V) 铅垂面铅垂面( ( H)H) 侧垂面侧垂面( ( W)W) 正平面正平面(V)(V) 水平面水平面(H)(H) 侧平面侧平面(W)(W)侧垂面侧垂面投影面垂直面投影面垂直面V VW WH HY YX XZ Z正垂面正垂面铅垂面铅垂面铅垂面铅垂面c c 铅垂面铅垂面abca b b a 积聚性积聚性铅垂面铅垂面投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积

4、聚成直线。 及：及：水平投影积聚成直线。水平投影积聚成直线。该直线与投影轴该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。Z Z类似性类似性类似性类似性X XO OY YH HY YW WPHPPH铅垂面的迹线表示铅垂面的迹线表示ABCacbabab bab cccPHabab bab ccc正垂面正垂面c c 正垂面正垂面abca b b a 积聚性积聚性正垂面正垂面 投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。 及：及：正面

5、投影积聚成直线。正面投影积聚成直线。该直线与投影轴该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。Z Z类似性类似性X XO OY YH HY YW W类似性类似性QQVQV正垂面的迹线表示正垂面的迹线表示AcCabB侧垂面侧垂面c c 侧垂面侧垂面abca b b a 积聚性积聚性侧垂面侧垂面 投影特性：投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。 及：及：侧面投影积聚成直线。侧面投影积聚成直线。该直线与投影轴该直线与投影轴的夹角反映空

6、间平面与另外两投影面夹角的大小。的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。另外两个投影面上的投影为类似形。另外两个投影面上的投影为类似形。Z Z类似性类似性类似性类似性X XO OY YH HY YW W侧垂面的迹线表示侧垂面的迹线表示VWSwSZXOYSwYCabABcX XY YZ ZH HV VW W侧平面侧平面正平面正平面水平面水平面投影面平行面投影面平行面水平面水平面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性水平面水平面投影特性：投影特性：它在水平投影面上的投影反映实形。它在水平投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行

7、的直线。的投影轴平行的直线。a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W正平面正平面积聚性积聚性积聚性积聚性实形性实形性正正平面平面投影特性：投影特性：它在正面投影面上的投影反映实形。它在正面投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W侧平面侧平面积聚性积聚性积聚性积聚性侧侧平面平面投影特性：投影特性：它在侧面投影面上的投影反映实形。它在侧面投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应

8、另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。的投影轴平行的直线。a b c a b c abcZ ZX XO OY YH HY YW W实形性实形性一般位置平面一般位置平面X XY YZ ZH HV VW W 一般位置平面一般位置平面三个投影都为类似形。三个投影都为类似形。投影特性：投影特性：a b c a c b abcZ ZX XO OY YH HY YW W平面与三个投影面都倾斜。平面与三个投影面都倾斜。a c b c a abcb 例例：正垂面正垂面ABCABC与与H H面的夹角为面的夹角为4545，已知其水平投影，已知其水平投影及顶点及顶点B B的正面投影，求的正面投影，

9、求ABCABC的正面投影及侧面投影。的正面投影及侧面投影。思考：此题有几个解？思考：此题有几个解？4545Z ZX XO OY YH HY YW W4.3.1 属于一般位置平面的点和直线4.3.2 属于特殊位置平面的点和直线4.3.3 属于平面的投影面平行线4.3.4 属于平面的最大斜度线*1 1平面上的直线平面上的直线 直线在平面上的几何条件是：直线在平面上的几何条件是：通过平面上的两点；通过平面上的两点；通通过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。过平面上的一点且平行于平面上的一条直线。2 2平面上的点平面上的点 点在平面上的几何条件是：点在平面内的某一直线上。点在平面上的几何条件是：点在

10、平面内的某一直线上。 在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助在平面上取点、直线的作图，实质上就是在平面内作辅助线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问线的问题。利用在平面上取点、直线的作图，可以解决三类问题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点题：判别已知点、线是否属于已知平面；完成已知平面上的点和直线的投影；完成多边形的投影。和直线的投影；完成多边形的投影。 例题例题1 1 例题例题2 2 例题例题3 3位于平面上的直线应满足的条件：位于平面上的直线应满足的条件：平面上取任意直线平面上取任意直线若一直线过平面上若一直线过平面上的两点，则此直线的两点，则

11、此直线必在该平面内。必在该平面内。若一直线过平面上若一直线过平面上的一点且平行于该的一点且平行于该平面上的另一直线平面上的另一直线，则此直线在该平，则此直线在该平面内。面内。A AB BM MQ QM MN NP P 取属于定平面的直线，要经过属于该平面的已知两点；或经过属于该平面的一已知点，且平行于属于该平面的一已知直线。EDFddeeff abcb c a d d例：例：已知平面由直线已知平面由直线AB、AC所确定，试在所确定，试在 平平面内任作一条直线。面内任作一条直线。解法一：解法一：解法二：解法二：有多少解？有多少解？有无数解！有无数解！n m nmabcb c a X XX X 取

12、属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线取属于平面的点，要取自属于该平面的已知直线EDddee平面上取点平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例：例：已知已知K点在平面点在平面ABC上，求上，求K点的水平投影。点的水平投影。 面上取点的方法：面上取点的方法：d d通过在面内作辅助线求解通过在面内作辅助线求解首先面上取首先面上取线线kabca b c X Xk 利用平面的积聚性求解利用平面的积聚性求解baca k b c X Xkddeeddeeee 1 1取属于投影面垂

13、直面的点和直线取属于投影面垂直面的点和直线 2 2过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线总可作投影面的垂直面 (1) (1) 几何元素表示法几何元素表示法 (2) (2) 迹线表示法迹线表示法 3 3过特殊位置直线作平面过特殊位置直线作平面 (1) (1) 过正垂线作平面过正垂线作平面 (2) (2) 过正平线作平面过正平线作平面 bb1 取属于投影面垂直面的点和直线取属于投影面垂直面的点和直线aaeffeabbaSbaabAB2过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线总可作投影面的垂直面过一般位置直线过一般位置直线AB作铅垂面作铅垂面PH过一般位置直线过一般位置直线AB作作

14、正垂面正垂面SVPPHSVABmn(n)(m)(1) 过一般位置直线作投影面的垂直面过一般位置直线作投影面的垂直面(几何元素表示法几何元素表示法)(2) 过一般位置直线作投影面的垂直面过一般位置直线作投影面的垂直面(迹线表示法迹线表示法)baSVQWPH 过正垂线作平面过正垂线作平面 (迹线表示法迹线表示法)PVSVQVRV（a ）给题）给题（c）作侧平面）作侧平面（ b）作水平面）作水平面（d）作正垂面）作正垂面（有无穷多个（有无穷多个） 过正平线作平面过正平线作平面PHSHgg（a ）给题给题（c）作正垂面作正垂面（ b）作正平面作正平面（d）作一般位置平面作一般位置平面（有无穷多个）（有

15、无穷多个）4.3.3 属于平面的投影面平行线属于平面的投影面平行线 属于平面的水平线和正平线属于平面的水平线和正平线 例题例题4 4 例题例题5 5 例题例题6 6P属于平面的水平线和正平线属于平面的水平线和正平线PVPH例：例： 在平面在平面ABCABC内作一条水平线，使其到内作一条水平线，使其到 H面的距面的距 离为离为10mm10mm。n m nm1010c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？mnnmmnmnrsrs1015eebckada d b c k b 例例题题6 6 已知已知AC为正平线，补全平行四边形为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。的水平投影。

16、解法一：解法一：解法二：解法二：cada d b c X XX X4.3.4 属于平面的最大斜度线属于平面的最大斜度线*1 1平面上的投影面最大斜度线平面上的投影面最大斜度线平面上对某个投影面倾角平面上对某个投影面倾角最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的最大的直线。它与投影面的倾角反映该平面与投影面的倾角。倾角。2平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面平面上对某投影面的最大斜度线与该平面上对某投影面的平行线相互垂直。的平行线相互垂直。3平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影平面上的投影面最大斜度线有三组，即分别对正面投影面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。面、水平投影面及侧面投影面三组最大斜度线。（1 1）平面上对水平投影面的最大斜度线平面上对水平投影面的最大斜度线（2 2）平面上对正面投影面的最大斜度线平面上对正面投影面的最大斜度线（3 3）平面上对侧面投影面的最大斜度线平面上对侧面投影面的最大斜度线 例题例题8 8 例题例题9 9 例题例题1010 例题例题1111PCDaE1 SAE1. 平面上对水平投影面平面上对水平投影面H的最大斜度线的最大斜度线 EF AB平行于平行于 H， EF垂直于垂直于 A