电磁场及电磁波(第8章)

1、第第8 8章章 导体中的电磁波导体中的电磁波J1. 1. 金属介质模型金属介质模型 4. 4. 导波导波 重点重点：3. 3. 等离子体对波的反射等离子体对波的反射 2. 2. 金属介质的高频与低频特性金属介质的高频与低频特性 以金属媒质作为模型来讨论电磁波在其中的传播情况以金属媒质作为模型来讨论电磁波在其中的传播情况, ,模模型建立在萨姆菲尔德（型建立在萨姆菲尔德（SommerfeldSommerfeld）、德鲁德（）、德鲁德（DrudeDrude）和洛）和洛伦兹（伦兹（LorentzLorentz）等人的理论研究基础之上的，）等人的理论研究基础之上的，J J思路 8.8.金属介质的一般模型

2、金属介质的一般模型修改描述分子或原子中的电荷特性的一般模型修改描述分子或原子中的电荷特性的一般模型 （第三（第三章），使其能够适用于金属介质章），使其能够适用于金属介质 。原子中移动电荷的受力方程为原子中移动电荷的受力方程为 2202()xxxqEmxtt低密度介质的折射率关系式为低密度介质的折射率关系式为 220220/1()Nqmni 上式仅仅适用于气体，而对于密度较高的物质上式仅仅适用于气体，而对于密度较高的物质, ,如液体或固体，由如液体或固体，由于其中分子极化形成偶极子从而产生局部场的原因，上式需要修改。于其中分子极化形成偶极子从而产生局部场的原因，上式需要修改。 但是金属分子或原子

3、中的自由电荷不可能发生极化，因而对于高但是金属分子或原子中的自由电荷不可能发生极化，因而对于高密度的金属媒质密度的金属媒质, ,上式无需修改。上式无需修改。 另一方面，由于自由电荷没有被束缚在原子周围，所以不存在着另一方面，由于自由电荷没有被束缚在原子周围，所以不存在着正比于位移的恢复力，同时这些电荷在原子内部也没有自然频率或谐正比于位移的恢复力，同时这些电荷在原子内部也没有自然频率或谐振频率。为了利用上述一般模型来描述金属振频率。为了利用上述一般模型来描述金属, ,在上面式中令在上面式中令 0022()xxxqEmtt2202/1Nqmni xxJNqv于是上面的两个式子变为于是上面的两个式

4、子变为接下来，我们来建立这些微观模型参数与金属的电导率接下来，我们来建立这些微观模型参数与金属的电导率 对于各向同性的导体对于各向同性的导体, ,电流与场成正比，所以有电流与场成正比，所以有 JExxEJ在一维坐标中，则有在一维坐标中，则有 如果电荷在如果电荷在x x方向的平均运动速度为方向的平均运动速度为 ，那么电流则为，那么电流则为 xv对于单个的电荷对于单个的电荷, ,有有 22()xxxqEmtt0/22tx /xvxtxxqEm v2xxxxJvNqNqEEm21Nqm其中 由于由于 或或 稳恒电流受两个相反因素的影响：稳恒电流受两个相反因素的影响：（i i）场加速电荷的移动）场加速

5、电荷的移动（iiii）与晶格的碰撞减缓电荷的移动。）与晶格的碰撞减缓电荷的移动。电流得以稳恒是这两种影响平均后的结果，即其电流得以稳恒是这两种影响平均后的结果，即其平均加速度为零平均加速度为零。 J J8.28.2金属介质在高频和低频时的特性金属介质在高频和低频时的特性0exp(/ )exp(/ )xirEe En z citn z c折射率的虚部决定了波穿过介质时被衰减的程度，因此当我们研折射率的虚部决定了波穿过介质时被衰减的程度，因此当我们研究电磁波在金属中的传播问题时，需要求出该金属的究电磁波在金属中的传播问题时，需要求出该金属的 inrinnin若将复折射率表示为若将复折射率表示为 0

6、exp(/ )xxxEe Ee Eitnz c那么那么, ,平面极化波中场强表示式平面极化波中场强表示式 可变为可变为 若将电磁波的振幅衰减到若将电磁波的振幅衰减到 时它在介质中的趋肤深度或穿透深度时它在介质中的趋肤深度或穿透深度定义为定义为 ，根据，根据 就可以测量出电磁波在开始明显衰减之前的就可以测量出电磁波在开始明显衰减之前的传播距离。传播距离。 1e根据第根据第7 7章中描述的一维波动方程的解章中描述的一维波动方程的解0zi zyEHee0zi zxEE ee1当电磁波的振幅衰减到当电磁波的振幅衰减到 时，有时，有1e即即 1因为电磁波能量与其幅值的平方成正比，所以在经过了这个传播距离

7、因为电磁波能量与其幅值的平方成正比，所以在经过了这个传播距离之后，辐射功率就衰减到之后，辐射功率就衰减到 . .21/e又从前面的平面极化波中场强表示式可知又从前面的平面极化波中场强表示式可知/1inc 所所以以/icn1/1/12202202inirinnnirirninnnn2222如果如果220022/11Nqmnii 由由422002222/210(1)(1)iinn 令令rk) 1(/1220lk) 1(2/220)1(/122022irnn)1() 1(2/220irnn4220irilnk nk上式变为上式变为2/12224lrrikkkn可解得 根据此式便可以定性地根据此式便可

8、以定性地描述金属介质在高频或描述金属介质在高频或低频情况下的特性。低频情况下的特性。 显然显然, ,当当 时，有时，有 和和 此时此时 这意味在这种假设模型下高频电磁波能够穿过金属。这意味在这种假设模型下高频电磁波能够穿过金属。而在低频情况下而在低频情况下 为有限值，电磁波将会有着明显的衰减。为有限值，电磁波将会有着明显的衰减。 0lk 1rk 0in in8.3 8.3 等离子体对波的反射等离子体对波的反射等离子体等离子体 是除气体、液体和固体以外的第四种物态，它是由电子、负离子、正是除气体、液体和固体以外的第四种物态，它是由电子、负离子、正离子和未电离的中性分子组成的混合体。离子和未电离的

9、中性分子组成的混合体。等离子体的电特性等离子体的电特性 1、等离子体中总的正负电量相等，因此对外呈现中性。2、与导体相比，其电子浓度远远小于导体中自由电子的浓度。 3、在外场作用下，等离子体中电子和离子作定向运动形成 运流电流 4、对于频率很高的外加电磁场运流电流仅由电子运动所引起， 即等离子体的电特性将主要取决于自由电子的运动。 可以从折射系数的实部和斯耐尔定律中得出。信号被电离层反射必须具备的条件信号被电离层反射必须具备的条件 电离层内不同位置处的电离程电离层内不同位置处的电离程度不同，即电荷的数目度不同，即电荷的数目N N不同，则不同，则 的值也将随着位置的变化而不的值也将随着位置的变化

10、而不同。在这种情况下，反射波将随着同。在这种情况下，反射波将随着入射波方向的逐渐变化而改变，直入射波方向的逐渐变化而改变，直到从电离层射出后为止到从电离层射出后为止 。如图所。如图所示，在每一个发生偏转的位置上，示，在每一个发生偏转的位置上，其其 的值与入射角的值与入射角 及转换角及转换角 都服从斯耐尔定律都服从斯耐尔定律rnrnititrnsinsin sinrin0sin1,90tt如果如果即当即当 因此，当因此，当 由于由于N N的增大而减小时，的增大而减小时， , ,即即 一定会增大。这样一定会增大。这样, ,我们就可以得出波的反射条件：我们就可以得出波的反射条件： rnsintt22

11、01siniNqm 201cosiNqm这时，波就会反射。这时，波就会反射。 当法向入射角当法向入射角 ，即，即 时时0icos1i02mNq 可得可得 法向入射波会发生反射的最大频率法向入射波会发生反射的最大频率( (临界频率临界频率 ) ) cf0221mNqfc8.4 8.4 导波导波问题问题 平面波能否从理想金属所构成的平面波能否从理想金属所构成的“洞洞”中穿过去？中穿过去？ 假设假设“洞洞”即即“波导波导”是沿着是沿着Z Z轴方向的，并且其截面为矩形轴方向的，并且其截面为矩形, ,如右图所示。如右图所示。作为媒质的作为媒质的“洞洞”即即“波导波导”满足：满足：2 2、四周是电导率接近

12、于无穷大的金属。、四周是电导率接近于无穷大的金属。 可知：金属边界的特性是与频率无关的，并且可知：金属边界的特性是与频率无关的，并且边界条件也与静态场的相同。边界条件也与静态场的相同。 因而如果电导率接近于无穷大，理想导体中的电荷将迅速移动至使导体中因而如果电导率接近于无穷大，理想导体中的电荷将迅速移动至使导体中电场为零。电场为零。 1 1、是自由空间、是自由空间 00J一、平面波通过一、平面波通过“波导波导” ” 平面单色波平面单色波可以表示为可以表示为 0e x p ()EEitk z 因为因为x-yx-y平面波在平面波在x x或或y y方向的变化将会使波与边界发生接触方向的变化将会使波与

13、边界发生接触. .假设波假设波从导波中心沿着从导波中心沿着y y轴方向移动，由于电场是指向轴方向移动，由于电场是指向y y轴方向的，电场将以轴方向的，电场将以垂直的角度与边界相接触，这时不会发生任何变化。当我们沿着垂直的角度与边界相接触，这时不会发生任何变化。当我们沿着x x轴移轴移动时则会发现，如果波是由方程动时则会发现，如果波是由方程 0ex p ()EEitkz/k/k为相速为相速, ,沿着沿着z z轴传播，电场的方向由常矢量轴传播，电场的方向由常矢量 给定，指定给定，指定 0E的方向为的方向为y y轴方向。轴方向。 0E所描述的那样，则电场将会与边界相平行，但这不符合边界条件，我们必所

14、描述的那样，则电场将会与边界相平行，但这不符合边界条件，我们必须在波传播时使电场在须在波传播时使电场在x x轴方向的边界处为零。实现这个目的并且使波在轴方向的边界处为零。实现这个目的并且使波在波导的其余空间中仍然能够传播的一种方法就是让场强沿着波导的其余空间中仍然能够传播的一种方法就是让场强沿着x x轴按照的轴按照的 函数形式进行变化，这样就能保证在函数形式进行变化，这样就能保证在 x=0 x=0 和和 x=a x=a 处电场处电场为零，如下图所示。为零，如下图所示。sin(/ )x a对于一般函数对于一般函数 )/sin(axn（，） 取时的情况进行分析取时的情况进行分析 将得到同样的结果。

15、将得到同样的结果。 这时平面波的方程为这时平面波的方程为 0sin(/)exp ()yEe Ex aitkz01222222222tEczEyExE下面再来看一下它在波导内的自由空间中是否满足麦克斯韦方程。下面再来看一下它在波导内的自由空间中是否满足麦克斯韦方程。 已知已知222210EEct自由空间的电场的波动方程为自由空间的电场的波动方程为 如果如果22)()(ack平面波就满足波动方程并平面波就满足波动方程并且能够通过波导进行传播且能够通过波导进行传播 正负号说明波可以双向传播，波导正负号说明波可以双向传播，波导中波的相速中波的相速 v v 可由下式求出可由下式求出 22)()(/ack

16、v当当(/c) (/a)(/c) (/a)时，时，k k为虚数为虚数 22( )( )kiikac波导中的波可表示为波导中的波可表示为 )exp()exp()sin(0tizkaxEE 这是一个随时间做正弦波动并且按照指数衰减的电场这是一个随时间做正弦波动并且按照指数衰减的电场, ,它不同于它不同于在非理想金属中传播的电场，因为这里的在非理想金属中传播的电场，因为这里的 k k 没有实部，所以这个电没有实部，所以这个电波不象空中的正弦波那样随时间向前传播。波不象空中的正弦波那样随时间向前传播。 对于频率对于频率 的理想波导和非理想金属介质的理想波导和非理想金属介质, ,它们中电它们中电场的大小

17、在某一瞬时的空间变化情况如下图所示场的大小在某一瞬时的空间变化情况如下图所示 /2fca结论结论当当 时，波不能通过波导传播，此时的频率称为截时，波不能通过波导传播，此时的频率称为截止频率止频率 acfc2/ca二、波导中的磁场二、波导中的磁场 麦克斯韦第二方程麦克斯韦第二方程 BEt 0sin(/)exp ()yyEe Ex aitkze E()(0)cos()/sin()00 xyzxyzeeexxEeikEeeExyzaaaE磁场就等于上式中各项对于时间的积分。磁场就等于上式中各项对于时间的积分。 我们只关心波的求解，所以积分常数将无关紧要，可令其为零。我们只关心波的求解，所以积分常数将

18、无关紧要，可令其为零。因为因为当只关心与波有关的项时，可在上式中仅保留随时间变化的部分。当只关心与波有关的项时，可在上式中仅保留随时间变化的部分。 磁场中存在磁场中存在 分量的事实是非常有趣的，因为我们第一次发现沿着分量的事实是非常有趣的，因为我们第一次发现沿着波的传播方向存在一个场的分量。波的传播方向存在一个场的分量。 ze00()sin()exp ()(0)()cos()exp ()xyzkxBeEitkzeaixeEitkzaa所以所以三、能量速率三、能量速率 从前面的分析已知从前面的分析已知 如果传播常数如果传播常数 k k 为实数，则波的相速将大于光速。为实数，则波的相速将大于光速。

19、但得出上述结论时的传播媒介是绝缘介质，而现在的波是在理想波导中但得出上述结论时的传播媒介是绝缘介质，而现在的波是在理想波导中传播，它不存在衰减。传播，它不存在衰减。 如果传播常数如果传播常数 k k 为虚数，并且为虚数，并且 ，波则不能在波导中传播。，波则不能在波导中传播。ca因此相速的意义具有很大的局限性，下面我们给出一个更有意义的量：因此相速的意义具有很大的局限性，下面我们给出一个更有意义的量：能量速率能量速率。如果波的形式由以下方程给出。如果波的形式由以下方程给出, ,那么能量将会以这个速率那么能量将会以这个速率在波导中传播。在波导中传播。 坡印廷矢量给定了电磁场中任一点处单位面积能量流

20、动的速率，即坡印廷矢量给定了电磁场中任一点处单位面积能量流动的速率，即 00()sin()cos()()cos()sin()xzkxxBeEtkzeEtkzaaa由以上方程可以得到由以上方程可以得到 0sin()cos()yxEe Etkza而而22220012 ()( )sin()sin2()()sin ()cos ()4xzxkxSc Eetkzetkzaaa20Sc EB 的方向就是能流的方向的方向就是能流的方向 S因为因为此式中的坡印廷矢量表明了一个非常有趣的事实：能量并不仅仅沿着此式中的坡印廷矢量表明了一个非常有趣的事实：能量并不仅仅沿着导行轴在传播导行轴在传播, ,它还含有它还含有

21、 分量。只不过目前我们所关心的是计算通分量。只不过目前我们所关心的是计算通过波导的能流，即过波导的能流，即 方向的能流。方向的能流。 xezSn d xd y是能流速率与波导横截面的面积元的乘积是能流速率与波导横截面的面积元的乘积 zne对于我们所关心的能流通过波导的计算而言，可取对于我们所关心的能流通过波导的计算而言，可取 222200()sin ()cos ()kxS ndxdyc Etkz dxdya这时这时总的穿过波导横截面的能流速率总的穿过波导横截面的能流速率 2222000022200() sin () cos ()()() cos ()(/)2badukxc Etkz dxdyd

22、takabc EtkzJs 取时间平均值可得取时间平均值可得 22001()()( )( / )22dukabc EJ sdt0sin ()co s()yxEe Etkza00()sin()cos()()cos()sin()xzkxxBeEtkzeEtkzaaa22222222000sin ()cos ()()sin ()cos ()2enxkxSEtkzcEtkzaa)(sin)(cos)(22202kztaxEa在波导中某一点上的能量密度为在波导中某一点上的能量密度为 22230()(/)2enSEc BJm取时间平均值，就可得出每单位长度波导的平均能量为取时间平均值，就可得出每单位长度波导的平均能量为 222200111( )() ()( )() ()( )2222222enabkababSEca所以所以222220022218enc kcSE aba222)()(ack200(/)4enSE abJm尽管相速尽管相速 v v大于光速大于光速 c c ，但能量速率，但能量速率 却决不会超过光速。却决不会超过光速。 env即即 结结论论 能量速率 2/(/ )enenduc kvSm sdt2cvven在