材料力学 第7章 应力状态及强度理论

1、第第7 7章章应力与应变状态分析应力与应变状态分析塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？塑性材料拉伸时为什么会出现滑移线？铸铁拉伸铸铁拉伸低碳钢拉伸低碳钢拉伸问题的提出问题的提出脆性材料扭转时为什么沿脆性材料扭转时为什么沿4545螺旋面断开？螺旋面断开？低碳钢扭转低碳钢扭转铸铁扭转铸铁扭转构件上不同的点有构件上不同的点有不同的应力不同的应力-应力为应力为位置的函数。位置的函数。 构件上同一点不同构件上同一点不同的方向面上应力不尽相的方向面上应力不尽相同同 应力为方向面的应力为方向面的函数。函数。PAPPPP一点的应力状态的表示方法一点的应力状态的表示方法xyzdxdydz单元体法：单元体法：围绕一

2、点取微小的正六面围绕一点取微小的正六面体体 单元体单元体x面、面、y面、面、z面面单元体取法单元体取法轴向拉伸轴向拉伸A横截面PAPABAB横截面外轮廓线横截面单元体取法单元体取法圆轴扭转圆轴扭转单元体上相对坐标面上的应单元体上相对坐标面上的应力大小相等、方向相反。单力大小相等、方向相反。单元体上任意方向面上的应力元体上任意方向面上的应力视作均匀分布。视作均匀分布。 单元体的性质单元体的性质AAxzyxyzyzxyxzyxyzzx九个应力分量中九个应力分量中只有六个独立的只有六个独立的应力分量应力分量xxyxzyxyyzzxzyz 应力状态的一般情况应力状态的一般情况主平面、主应力、主单元体主

3、平面、主应力、主单元体剪应力为零的平面称剪应力为零的平面称为为主平面主平面。主平面上的应力称主平面上的应力称主应力主应力。以主平面为坐标平面的单元体称为以主平面为坐标平面的单元体称为主单元体主单元体。 A横截面主单元体主单元体的例子的例子即：即： 1 2 31 2 3 可以证明，一点处必定存在主单元体，因而必定存在可以证明，一点处必定存在主单元体，因而必定存在三个互相垂直的主应力，分别记为三个互相垂直的主应力，分别记为 1 1、 2 2、 3 3， 且规定按代数值大小顺序排列。且规定按代数值大小顺序排列。应力状态的分类应力状态的分类单向应力状态单向应力状态只有一个主应力不等于零只有一个主应力不

4、等于零双向应力状态双向应力状态有两个主应力不等于零有两个主应力不等于零三向应力状态三向应力状态三个主应力都不等于零三个主应力都不等于零1.1.斜截面上的应力斜截面上的应力xy zxyyxxynxxyxyxyx y yx xya a平面应力状态分析平面应力状态分析解析法解析法 0 nF0sin)sin(cos)sin(cos)cos(sin)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy列平衡方程列平衡方程 0 tF0cos)sin(sin)sin(sin)cos(cos)cos(dAdAdAdAdAyyxxxy y a a xydAn nt txyx并注意到并注意到 化简得化简得xyyx 2sin2

5、cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyx221cos21cos2cos,sin22sin22sincosxyx y yx xya2.2.正负号规则正负号规则正应力：拉为正；反之为负正应力：拉为正；反之为负切应力：使微元顺时针方向转动切应力：使微元顺时针方向转动为正；反之为负。为正；反之为负。角：角：由由x 轴正向逆时针转到斜截轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反之为负。面外法线时为正；反之为负。 y a a xyntxyxx2sin2cos)(21)(21xyyxyx确定正应力极值确定正应力极值2cos22sin)(xyyxdd设设0 时，上式值为零，即时，上式值为

6、零，即02cos22sin)(00 xyyx3. 3. 正正应力极值和方向应力极值和方向0 02 2cos2cos2sin2sin22 2) )( (2 20 00 0 xyxy0 0y yx x即即0 0 时，切应力为零时，切应力为零yxxy 22tan0由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。所以，最大和最小正应力分别为：和最小正应力所在平面。所以，最大和最小正应力分别为： 22max4212xyyxyx 22min4212xyyxyx 主应力主应力按代数值按代数值排序：排序：1 1 2 2 3 3y x

7、 xy 试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单元体。）绘出主应力单元体。一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。已知：已知：。30MPa，60 xMPa,30 xy,MPa40y（1 1） 斜面上的应力斜面上的应力2sin2cos22xyyxyxMPa02. 92cos2sin2xyyxMPa3 .58（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxxyyx22)2(min2yxxyyx22)2(maxMPa3 .68MPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .68321主平面的方位：主平

8、面的方位：yxxytg2206 . 0406060,5 .1505 .105905 .150代入代入 表达式可知表达式可知 主应力主应力 方向方向：15 .150主应力主应力 方向：方向：3 5 .10505 .1513（3 3）主应力单元体：）主应力单元体：平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyx222222xyyxyx对上述方程消去参数（2），得：一、应力圆（一、应力圆（ Stress Circle）xy x xy yO y xy x xyOn此方程曲线为圆应力圆（或莫尔圆，由德国工程师：Mohr引入）建立应力坐标系，如下图所示

9、，（注意选好比例尺）二、应力圆的画法二、应力圆的画法在坐标系内画出点A( x，xy)和B(y，yx) AB与 轴的交点C便是圆心。以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆； x xy yxyOn O CA( x , xy)B( y , yx)x2 nD( , x xy yxyOn O CA( x , xy)B( y , yx)x2 nD( , 三、单元体与应力圆的对应关系三、单元体与应力圆的对应关系面上的应力( ， ) 应力圆上一点( ， )面的法线 应力圆的半径两面夹角 两半径夹角2 ；且转向一致。223122xyyxyxROC）（半径四、在应力圆上标出极值应力四、在应力圆上标出极值应力22min

10、maxminmax22xyyxR）（半径OC A( x , xy)B( y , yx)x2 1 1minmax2 0 0 1 2 3 3例例3 求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：MPa)4532532595150AB 1 2解：主应力坐标系如图AB的垂直平分线与 轴的交点C便是圆心，以C为圆心，以AC为半径画圆应力圆0 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在坐标系内画出点 3 1 2BAC20 (MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图0201203213004532532595150 10 2AB2cos2sin2xyyx4

11、532532595150解法2解析法：分析建立坐标系如图xyyxyMPa325MPa45?x222122xyyxyx）（60MPa325MPa956060 xyO2sin2cos)(21)(21xyyxyx2cos2sin)(21xyyxxyyxyx2222)2()2( 这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为这个方程恰好表示一个圆，这个圆称为应力圆应力圆平面应力状态分析平面应力状态分析图解法图解法xyyxyx2222)2()2(RCxyyxR22)2( 2yx1. 1. 应力圆：应力圆：2.2.应力圆的画法应力圆的画法D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2RxyyxR22)2( y

12、 yx xyADx点面对应点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着微元应力圆上某一点的坐标值对应着微元 某一截面上的正应力和切应力某一截面上的正应力和切应力3 3、对应关系、对应关系D( x , xy)D/( y , yx)c xy 2 y yx xyxH ),(aaH 2梁在横力弯曲时的正应力和切应力为：梁在横力弯曲时的正应力和切应力为：xZM yImaxzxyzFsSI b* max mm截面上各点的应力截面上各点的应力梁的主应力和主应力迹线梁的主应力和主应力迹线xxy梁内任意一点处的单元体及主应力为：梁内任意一点处的单元体及主应力为：212322xxxy2013zzxyIbQS*zxIMy1

13、2345P1P2q如图，已知梁发生剪切弯曲（横力弯曲），其上M、Q0，试确定截面上各点主应力大小及主平面位置。单元体：223122xyxx）（2 21 1 1 1 3 3 3 33 3 1 1 3 34 4 1 1 1 1 3 35 50450 A1A2D2D1CO A2D2D1CA1O 20 D2D1CD1O20= 90 D2A1O 20CD1A2 A2D2D1CA1O拉力压力主应力迹线（Stress Trajectories)： 主应力方向线的包络线曲线上每一点的切线都指示着该点的拉主应力方位（或压主应力方位）。实线表示拉主应力迹线；虚线表示压主应力迹线。 1 3 1 3qxy主应力迹线的

14、画法：主应力迹线的画法：11截面截面22截面截面33截面截面44截面截面ii截面截面nn截面截面bacd 1 3 3 1二、梁的主应力迹线二、梁的主应力迹线 mm截面上截面上各点的主应力方向各点的主应力方向注：中性轴以上横截面受压，主应注：中性轴以上横截面受压，主应力力s1 与铅直方向的夹角小于与铅直方向的夹角小于45450 0。中性轴以下横截面受拉，主应力中性轴以下横截面受拉，主应力s1的方向与水平方向的夹角小于的方向与水平方向的夹角小于45450 0。主应力迹线：主应力迹线：在梁的平面内绘制的两组正交的曲线，在梁的平面内绘制的两组正交的曲线，曲线上各点的切线方向为该点的主应力方向。曲线上各

15、点的切线方向为该点的主应力方向。图示受均布载荷作用简支梁的主应力迹线。及根据主图示受均布载荷作用简支梁的主应力迹线。及根据主应力迹线做的配筋图。应力迹线做的配筋图。实线实线主应力主应力s1 的的迹线迹线；虚线；虚线主应力主应力s3的迹线。的迹线。三个主应力都不为零的应力状态三个主应力都不为零的应力状态三向应力状态的三向应力状态的主应力单元体主应力单元体1 2 3 三向应力状态三向应力状态由三向应力圆可以看出：由三向应力圆可以看出：231max 结论：结论：代表单元体任意斜代表单元体任意斜截面上应力的点，截面上应力的点，必定在三个应力圆必定在三个应力圆圆周上或圆内。圆周上或圆内。213 32 1

16、 可利用主应力单元体做出。可利用主应力单元体做出。求图示单元体的主应力求图示单元体的主应力和最大切应力。和最大切应力。解：这是主应力单元体，解：这是主应力单元体， 由定义，由定义， 1= 60 MPa 2= 30 MPa 3=50 MPa 305060（MPa）231max 605055MPa2 解：这是特殊三向应力状态，已解：这是特殊三向应力状态，已 知一个主平面和主应力，另知一个主平面和主应力，另 两个主平面和主应力可按平两个主平面和主应力可按平 面应力状态计算。面应力状态计算。1451210（MPa）2max2min22xyxyxyxyz2215101410145MPa1122 1=15

17、 MPa 2=12 MPa 3=11 MPa231max 151113MPa2 求图示单元体的主应力和最大切应力。求图示单元体的主应力和最大切应力。解：已知一个主应力解：已知一个主应力40MPa,另两个另两个 主应力可按纯剪切应力状态结主应力可按纯剪切应力状态结 论直接写出。论直接写出。 1=40 MPa, 2=30 MPa, 3=30 MPa3040(MPa)231max 403035MPa2 xyz求图示单元体的主应力和最大切应力。求图示单元体的主应力和最大切应力。1. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE Exxy xyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形

18、横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律 G 广义胡克定律广义胡克定律2 2、三向应力状态的广义胡克定律叠加法、三向应力状态的广义胡克定律叠加法32111E13221E21331E1 2 3 )(1zyxxE Gxyxy 3 3、广义胡克定律的一般形式、广义胡克定律的一般形式)(1xzyyE )(1yxzzE Gyzyz Gzxzx xzyxyzyzxyxzyxyzzxdxdydz4 4、体积体积胡克定律胡克定律123 单元体原体积单元体原体积V=dxdydz变形后的体积变形后的体积1123(1)d (1)d (1)dVxyz 体积应变体积应变12xyzE1V123VVV mK 3(12

19、 )EK体积弹性模量体积弹性模量3xyzm平均应力平均应力 13451EEE11145E3.3.求求Me ePMW 45MeKMe解：解：1.1.由应力状态分析画单元体由应力状态分析画单元体 2. 2.求求t已知已知: 扭转材料的扭转材料的 求求: Me45,d E 45 3 3 K 1 1 345eP116EdMW 三向应力状态下，假定各主应力按比例同时从零增加到最三向应力状态下，假定各主应力按比例同时从零增加到最终值，每一主应力与相应的主应变仍为线性关系，所以终值，每一主应力与相应的主应变仍为线性关系，所以复复杂应力状态下的应变能密度为杂应力状态下的应变能密度为112233111222v

20、复杂应力状态下的应变能复杂应力状态下的应变能复杂应力状态下的应变能密度复杂应力状态下的应变能密度v 体积改变能密度体积改变能密度vV畸变能密度畸变能密度vd因形状改变、体积不变因形状改变、体积不变而储存的应变能密度。而储存的应变能密度。因体积变化、形状不变因体积变化、形状不变而储存的应变能密度。而储存的应变能密度。 11m 22m 33m m m m 1 3 2 1233m1 2 3 V13322mmmmv(12 )mmE2V123312()26mmvE图示单元体三个正应力相图示单元体三个正应力相等，只有体积改变能。等，只有体积改变能。m m m 图示单元体三个正应力不图示单元体三个正应力不相

21、等，且三个正应力之和相等，且三个正应力之和为零，只有形状改变能。为零，只有形状改变能。d1 122331()2v 注意：注意：由于应力、应变与应变能密度不是线性关系，由于应力、应变与应变能密度不是线性关系，所以所以应变能密度一般不符合叠加原理。应变能密度一般不符合叠加原理。1 3 2 1122331()2v 11223331()22mmv 12301230注意注意11m22m33m11m22m33mddvvv畸变能密度畸变能密度vd2221223311()()() 6E单向应力状态时：单向应力状态时：2V1126vE2d113vE第第7 7章章强强 度度 理理 论论max,maxAFN（拉压）

22、（拉压）maxmax WM（弯曲）（弯曲）（正应力强度条件）正应力强度条件）*maxzzsbISF（弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）maxpWT（切应力强度条件）（切应力强度条件）max max 1. 1. 杆件基本变形下的强度条件杆件基本变形下的强度条件强度理论概述强度理论概述复杂应力状态的形式是无穷无尽的，建立复杂应力状态下复杂应力状态的形式是无穷无尽的，建立复杂应力状态下的强度条件，的强度条件，采用模拟的方法几乎是不可能的，采用模拟的方法几乎是不可能的，即逐一用即逐一用试验的方法建立强度条件是行不通的，需要从理论上找出试验的方法建立强度条件是行不通的，需要从理论上找出路。路。 强度理论：强

23、度理论：人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概人们根据大量的破坏现象，通过判断推理、概括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主括，提出了种种关于破坏原因的假说，找出引起破坏的主要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相要因素，经过实践检验，不断完善，在一定范围与实际相符合，上升为理论。符合，上升为理论。为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料为了建立复杂应力状态下的强度条件，而提出的关于材料破坏原因的假设及计算方法。破坏原因的假设及计算方法。经典强度理论经典强度理论构件由于强度不足将引发两种失效形式构件由于强度不足将引发两种失效形式(1)(1)脆性断裂：脆性断裂：

24、材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较材料无明显的塑性变形即发生断裂，断面较 粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面粗糙，且多发生在垂直于最大正应力的截面 上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。上，如铸铁受拉、扭，低温脆断等。关于关于断裂的强度理论：断裂的强度理论： 最大拉应力理论和最大伸长线应变理论最大拉应力理论和最大伸长线应变理论(2)(2)塑性屈服（流动）：塑性屈服（流动）：材料破坏前发生显著的塑性变形，材料破坏前发生显著的塑性变形， 破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应破坏断面粒子较光滑，且多发生在最大剪应 力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。力面上，例如低碳钢拉、扭，铸铁压。关于关于屈服的

25、强度理论：屈服的强度理论： 最大切应力理论和形状改变比能理论最大切应力理论和形状改变比能理论1. 1. 最大拉应力理论最大拉应力理论（第一强度理论）（第一强度理论）材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值材料发生断裂的主要因素是最大拉应力达到极限值01 构件危险点的最大拉应力构件危险点的最大拉应力1 极限拉应力，由单拉实验测得极限拉应力，由单拉实验测得b 00 b1 断裂条件断裂条件 nb1强度条件强度条件2. 2. 最大伸长拉应变理论最大伸长拉应变理论（第二强度理论）（第二强度理论）无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生脆性断裂只要发生脆性断裂, ,都是都是由于微

26、元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时由于微元内的最大拉应变（线变形）达到简单拉伸时的破坏伸长应变数值。的破坏伸长应变数值。 01 构件危险点的最大伸长线应变构件危险点的最大伸长线应变1 极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得极限伸长线应变，由单向拉伸实验测得0 E/)(3211 Eb/0 实验表明：实验表明：此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆此理论对于一拉一压的二向应力状态的脆性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论性材料的断裂较符合，如铸铁受拉压比第一强度理论更接近实际情况。更接近实际情况。强度条件强度条件)(321nb断裂条件断裂条件EEb)(1321b)(321即即无论材料处于什

27、么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是由于都是由于微元内的最大切应力达到了某一极限值。微元内的最大切应力达到了某一极限值。0max 3. 3. 最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论）构件危险点的最大切应力构件危险点的最大切应力max 极限切应力，由单向拉伸实验测得极限切应力，由单向拉伸实验测得0 2/0s 2/ )(31maxs31 屈服条件屈服条件 ss31n强度条件强度条件实验表明：实验表明：此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到此理论对于塑性材料的屈服破坏能够得到较为满意的解释。并能解释材料在三向均压下不发生较为满意的解释。并能解释

28、材料在三向均压下不发生塑性变形或断裂的事实。塑性变形或断裂的事实。)0(max局限性：局限性： 1 1、未考虑、未考虑 的影响，试验证实最大影响达的影响，试验证实最大影响达15%15%。2 2、不能解释三向均匀拉伸下可能发生断裂的现象、不能解释三向均匀拉伸下可能发生断裂的现象。2无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态, ,只要发生屈服只要发生屈服, ,都是由于都是由于微元的最大形状改变比能达到一个极限值。微元的最大形状改变比能达到一个极限值。0sfsfvv 4. 4. 形状改变比形状改变比能理论能理论（第四强度理论）（第四强度理论） 213232221sf)()()(61 Ev构件危

29、险点的形状改变比能构件危险点的形状改变比能sf 20f261ssEv形状改变比能的极限值，由单拉实验测得形状改变比能的极限值，由单拉实验测得0f s 屈服条件屈服条件22132322212)()()(s 强度条件强度条件 ss213232221)()()(21n实验表明：实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合 试验结果，在工程中得到了广泛应用。试验结果，在工程中得到了广泛应用。相当应力相当应力强度条件中直接与许用应力强度条件中直接与许用应力 比较的量，称为相当应力比较的量，称为相当应力 r2132322214)()()(21r( (畸变能理论畸变

30、能理论) )( (最大切应力理论最大切应力理论) )313r( (最大拉应力理论最大拉应力理论) )11r3212r（最大伸长线应变理论）（最大伸长线应变理论）强度条件的一般形式强度条件的一般形式 r 已知：已知：s 和和t，试写出，试写出:最大切应力理论最大切应力理论和和畸变能理论畸变能理论相当应力的表达式。相当应力的表达式。 常见的平面应力状态如图常见的平面应力状态如图解：首先确定主应力解：首先确定主应力20223122平面应力状态特例平面应力状态特例最大切应力理论（第三强度理论）最大切应力理论（第三强度理论）畸变能理论（第四强度理论）畸变能理论（第四强度理论） 213232221)()()(21 r4=223134r相当应力颠三倒四！相当应力颠三倒四！223已知已知 ： 铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁构件上危险点的应力状态。铸铁拉伸许用应力铸铁拉伸许用应力 t =30MPa。试校核该点的强度。试校核该点的强度。101123MPa解：首先根据材料和应力解：首先根据材料和应力状态确定失效形式，选择状态确定失效形式，选择强度理论。强度理论。脆性断裂，最脆性断裂，最大拉应力理论大拉应力理论 max= 1 t