22.2微积分基本定理与应用

1、仅供个人参考 2 不得用于商业用途 22、定积分 22. 2 微积分基本定理与应用 【知识网络】 1. 直观了解微积分基本定理的含义。 For pers onal use only in study and research; not for commercial use 2. 会求简单的定积分。 3. 会用定积分的知识解决一些简单的应用问题。 【典型例题】 例 1 ( 1)由抛物线y2二x和直线 x=1 所围成的图形的面积等于 2 X ! cos dx = 2 2 y = -x2 , 4y二-x2及直线 y= -1 所围成图形的面积. (5)按万有引力定律，两质点间的吸引力 r 为两点间距离

2、，若两质点起始距离为 试求所作之功(b a) _ m1 m2 2 r k 为常数, m1 ,m2为两质点的质量, a,质点 m1沿直线移动至离 m2的距离为 b 处， B 2 些_ -x C A . 1 B. 4 3 2 C.- 3 (2)如图，阴影部分的面积是 y A. 2,3 B. 9 -2 3 32 35 C D 3 3 1 (3) 0 |x2 -4 |dx = 21 22 A B. 3 3 23 25 C D 3 3 y=2x v (2) (4) 例 2如图，求由两条曲线 例 1 仅供个人参考 不得用于商业用途 例 3如图，抛物线 C1: y= -x2与抛物线 C2: y=/-2ax(

3、a0)交于 0、A 两点若过原点的 直线1与抛物线 C2所围成的图形面积为|a3，求直线1的方程 例 4已知 A (-1, 2)为抛物线 C: y=2x2上的点直线丨1过点 A，且与抛物线 C 相切直 线 12： x=a(a丰-1)交抛物线 C 于点 B，交直线 li于点 D (1) 求直线 li的方程； (2) 设也 ABD 的面积为 求BD及 Si的值； (3) 设由抛物线 C、直线 li、12所围成的图形的面积为 S2,求证：Si： S2的值为与 a 无关 的常数. 【课内练习】 5 1 p(2x-4)dx = Co 3 例 3 图 仅供个人参考 不得用于商业用途 A 5仅供个人参考 不

4、得用于商业用途 2. nxdx = 仝x a 7. 盘(xcosx -5sin x 2)dx = _ & 计算下列定积分的值 3 2 (1) .,4x -x )dx; 9.平地上有一条小沟，沟沿是两条长 100m 的平行线段，沟宽 AB 为 2m,与沟沿垂直的 平面与沟的交线是一段抛物线，抛物线的顶点为 0,对称轴与地面垂直，沟深 1.5m，沟中 水深 1m. (I)求水面宽； (n)如图所示形状的几何体称为柱体， 已知柱体的体 积为底面积乘以高，沟中的水有多少立方米？ 10.设y = f(x)是二次函数，方程 f(x) =0有两个相等的实根，且 f (x) = 2x 2 . 3. 4. 5.

5、 6. 1 2 In 22 2 1 (2x )dx = 3 In 2，且 a 1,贝 V a 的值为 2 Co In 2 D。In2 1 x 6 A . 已知自由落体运动的速率 gtf 4 Co v=gt，则落体运动从 gto C. 3 t=0 到 gt2 D o 2 t=t0所走的路程为 D .或 6 曲线y = x2与直线 y二x 2所围成的图形(阴影部分) 的面积等于 x o F t dt = (2) 02(x sin x)dx ; (3) 2 cos2 xdx o _2 仅供个人参考 不得用于商业用途 (1 )求f (x)的表达式. (2)若直线x =t(0 : t 1),则 a= _

6、 5. Jx(1 +X)dx= _ 。 2 2 3 - 6. 求定积分：o x (9 -x )2dx。 7.求曲线 y=-x3 x2 2x 与x轴所围成的图形的面积. 仅供个人参考 & 如图，抛物线 y=：4_x2与直线 y= 3x的二交点为 A、B.点 P 在抛物线的弧上从 A 运动。 求使PAB的面积为最大时 P 点的坐标(a, b)； 证明由抛物线与线段 AB 围成的图形，被直线 x= a 分为面积相等的两部分 22、定积分 x ( . f (t)dt) =f (x)o 其中正确命题的个数为 A . 0 (1) (2) 1. x 03(2cos2 1)dx = 2. A .二 2 3 2

7、 0|3x -12|dx = 3. A . 21 下列命题: 若 f(x)是定义在 若 f(x)是周期为 22. 2 22 微积分基本定理与应用 R上的奇函数，则 Co Co 23 24 ff (t)dt为R上的偶函数; 0 a -T T ( 0)的周期函数，贝 U .0f(x)dx = T f (x)dx ; Co 2 x 仅供个人参考 不得用于商业用途仅供个人参考 不得用于商业用途 4. _ 由曲线 y =2 -x2与直线y二-X 所围成的平面图形的面积为 _ 5. _ 已知弹簧每拉长 0. 02 米要用 9. 8N 的力，则把弹簧拉长 0. 1 米所作的功为 _ 6. 求由曲线 y =x

8、2 -2x 与 x 轴所围的封闭区域的面积。 3 2 7. 设某物体一天的温度 T 是时间 t 的函数，T (t) = at+bt+ct+d (a丰0)，其中温度的单位 是C，时间的单位是小时，t=0 表示 12 : 00, t 取正值表示 12 : 00 以后.若测得该物体 在 8 : 00 的温度为 8 C , 12 : 00 的温度为 60 C , 13 : 00 的温度为 58 C，且已知该物 体的温度在 8 : 00 和 16 : 00 有相同的变化率. (1) 写出该物体的温度 T 关于时间 t 的函数关系式； (2) 该物体在 10 : 00 到 14 : 00 这段时间中(包括

9、 10 : 00 和 14 : 00),何时温度最 高？并求出最高温度； (3) 如果规定一个函数 f(x)在x1,x2(x： x2)上函数值的平均为 1 X2 f (x)dx，求该物体在 8 : 00 到 16 : 00 这段时间内的平均温度. x2 -捲 & 一物体按规律 x = bt3作直线运动，式中 x 为时间 t 内通过的距离，媒质的阻力正比于 速度的平方试求物体由 x=0 运动到 x=a 时，阻力所作的功. dx & 物体的速度 V (bt3) 二 3bt2 媒质阻力 Fzu 二 kv2 = k(3bt2)2 二 9kb2t4，其 dt 中 k 为比例常数，k0 . 1 a _ 当

10、 x=0 时，t=0;当 x=a 时，t =t1 =( )3，又 ds=vdt，故阻力所作的功为 b t1 2 t1 3 11 2 3 3 7 3 7 2 Wzu = Fzuds = 1 kv vdt = k f v dt = k f (3bt ) dt = kb t1 = kva b。 仅供个人参考 不得用于商业用途 0 0 0 7 1 7仅供个人参考 不得用于商业用途 参考答案 22. 2 微积分基本定理与应用 【典型例题】 例 1( 1)B . (2) C. (3) C. (4) n 1 。 4 2 (5) 1 km-i m2 (- y = -X2 由y 得 C（ 1，-1）.同理得 D

11、（2，-1）. y = -1 所求图形的面积 y = kX 2 ，得 X1=0, X2=k+2a. j = x - 2aX kl2a 2 k -2a 2 当 k+2a0 时，S (kx - x 2ax)dx (k 2a)x-xdx 于是(k+2a)3=27a3，解得 k=a. 所以，直线 I的方程为 y=ax. 0 2 =( k 2a 2 13、 x x ) 3 k 2a (k 2a)3 6 例 2由图形的对称性知，所求图形面积为位于 y 轴右侧图形面积的 2 倍. 1 s=2. X2 2 2 T)dx 1 2 X (-1)dx 4 1 3X 2 一 dx 2 X2 2 ,1如 3 X 12

12、+X12)W 例 3设过原点的直线方程为 y=kX,解方程组 当 k+2a-1 时，S2 2 2 a3 2a2 2a 2 2 3 a 2 2 3 2 (2x +4x + 2)dx=(x +2x + 2x) 討 1)3， 3 当 a0 . 当 x=0 时，t=0 ;当 x=a 时， :叭7 不得用于商业用途 本资料来源于七彩教育网仅供个人参考 仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途 For personal use only in study and research; not for commercial use. Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l e tude et la recherc