直线和椭圆位置关系教师版

1、直线与椭圆 （教师版 ）知识与归纳：1.点与椭圆的位置关系222222x点 P（x0， y0）在椭圆 2y2 1 内部的充要条件是 0202 1；在椭圆外部的充要条件是x0 y0 122ab2 a2b2a2 b222在椭圆上的充要条件是 x02 y02 1.a2 b22.直线与椭圆的位置关系 .22设直线 l：Ax+By+C=0，椭圆 C：x2 y2 1，联立 l与C，消去某一变量 （x或 y）得到关于另一个变量的一元二 a2 b2次方程，此一元二次方程的判别式为， 则 l与 C相离的0.3.弦长计算计 算 椭 圆 被 直 线 截 得 的 弦 长 ， 往 往 是 设 而 不 求 ， 即 设 弦

2、 两 端 坐 标 为 P1（x1 ， y1） ， P2（x2 ，y2)|P1P2|=(x1x2)2(y1y2)2=f(k)1k2x1x2112y1y2 (k为直线斜率) 形式(利用根k与系数关系(推导过程：若点 A(x1,y1)，B(x2,y2) 在直线 y kx b(k 0)上，则 y1 kx1 b， y2 kx2 b ，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一，AB(x1x2 )2(y1y2)2(x1x2 )2(kx1kx2)2(1k2)(x1x2)2(1 k2 )( x1 x2)2 4x1x2或者 AB(x1 x2)2 (y1 y2)21 x2)2 (y1 y2)2 ky2)(1 k

3、12 )( y1y2)2 4y1y2 。)，直线与椭圆的位置关系例题 1 、判断直线 kx y 30 与椭圆161的位置关系y kx 3解：由 x2 y2可得 (4k 2 1)x2 24kx 20 0116 4216(16k2 5)（1）当16(16k 25)0即k5或k4（2）当216(16k 25)0即k5或k4（3）当216(16k 25)0即5k42例题 2 、若直线 y kx1(kR)与椭圆5解法5时，直线kxy30 与椭圆2x2 y1相交41645225时，直线kxy30 与椭圆xy1相切41645时，直线 kxy32x0 与椭圆2 y1相离41642y 1恒有公共点，求实数 m

4、的取值范围 mykx 1由 x22 y2 1 m可得 (5k 2 m)x2 10kx 5 5m 05m1且 m 5解法二：直线恒过一定点 （0,1）m 5k 2 1 0 即 m 5k 2 1 1当m5时，椭圆焦点在x 轴上，短半轴长 bm ，要使直线与椭圆恒有交点则m 1 即1 m 5当m5时，椭圆焦点在y 轴上，长半轴长 a5 可保证直线与椭圆恒有交点即m5综述： m 1且m 5解法三：直线恒过一定点 （0,1）要使直线与椭圆恒有交点，即要保证定点（0,1） 在椭圆内部02512m1即 m 1m 1且 m 5评述 由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的交点状况，而方程解的情

5、况由判别式来决 定，直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系，直线方程与椭圆方程联立，消去 y或x得到关于 x或 y的一元二 次方程，则（ 1）直线与椭圆相交0 （ 2）直线与椭圆相切0 （ 3）直线与椭圆相离0 ，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具。或者可首先判断直线是否过定点，并且初定定 点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上，然后借助曲线特征判断：如例 2 中法二是根据两曲线的特征观察所至；法22三则紧抓定点在椭圆内部这一特征：点 M （ xo , yo ）在椭圆内部或在椭圆上则 xo2 yo2 1 a2 b2、弦长问题例 3 、已知椭圆1的左右焦点分别为 F1 ,F2，若

6、过点 P（0，-2 ）及 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点，求 ABF 2 的面积 解法一：由题可知：直线 lAB 方程为 2x y 2 0解法二：F2 到直线 AB 的距离 h 4 552 F1F2 y1 y2y2x 2由 x2y2 可得 9y2 4y 4 0 ，11y1 y22(y1 y2) 2 4y1y24 1094 109y2x 2由 x2y2可得 9x2 16x 6 0 ，又11AB221 k x1 x210 2914 10ABh29S 评述 在利用弦长公式AB1 k 2 x1 x2y2 ( k 为直线斜率)或焦(左)半径公式AB PF1 PF2 a ex1 a ex2 2a 2e

7、(x1 x2) 时，应结合韦达定理解决问题。例题 4 、 已知长轴为 12 ，短轴长为 6，焦点在 x 轴上的椭圆，过它对的左焦点 F1作倾斜解为 的直线交椭圆于 13A， B两点，求弦 AB的长分析：可以利用弦长公式 AB 1 k2 x1 x2(1 k2)( x1 x2)2 4x1x2 求得，也可以利用椭圆定义及余弦定理，还可以利用焦点半径来求解： (法 1)利用直线与椭圆相交的弦长公式求解AB1 k2 x1 x2k 2 )( x1 x2)2 4x1x2 因为 a 6，b 3，所以 c 3 3因为焦点在 x 轴上，22所以椭圆方程为 x y 1 ，36 9左焦点 F( 3 3 , 0) ，从

8、而直线方程为 y 3x 9由直线方程与椭圆方程联立得：13x2 72 3x 36 8 0 设 x1， x2 为方程两根，所以x1 x272 3 ，13 ，x1x236 8， k3，13从而 AB 1k2 x1x2(1 k2 )(x1 x2)24x1x24813(法 2)利用椭圆的定义及余弦定理求解由题意可知椭圆方程为22 xy 36 91 ，设 AF1 m，BF1n，则 AF212 m ，BF212 n 在 AF1F2 中， AF2AF12F1F2 2AF1 F1F2 cos ，即 (12 m)2 m233 / 9136 3 2 m 6 3 12；所以 m643同理在BF1F2 中，用余弦定理

9、得 n4 6 3，所以48 mn13y( 或 x )，得到关于 x ( 或 y)的一元二次方程，再由根与系数的关系，直接求出x1 x2 ， x1x2(或 y1y2 ， y1y2 )的值代入计算即得22例题 5、已知 P(4,2)是直线 l被椭圆 3x6 y9 1所截得的线段的中点，求直线 l的方程分析：本题考查直线与椭圆的位置关系问题通常将直线方程与椭圆方程联立消去并不需要求出直线与椭圆的交点坐标，这种“设而不求”的方法，在解析几何中是经常采用的解：方法一：设所求直线方程为 y 2 k(x 4) 代入椭圆方程，整理得2 2 2(4k2 1)x2 8k(4k 2)x 4(4k 2)2 36 0

10、设直线与椭圆的交点为 A(x1,y1)，B(x2,y2)，则 x1 、 x2是的两根， x1 x28k(4k 2)4k2 P(4,2)为 AB中点， 42x1 x2 4k(4k 2) ，k4k2 11所求直线方程为2x 2y方法二：设直线与椭圆交点 A(x1,y1)，B(x2,y2) P(4 , 2)为AB中点， x1x2 8 ，y1y2 4 2 2 2 2又 A ， B在椭圆上，x124y1236，x224y2236两式相减得 (x122x2 )4(y12y22)0，即 (x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0y1y2(x1x2)x1 x2 4(y1 y2 )1直线方程为 x22

11、y 8 0 方法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(x, y) ，另一个交点 B(8 x,4y) A、 B在椭圆上， x2 4y2 36。(8x)224(4 y)236从而 A， B在方程的图形 x 2y8 0 上，而过A、B 的直线只有条，直线方程为 x 2y 8 0 说明：直线与圆锥曲线的位置关系是重点考查的解析几何问题，设而不求”的方法是处理此类问题的有效方法若已知焦点是 (3 3 ,0)、( 3 3 , 0)的椭圆截直线 x 2y 80 所得弦中点的横坐标是 4，则如何求椭圆方程？22例题 6、已知椭圆 4x2 y2 1及直线 y x m 1)当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？2

12、)若直线被椭圆截得的弦长为 2 10 ，求直线的方程5解：( 1)把直线方程 y x m 代入椭圆方程4x24x2 x m 2 1 ，即 5x2 2mx m2 1 0 2m 2 4m2 116m2 20 0 ，解得522）设直线与椭圆的两个交点的横坐标为x1， x2 ，由（ 1）得 x1 x22m5x1x2m2 15根据弦长公式得1222mm2 14552 10 解得 m 0方程为 y x 5说明：处理有关直线与椭圆的位置关系问题及有关弦长问题，采用的方法与处理直线和圆的有所区别这里解决 直线与椭圆的交点问题，一般考虑判别式 ；解决弦长问题，一般应用弦长公式用弦长公式，若能合理运用韦 达定理（

13、即根与系数的关系） ，可大大简化运算过程例题 7、 已知椭圆的中心在坐标原点 O，焦点在坐标轴上，直线 y=x+1 与该椭圆交于 P和Q，且 OPOQ，|PQ|= 10 ，求椭圆方程2【解前点津】 由题设条件，不能确定焦点是在x轴，还是在 y 轴上，且对于 a、b、c 的关系条件未作定性说明，故可设椭圆方程为： mx2+ny2=1（m0， n0）简便 .【规范解答】 设椭圆方程为： mx2+ny2=1（m0，n0），设 P（x1， y1）， Q（x2，y2） ，y x 12x1x2+(x1+x2)+1=0，由 2 2 中消去 y 并依 x 聚项整理得： (m+n)x2+2nx+(n-1)=0

14、，=4n2-4(m+n)(n-1)0，即 m+n-mn0， mx2 ny2 12(n 1)2n 1 0 m n 2 mnmnOP OQ 等价于x1x2+y1y2=0，将 y1=x1+1，y2=x2+1 代入得：又|PQ|=(x1x2)2(y1y2)2(x1x2)2(x11)(x21)2 利用上述条件建立 m 的不等式即可求得 m 的取值范围x2)22? (x1x2)2 4x1x22nmn4n1mn102联立并解之得：12或323212经检验这两组解都满足 0，故所求椭圆方程为 x2+3y2=2 或 3x2+y2=2.【解后归纳】 中心在原点，焦点在坐标轴上的椭圆方程可用统一形式：mx2+ny2

15、=1（m0，n0），m与 n 的大小关系，决定了焦点位置 .三，对称问题2 x 例题 8 、已知椭圆 C：42y 1，试确定 m 的取值范围，使得对于直线3l ： y 4x m ，椭圆 C 上有不同的两点关于该直线对称分析：若设椭圆上A， B两点关于直线 l 对称，则已知条件等价于：（1）直线 AB l ；（2）弦 AB的中点 M 在l 上解： (法1)设椭圆上 A( x1 , y1) ， B(x2 , y2)两点关于直线 l对称，直线 AB与l交于 M(x0,y0)点1 l 的斜率 kl 4 ，设直线 AB 的方程为 y x42213x2 8nx 16n2 48 0 。 x1 x21 2 1

16、34n 12n即点 M 的坐标为 (4n , 12n ) 点 M 在直线 y 4x13 13n由方程组y4x n,消去 y 得2x2 y1,43x1x24n112n于是 x0， y0x0n2130 4 0134n13m 上，n4m 解得 nm134将式代入式得 13x2 26mx 169m2 48 0 A， B是椭圆上的两点，(26m)2 4 13(169m2 48) 0 解得2 13 2 13m13 1313413m， x0(m)4134113(m)m3m ，即44(法 2)同解法 1 得出 n1 13 y0x0m0 4 0 4m，M 点坐标为 ( m, 3m) ( A ， B为椭圆上的两点

17、， M 点在椭圆的内部，m)2( 3m)21解得2 132 131313(法3)设 A(x1, y1) ， B(x2 , y2 )是椭圆上关于 l对称的两点，直线AB与l的交点 M 的坐标为 (x0, y0) A， B在椭圆上，2 2 2 x1 y1 1 ， x2 ，32y2 1 3两式相减得 3(x1 x2)(x1x2 ) 4(y1y2)(y1 y2) 0，即 3 2x0 (x1 x2) 42y0(y1y2)y1 y2 x1 x243xy00 (x1 x2)又直线 AB l ，1，3x0 44y01，即 y0 3x0 。又M 点在直线 l上， y0 4x0 m。由，得 M 点的坐标为 ( m

18、,3m) 以下同解法 2.说明：涉及椭圆上两点 A， B关于直线 l 恒对称，求有关参数的取值范围问题，可以采用列参数满足的不等式：(1)利用直线 AB 与椭圆恒有两个交点，通过直线方程与椭圆方程组成的方程组，消元后得到的一元二次方程的判 别式 0 ，建立参数方程221，将 x0 ， y0 利用参数表示，建立参数不等式(2)利用弦 AB 的中点 M (x0 , y0) 在椭圆内部，满足 x0y0ab四，最值问题例题 9 、 设椭圆的中心是坐标原点，长轴在x 轴上，离心率 e= 3，已知点 P(0， 3 )到这个椭圆上的点的22最远距离是，求这个椭圆的方程解前点津】 由条件，可将椭圆标准方程用含

19、一个参数的形式表示，将“最远距离”转化为二次函数的最值规范解答】22由 e= 3 可推出 a=2b，于是可设椭圆方程为：x 2 y2 1，即有 x2=4b2-4y2.2 4b2 b21设 M(x，y)是椭圆上任意一点，且 -byb，|PM|2=-3(y+ )2+4b2+3，由于 y -b，b，于是转化为在闭区间2 -b， b，求二次函数的最值 .1当 b 时，2993y=-b， |PM |2 有最大值 b2+3b+ ，令 b2+3b+ =( 7 )2，解得 b= 7 -4422 2，舍去 .1当 b 时，21取 y=- 知|PM|2有最大值 4b2+3，令 4b2+3=( 7 )2解得： b=

20、1，22a=2 ，故所求方程为： x4【解后归纳】 的.这是一道解析几何与函数的综合题，其知识的交汇点及“等价转化”的数学思想，是必须“关注”2 x 例题 10 、 设椭圆方程为42y1，过原点且倾斜角为和 - (0 )的两条直线分别交椭圆于82A、C和B 、D 两点 .(1) 用表示四边形 ABCD 的面积；(2) 当(0 ，)时，求 S的最大值 .4【解前点津】 设直线方程为 y=xtan，利用椭圆图形的“对称性” ，易用表示 S，然后运用函数的知识，求 面积 S 的最大值 .22规 范解 答】 (1)设 经过原 点且倾 斜角 为的 直线 方 程为 ：y=x tan ，代 入 x y 1求

21、 得： 48x=324tan232 tan 28 4tan2，由对称性知四边形ABCD 为矩形，又由于 0 ，所以四边形 ABCD 的2(2) 当 0 时，40tan 1，设 t=tan，则 S=32t2 t2322 (0b0 与直线 x y1交于 P 、 Q 两点，且OP OQ，其中 O 为坐标原点 .解析 ：y12x2ax1x2(2)设 P(x1,y1),P(x2, y2)，由 OP OQ1 x1 , y2 1 x2 ,代入上式得： 2 x1 x2 2y 2 2 2 22 1 (a b )x 2a xb2a 2(1 b2 )a (1 b ) 代入化简得 12ab22ab22c2a(1(x1b2)2.12a 2 1b22a5412523、设 F1 、F2分别是椭圆e满足 3 e 2 ， 32 x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 又将 y求椭圆长轴的取值范围x2 ) 1 00，0,x1 x21 x 代入2a2 ,b2,a21 b2 2 ,又由(2 a2 36 ，长轴 2 a21 的左、右焦点 .1）知 b