经济数学极值的几何应用PPT学习教案

1、会计学1经济数学极值的几何应用经济数学极值的几何应用ESC 3.2 极值的几何应用极值的几何应用 极值极值1. 函数的极值是仅就函数函数的极值是仅就函数 有定义的区间内有定义的区间内某某一点一点 的邻近的邻近,即在局部范即在局部范围内比较函数值的大小围内比较函数值的大小,故故2.一个函数在一个区间上一个函数在一个区间上可以有几个极大值和极小可以有几个极大值和极小值值.3.极值只能在区间内部取极值只能在区间内部取得得. )(xfy 0 x.极小极大yy1. 而函数的最值是函数而函数的最值是函数 在所考察的区间在所考察的区间上比较函数值的大小上比较函数值的大小,故故必有必有2.一个函数在一个区间上

2、一个函数在一个区间上只能有一个最大值和最只能有一个最大值和最小值小值.3.最值可在区间内部取得最值可在区间内部取得,也可在区间端点处取得也可在区间端点处取得. )(xfy .maxminyy 区别区别 最值最值 若在区间内部求函数的最值若在区间内部求函数的最值,则只能在函数的极值中寻找则只能在函数的极值中寻找.特别是在解极值应用问题时特别是在解极值应用问题时,常常是下述情况常常是下述情况: 联系联系 第1页/共10页 3.2 极值的几何应用极值的几何应用 y0 xbaxO 若函数若函数 在区间在区间 内仅内仅有一个极大值而没有极小值有一个极大值而没有极小值,则该极大值就是函数在该区间则该极大值

3、就是函数在该区间内的最大值内的最大值.)(xfI 若函数若函数 在区间在区间 内仅内仅有一个极小值而没有极大值有一个极小值而没有极大值,则该极小值就是函数在该区间则该极小值就是函数在该区间内的最小值内的最小值.)(xfI)(xfy 0 xbyaxO)(xfy 极大值极大值 最大值最大值 极小值极小值 最小值最小值 ESC)(0 xf)(0 xf第2页/共10页ESC(1)分析问题分析问题, 建立目标函数建立目标函数: 解最大值与最小值实际应用问题的程序解最大值与最小值实际应用问题的程序 3.2 极值的几何应用极值的几何应用 (3)作出结论作出结论: : 按实际问题按实际问题 的要求给出的要求给

4、出 结论结论. 在充分理解题意的基础上在充分理解题意的基础上,设出自变量与因变量设出自变量与因变量.一般地一般地,是把是把问题的目标问题的目标,即要求的量作为因变量即要求的量作为因变量,把它所依赖的量作为自变把它所依赖的量作为自变量量,建立二者的函数关系建立二者的函数关系,即目标函数即目标函数,并确定该函数的定义域并确定该函数的定义域; (2)解极值问题解极值问题: : 应用极值知识应用极值知识, ,求目标函数的求目标函数的 最大值或最小值最大值或最小值 ; 第3页/共10页 3.2 极值的几何应用极值的几何应用 ESC案案 例例一块边长为一块边长为24cm的正方形纸板的正方形纸板,四角各截去

5、一个四角各截去一个大小相同的小正方形大小相同的小正方形,然后将四边折起做一个无盖然后将四边折起做一个无盖的方盒的方盒.问截掉的小正方形边长为多少时时问截掉的小正方形边长为多少时时,能得能得到一个容积最大的方盒到一个容积最大的方盒? 最大容积是多少最大容积是多少? 24xx 该案例是在资源一定的情况下该案例是在资源一定的情况下,即纸即纸板的大小给定板的大小给定,要求效益最佳的问题要求效益最佳的问题,即要使即要使方盒的容积最大方盒的容积最大. 解案例解案例 (1) 分析问题分析问题,建立目标函数建立目标函数 按题目的要求按题目的要求,在纸板大小给定的条件下在纸板大小给定的条件下,要使方盒的容积最大

6、是我们的目标要使方盒的容积最大是我们的目标.而方盒而方盒的容积依赖于截掉的小正方形的边长的容积依赖于截掉的小正方形的边长.这样这样,目标函数就是方盒的容积与截掉的小正方目标函数就是方盒的容积与截掉的小正方形边长之间的函数关系形边长之间的函数关系. 第4页/共10页 3.2 极值的几何应用极值的几何应用 ESC24xx解案例解案例 (1) 分析问题分析问题,建立目标函数建立目标函数 设截掉的小正方形的边长为设截掉的小正方形的边长为 ,则方盒底的边长为则方盒底的边长为 x,224x,)224(2xxV).12, 0(x(2) 解极大值问题解极大值问题 确定的取值确定的取值,以使方盒的容积取最大值以

7、使方盒的容积取最大值. )224(4)224(dd2xxxxV).624)(224(xx令令 , 得驻点得驻点 和和 0ddxV4x12x(舍舍).由此知由此知,截掉的小正方形的边长最长为截掉的小正方形的边长最长为12cm.若以若以 表示方盒表示方盒的容积的容积,则则 与与 的函数关系为的函数关系为 VVx第5页/共10页 3.2 极值的几何应用极值的几何应用 ESC解案例解案例 (续续) (2) 解极大值问题解极大值问题xVdd).624)(224(xx因为当因为当 时时, )4 , 0(x, 0ddxV所以所以 是极大值点是极大值点. 4x 由于在区间内部只有一个极值点且是极大值点由于在区

8、间内部只有一个极值点且是极大值点,这也就是取这也就是取最大值的点最大值的点.(3)结论结论 当截掉的小正方形边长当截掉的小正方形边长 cm时时,方盒容积方盒容积 最大最大,最大最大容积为容积为4xV1024)4224(42V(cm3)., 0ddxV当当 时时, )12, 4(x第6页/共10页ESC解解练习练习 3.2 极值的几何应用极值的几何应用 这是容积一定这是容积一定,要求用料最省要求用料最省,即在效益一定的情况下即在效益一定的情况下,要求要求所消耗的资源最少的问题所消耗的资源最少的问题.hr(1) 分析问题分析问题,建立目标函数建立目标函数 贮油桶的容积一定贮油桶的容积一定,要求用料

9、最省要求用料最省,这实际这实际上就是以圆柱形贮油桶表面积最小为目标上就是以圆柱形贮油桶表面积最小为目标. 而圆柱形的表面积依赖于底半径和侧面高度而圆柱形的表面积依赖于底半径和侧面高度.由于圆柱形贮油桶的体积由于圆柱形贮油桶的体积(容积容积)已知已知,则侧面则侧面高度可用底半径来表示高度可用底半径来表示:设圆柱形贮油桶的底半径为设圆柱形贮油桶的底半径为 ,其侧面高度为其侧面高度为 ,则由则由 rhhrV2即即hr254 要设计一个容积为要设计一个容积为54 m3的有盖圆柱形贮油桶的有盖圆柱形贮油桶,问底半问底半径为多少时径为多少时,用料最省用料最省? 得得.542rh 第7页/共10页ESC解练

10、习解练习(续续) 3.2 极值的几何应用极值的几何应用 hr,1082rhr因贮油桶的上盖和下底面积都是因贮油桶的上盖和下底面积都是 , 侧面积是侧面积是2r若以若以 表示贮油桶的表面积表示贮油桶的表面积,则目标函数为则目标函数为 ArhrA222,10822rr )., 0 ( r(2) 解极小值问题解极小值问题因因.)1084(1084dd232rrrrrA由由得驻点得驻点0ddrA. 3r第8页/共10页ESC解练习解练习(续续) 3.2 极值的几何应用极值的几何应用 (2).)1084(1084dd232rrrrrA由由得驻点得驻点0ddrA. 3r又又,当当 时时, ) 3 , 0 (r, 0ddrA 由于在区间由于在区间 内只有一个极值