《结构力学》_第4章_2014-1

1、1、推导结构位移计算一般公式的基本思路、推导结构位移计算一般公式的基本思路 讨论静定结构由于支座移动引起的位移计算讨论静定结构由于支座移动引起的位移计算 应用刚体体系虚力原理（虚功原理的另一种应用应用刚体体系虚力原理（虚功原理的另一种应用 虚虚设力系设力系求刚体求刚体体系位移）导出其位移计算公式。体系位移）导出其位移计算公式。 讨论静定结构由于局部变形引起的位移计算讨论静定结构由于局部变形引起的位移计算 结构中结构中某个微段某个微段产生拉伸、剪切、弯曲变形而引起位移，其他部分没有产生拉伸、剪切、弯曲变形而引起位移，其他部分没有变形，仍为刚体。仍可应用刚体体系虚力原理导出其位移计算公式。变形，仍

2、为刚体。仍可应用刚体体系虚力原理导出其位移计算公式。 讨论静定结构由于整体变形引起的位移计算讨论静定结构由于整体变形引起的位移计算 应用第二步导出的结构中局部变形引起的位移计算公式，再应用应用第二步导出的结构中局部变形引起的位移计算公式，再应用叠加叠加原原理（某微段产生变形而引起位移进行积分），即可得到理（某微段产生变形而引起位移进行积分），即可得到 结构由于整体变形引结构由于整体变形引起的位移计算公式起的位移计算公式。 2、结构位移计算概述、结构位移计算概述计算位移的目的：计算位移的目的： 验算结构的刚度。验算结构的刚度。 为超静定结构内力分析打基础。为超静定结构内力分析打基础。产生位移的原

3、因：产生位移的原因：cc1t12tt 温度变化材料胀缩；温度变化材料胀缩； 支座沉降、制造误差。支座沉降、制造误差。 荷载作用。荷载作用。结构的位移与内部应变：结构的位移与内部应变：BHBVAB无应变无应变无应变无应变有应变有应变位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便。位移计算虽是几何问题，但是用虚功原理解决最方便。1c?3、虚力原理、虚力原理已知已知 ，求：求：。1c虚功方程虚功方程设虚力状态设虚力状态1110RRbFabFa 1110RFc1cab 虚设力系求刚体体系位移虚设力系求刚体体系位移1ABC abABC1RF小结：小结： 形式是虚功方程，实质是几何方程；形式是虚功方程，实

4、质是几何方程； 在拟求位移方向虚设一单位力（单位荷载），利用平衡条件求在拟求位移方向虚设一单位力（单位荷载），利用平衡条件求 出与已知位移出与已知位移 相应的支座反力。相应的支座反力。构造一个平衡力系构造一个平衡力系； 特点是用静力平衡条件解决几何问题。特点是用静力平衡条件解决几何问题。4、支座移动时静定结构的位移计算、支座移动时静定结构的位移计算静定结构由于支座移动不会产生内力和变形静定结构由于支座移动不会产生内力和变形。代入代入得到得到支座移动时的位移计算公式支座移动时的位移计算公式：icRKKFC 10RkkF C C点的竖向位移点的竖向位移c 杆杆CD的转角的转角已知位移已知位移 ，求

5、：，求：Acc1(1) 103cDc Acc31l23l3lABCDAc111(2) 102AclAcl 21ABCDABCD3134l2l 21l 23ab 1 1 1 11()RkkaFcahh 沿所求位移方向加单位力，求出虚反力；沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； 代入公式代入公式 解得，解得，RkkFc 根据正负号定出方向。根据正负号定出方向。求解步骤：求解步骤：所得负号表明位移方向与假设的单位力方向相反。所得负号表明位移方向与假设的单位力方向相反。ABhllDECABDEC练习练习4-1：三铰刚架三铰刚架B支座发生移动如图示，求铰支座发生移动如图示，求铰C两侧杆端的相对转角两侧杆端

6、的相对转角。1h1h00BA( c )推导位移计算公式的两种途径推导位移计算公式的两种途径 由变形体虚功原理来推导；由变形体虚功原理来推导；由刚体虚功原理来推导由刚体虚功原理来推导局部到整体局部到整体。1、局部变形时、局部变形时静定结构静定结构的位移计算的位移计算 在在静定结构静定结构局部变形所引起的位移。在杆件中取微段局部变形所引起的位移。在杆件中取微段d s设为变形体，分设为变形体，分析局部变形所引起的位移。析局部变形所引起的位移。dAm1iiaMsin1虚功方程：虚功方程：10mM d mM d例例1：悬臂梁在截面悬臂梁在截面 B 处由于某种原因产生相对转角处由于某种原因产生相对转角 d

7、 （图（图a示），试求示），试求 A 点点在在 i i 方向的位移方向的位移 。m由平衡条件：由平衡条件：mM 解：解：图图 ( a ) 中实际位移状态可改用图中实际位移状态可改用图 ( b )来表示。在来表示。在 B 处加铰，把实际位移表示处加铰，把实际位移表示为刚体体系的位移状态。为刚体体系的位移状态。Baa( a ) 为求未知位移，虚设力系如图为求未知位移，虚设力系如图 ( c ) 示。示。在在A点沿拟求位移方向虚设单位荷载，在点沿拟求位移方向虚设单位荷载，在铰铰B处还必须虚设一对弯矩。处还必须虚设一对弯矩。AB( b )dBAiiBAdQ1AQFsin101dFQQdFQQ例例2、悬臂

8、梁在截面悬臂梁在截面B处由于某种原因处由于某种原因产生相对剪位移产生相对剪位移d ，试求试求A点在点在 i i方向的位移方向的位移 。Q例例3、悬臂梁在截面悬臂梁在截面B 处由于某种原因处由于某种原因产生轴向位移产生轴向位移d , 试求试求A点在点在i i 方向方向的位移的位移 。NBABAiiNNBANFNFdcos1NF虚功方程：虚功方程：01dFNNdFNN虚功方程：虚功方程： 当截面当截面B同时产生三种相对位移时，在同时产生三种相对位移时，在 i i 方向所产生的位移方向所产生的位移 ，即是三，即是三者的叠加，有：者的叠加，有：dFdFdMNQNQMQ12、局部变形时的位移公式、局部变

9、形时的位移公式基本思路：基本思路：dsdddRii ddsddsdRdsR1 三种变形：三种变形：在刚性杆中，取微段在刚性杆中，取微段 ds 设为变形体，分析局部变形所引起的位移。设为变形体，分析局部变形所引起的位移。dsRdsddsddsd 微段两端相对位移：微段两端相对位移： 1QNFFM,续基本思路：设续基本思路：设,0ds 微段的变形以截面微段的变形以截面 B 左右两端的相对位移的形式出左右两端的相对位移的形式出现，现，即刚体位移即刚体位移，于是可以利用刚体虚功原理求位移。，于是可以利用刚体虚功原理求位移。 应用刚体虚功原理求位移应用刚体虚功原理求位移 d 即前例的结论。即前例的结论。

10、dFdFdMdQNQNMd3、结构位移计算的一般公式、结构位移计算的一般公式iidsFFMdQN)(一根杆件各个微段变形引起的位移总和：一根杆件各个微段变形引起的位移总和：dsFFMdQN)(如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：如果结构由多个杆件组成，则整个结构变形引起某点的位移为：dsFFMQN)(若结构的支座还有位移，则总的位移为：若结构的支座还有位移，则总的位移为：kRkQNCFdsFFM)(dFdFdMdQN或或dsFFMdQN)(kRkQNCFdsFFM)(适用范围与特点：适用范围与特点： 形式上是虚功方程，实质是几何方程。形式上是虚功方程，实质是几何方程。关于公

11、式普遍性的讨论：关于公式普遍性的讨论： 变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 变形原因：荷载与非荷载变形原因：荷载与非荷载。 结构类型：各种杆件结构。结构类型：各种杆件结构。 材料种类：各种变形固体材料。材料种类：各种变形固体材料。 适于小变形，可用叠加原理。适于小变形，可用叠加原理。dsFFMCFQNkRk)(1 变形体虚功原理：变形体虚功原理：设变形体系在力系作用下处于平衡（力状态），而该设变形体系在力系作用下处于平衡（力状态），而该变形体系由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形变形体系由于其他原因产生符合约束条件的微小连续变形 （位移状态）

12、，则（位移状态），则力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功力状态的外力在位移状态的位移上所作的虚功 W ，恒等于力状态的内力在位，恒等于力状态的内力在位移状态的变形上所作的虚功移状态的变形上所作的虚功，即内力虚功，即内力虚功简写为简写为iWW 外力虚功等于内力虚功外力虚功等于内力虚功4、结构位移计算的一般步骤、结构位移计算的一般步骤: 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力；建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； 求虚力状态下的内力及反力求虚力状态下的内力及反力 表达式表达式; ;,NQRMFFF 用位移公式计算所求位移，注意正负号用位移公式计算所求位移，注意正负号问问题。题。5、广义位移

13、的计算、广义位移的计算 作功的两方面因素：作功的两方面因素：力、位移力、位移。与。与力有关的因素，称为力有关的因素，称为 广义力广义力 F 。与位移。与位移有关的因素，称为有关的因素，称为广义位移广义位移。 广义力是一个力偶，广义力是一个力偶，则广义位移是则广义位移是它所作用的截面的转角它所作用的截面的转角。m 若广义力是等值、反向的一对力若广义力是等值、反向的一对力 F ，()ABABWFFFF FFttABBA与广义力相应的广义位移与广义力相应的广义位移为为AB 两点间距两点间距的改变，的改变， 即即AB 两点的相对位移。两点的相对位移。 若广义力是一对等值、反向的力偶若广义力是一对等值、

14、反向的力偶 m，()ABABWmmmm与广义力相应的广义位移与广义力相应的广义位移为为AB 两截面的相对转角。两截面的相对转角。ABmmAB 在荷载作用下建立在荷载作用下建立 的方程，可经由荷载的方程，可经由荷载内力内力应力应力应应变过程推导应变表达式。变过程推导应变表达式。,PNPQPMFF由上面的内力计算应变，其表达式由由上面的内力计算应变，其表达式由材料力学材料力学可知可知QPNPPFFMddxdxdudxdxdvdxkdxEIEAGA式中：式中：k 为截面形状系数为截面形状系数1.21091AA1 荷载作用下的位移计算公式：荷载作用下的位移计算公式：QNQPNPPF FF FMMdxd

15、xkdxEIEAGA 重点在于解决荷载作用下微段的变形重点在于解决荷载作用下微段的变形 的表达式。的表达式。,ddudvkRkQNCFdsFFM)(在K点沿所求位移方向设置一集中力 ，按此得到的力状态称为虚拟状态，用于计算实际位移 而设置的载荷 ，称为虚拟载荷或虚拟单位力。力状态（第一状状态（第一状态）态）KP实际状态（第二状态）实际状态（第二状态）KP1PK力状态（第一状态）力状态（第一状态）要求：计算K点位移 实际状态就是结构的位位移状态（第二状态）移状态（第二状态）。KP1 荷载作用下的位移计算公式：荷载作用下的位移计算公式：实际状态（第二状态）实际状态（第二状态）力状态（第一状态）力状

16、态（第一状态）内力虚功IEdsMdPPGAdsQkdsPPEAdsNduPP微段ds上，载荷P引起的内力 、 、 与变形的关系12PPPN duM dQdsW载荷PK引起的内力 、 、在载荷P引起的位移上所做的内力虚功为：MQNPNPMPQKPKPKPK121PT外力虚功1 荷载作用下的位移计算公式：荷载作用下的位移计算公式：位移计算公式1212WTKP12TGAdsQQkEdsMMEAdsNNPPPKPI 静定结构在外载荷作用下的位移计算公式，适用于直杆及曲率不大的曲杆组成的结构。当计算结果为正时，表示外力虚功为正，即所求位移的实际指向与假设的单位力的指向相同，为负则相反。12PPPN du

17、M dQdsW1 荷载作用下的位移计算公式：荷载作用下的位移计算公式： 桁架桁架NNNNPNPNPF FF FF F ldxdxEAEAEA 拱拱NNPPF FMMdsdsEIEA 2、各类结构的位移计算公式、各类结构的位移计算公式 梁与刚架梁与刚架dsEIMMP 在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故在梁和刚架中，由于轴向变形及剪切变形产生的位移可以忽略，故位移计算公式为：位移计算公式为： 在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。在高层建筑中，柱的轴力很大，故轴向变形对位移的影响不容忽略。对于深梁，即对于深梁，即h/l 较大的梁，剪切变形的影响不容忽略

18、。较大的梁，剪切变形的影响不容忽略。 组合结构组合结构 NNPPF F lMMdsEIEA 用于弯曲杆用于弯曲杆用于二力杆用于二力杆拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略。拱轴截面轴向变形的影响通常不能忽略。例例4-2 试求图示简支梁在均布荷载作用下跨中截面试求图示简支梁在均布荷载作用下跨中截面C的竖向位移的竖向位移（即挠度）（即挠度） CV。已知。已知EI=常数。常数。 解：解：(1)列写在实际荷载作用下的列写在实际荷载作用下的MP的表达式的表达式建立建立x坐标，如图坐标，如图6-9a所示。所示。当当0 xl时，有时，有)(22PxlxqMABCKqlxql/2ql/2ql2/8ABCKMP图图

19、)(22PxlxqM(2)列写在虚单位荷载作用下的的表达式列写在虚单位荷载作用下的的表达式根据拟求根据拟求 CV，在点，在点C加一加一竖向单位荷载，作为虚拟状竖向单位荷载，作为虚拟状态，如图所示。当态，如图所示。当0 xl/2时，时，有有 2xM AABBCCKKxl/2l/42xM 1/21/21M图图)(3845d)(2d)(2212d24203220220PVEIqlxxlxEIqxxlxqxEIxEIMMlllC计算结果为正，说明点计算结果为正，说明点C竖向位移的方向与虚拟单位竖向位移的方向与虚拟单位荷载的方向相同，即向下。荷载的方向相同，即向下。 (3)计算位移值计算位移值【例例4-

20、3】试求图示简支刚架点试求图示简支刚架点D的水平位移的水平位移 DH。已知。已知EI=常数。常数。 解：解： )(32d)(2d3P0P0PHEIlFxxFxEIxEIMMllDFPABCDllxxABCDFPlFPlFPxMP=FPxMP图图ABCD1xM1xM1图Mll例例4-4 试求图示简支曲梁点试求图示简支曲梁点A的水平位移的水平位移 AH。已知。已知EI=常数。常数。 解：解：(1)列写在实际荷载作用下的列写在实际荷载作用下的MP的表达式的表达式 当当0 xa时，时， xFlalMPP当当axl时，时， )(PPxlFlaM)(42xlxlfyAABBflal-aCDxyFPFPDK

21、1K2xxl-x(0 xa) (axl)xFlalMPP)(PPxlFlaMPFlaPFlal (2)列写在虚单位荷载作用下的的表达式列写在虚单位荷载作用下的的表达式当当0 xl时，时，)(42xlxlfyM(3)计算位移值计算位移值)()(3d)()(41d)(41d222PP20P20PHalaallEIlafFxxlFlaxlxlfEIxxFll-axlxlfEIxEIMMlaalAABxyyM1121AA例例4-5 试求图示体系中试求图示体系中A1与与A2截面水平相对错动的位截面水平相对错动的位移移 。已知。已知EI、EA、GA均为常数。均为常数。 解：解： (1)列写在实际荷载作用下

22、的列写在实际荷载作用下的MP、FN NP和和FQP的表达式的表达式sinPPRFMsinPNPFFcosPQPFFA1A2FPKdsOR d OR A1FPKMPFNPFQPsinsin1RRMcoscos1,sinsin1QNFFA1A21KdsOR d OR A11KMNFQF(2)列写在虚单位荷载作用下的列写在虚单位荷载作用下的 、 和和 的表达式的表达式MNFQF(3)计算位移值计算位移值223P02P02P022PQPQNPNP1dcos2dsin2dsin2dFdd21GAREIARIEIRFRFGARFEARRFEIsGAFsEAFFsEIMMAA为了比较弯矩、轴力及剪力对位移的

23、影响，设截面为圆形为了比较弯矩、轴力及剪力对位移的影响，设截面为圆形截面，截面，A=p pr2；r=R/10；m=10/9，E=2.5G；I= p pr4/4。代入。代入最后计算式，求得最后计算式，求得 1351400113P21EIRFAA223P121GAREIARIEIRFAA由此可见：轴向力及剪力对该位移的影响还不到弯矩由此可见：轴向力及剪力对该位移的影响还不到弯矩影响的影响的1%。因此，在计算位移时，可只考虑弯矩的。因此，在计算位移时，可只考虑弯矩的影响。影响。解：解：(1)计算在实际荷载作用下各杆的轴力计算在实际荷载作用下各杆的轴力FNP (2)在点在点A加水平单位荷载，求各杆的轴

24、力加水平单位荷载，求各杆的轴力 1NF(3)在点在点A加竖向单位荷载，求各杆的轴力加竖向单位荷载，求各杆的轴力 2NF例例4-6 试求图示桁架结点试求图示桁架结点A的水平位移的水平位移 AH及垂直位移及垂直位移 AV。 AFP-FPFPFPPF2aaA11A1112-1(4)计算位移值计算位移值 )()() 1(1PPNPN1HEAaFaFEAEAlFFA)()221 ()() 1(2221PPPNPN2VEAaFaFaFEAEAlFFAAFP-FPFPFPPF2aaA11A1112-1例例4-7 试求图示组合结构点试求图示组合结构点A的水平位移的水平位移 AH及竖向位移及竖向位移 AV。已知

25、已知EI、EA均为常数。均为常数。 解：解：(1)求实际荷载作用下梁式杆的求实际荷载作用下梁式杆的MP图和桁杆的图和桁杆的FNP ABCDFPaaaxEIEAEAFPABCDKFP2PF2PF2aFP2xFMPP(3)根据拟求位移根据拟求位移 AV，在点，在点A加竖向单位荷载，并求出梁式杆加竖向单位荷载，并求出梁式杆的的 图和桁杆的图和桁杆的 2NF2MABCDFPaaaxEIEAEAFPABCDKFP2PF2PF2aFP2xFMPPABCDKaa1112aM 1(2)根据拟求位移根据拟求位移 AH，在点，在点A加水平单位荷载，并求出梁式杆加水平单位荷载，并求出梁式杆的的 图和桁杆的图和桁杆的

26、 1NF1MABCDK12aaxaM21(4)计算位移值计算位移值)(242)2)()(2(d2)(1dP3PP0PNPN10P1HEAaFEIaFEAaFxxFaEIEAlFFxEIMMaADaA)(1225d2)(10d3P0P0P2VEIaFxxFxaEIxEIMMaaAFPABCDKFP2PF2PF2aFP2xFMPPABCDKaa1112aM 1ABCDK12aaxaM21 1、图乘法及其的应用条件、图乘法及其的应用条件梁与刚架梁与刚架的的位移计算公式（积分法）为：位移计算公式（积分法）为： PM MdxEI 等截面直杆，等截面直杆，EI =常数；常数； 两个弯矩图至少有一个是直线。

27、两个弯矩图至少有一个是直线。 图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图乘法是一种求积分的简化计算方法，它把求积分的运算转化为求几何图形的面积与竖标的乘积的运算。图形的面积与竖标的乘积的运算。MiMi = x tgxy0 x0Ay0 = x0 tgyxodA = Mk dx1BBikikAAM MdsM M dxEIEI11BBiAAM dAxtgdAEIEI1BAtgxdAEI01A yEI01A yEI 位移计算公式位移计算公式（图乘法）（图乘法） Mk图图Mi图图dxMkC01Ax tgEI应用图乘法计算的注意点：应用图乘法计算的注意点： y0 与与A 的取值：的取

28、值： y0 一定取自直线图形，一定取自直线图形，对应对应取取A 图形的形心处。图形的形心处。 A 则取则取自另一个图形自另一个图形，且取，且取A 的图形的形心位置是已知的。的图形的形心位置是已知的。 若若 y0 与与A 在杆轴或基线的在杆轴或基线的同一侧同一侧，则，则乘积乘积A y0 取正号取正号；若；若 y0 与与A 不在不在杆轴杆轴或基线的或基线的同一侧同一侧，则，则乘积乘积A y0 取负号取负号。2、几种常见图形的面积和形心的位置、几种常见图形的面积和形心的位置二次抛物线二次抛物线A = 2hl/3二次抛物线二次抛物线A = hl/3二次抛物线二次抛物线A = 2hl/3h三角形三角形A

29、 = hl/2顶点顶点顶点顶点顶点顶点hhl/2l/2h2l/3l/33l/4l/45l/83l/8例例4：试求图示刚度为试求图示刚度为 EI 的简支梁的简支梁 B 端截面的角位移。端截面的角位移。qBAlCBA2l解：解： 画出两种状态的弯矩图。画出两种状态的弯矩图。 图乘计算图乘计算 ：B23121()382BqllEIqlEI 28ql1121PMMlAB1ABq34llAB212ql例例5-8：试求图示刚度为试求图示刚度为 EI 的悬臂梁的悬臂梁 A端的竖向位移。端的竖向位移。解：解： 画出两种状态的弯矩图。画出两种状态的弯矩图。 图乘计算图乘计算 ：AV241133248AVqlll

30、EIqlEI PMMABPMABMcdMABCD 如果两个如果两个图形都是直线图形，则图形都是直线图形，则 y0 可取自其中任一图形可取自其中任一图形。3、应用图乘法时的几个具体问题、应用图乘法时的几个具体问题 如果如果EI 分段为常数分段为常数或或取取 y0 的图形为折线的图形为折线时，时，应分段图乘再叠加。应分段图乘再叠加。 如果如果图形比较复杂图形比较复杂，则可将其，则可将其分解为几个简单图形分解为几个简单图形，分项图乘计算后分项图乘计算后再进行叠加。再进行叠加。ABCDPM12133ycd22133ydcl/3l/3l/3y2y1abA1A2A1A2A3y1y2y30112233AyA

31、 yA yA yA2A1y1y201122AyA yA y非标准抛物线图形非标准抛物线图形311 393248aFaaFaEIEI 32()231323()2 24224Fa aaEIaaaFaFaEIFaFa？练习练习4-1：试求图示刚度为试求图示刚度为 EI 的简支梁的简支梁 中点中点C的竖向位移。的竖向位移。aaaFFCBACBA2l134aPMMFF2a2a3a211()()23 2CVFllEI练习练习4-2：求图示悬臂梁求图示悬臂梁C点的挠度。点的挠度。1？FPMMCAB2l2lFlABC2l56Fl312FlEI115()2 2 26CVllFlEI 3548FlEI1611ly

32、1y2y3A1A2A3例例4-5：求图示刚度均为求图示刚度均为 EI 的刚架结点的刚架结点 B 的水平位移。只考虑弯曲变形影响。的水平位移。只考虑弯曲变形影响。qllABC22ql22ql2ql23121224qlqlAlA 1223lyy23323812qlqlAl 32ly 1122331()BHA yA yA yEI224123()2()431228qllqllqlEIEIPMM28qll练习练习4-3：预应力钢筋混凝土墙板单点起吊的计算简图。已知：预应力钢筋混凝土墙板单点起吊的计算简图。已知：q = 625N/m, EI = 3.6465 104 N m2 。求。求C点的挠度。点的挠度

33、。解：解：20010.8A1y1A3y3A2y211200 2.22202A 120.80.5333y 22378 2.25553A 210.80.42y 31200 0.853.33A 330.80.64y 31220 0.533555 0.453.3 0.63.64652 100.2( )mcm 1122331()CA yA yA yEI378q = 625 N/m2.2m0.8mABCPM（N m）M（m）41523234(8)(16)()(1)63343EI4013.333EIEI1练习练习4-5：试求图示简支梁试求图示简支梁 B 端截面的角位移。端截面的角位移。14 kN m4 kN

34、12 kN m4m4mEIAB2 kN/m5 kN（kN m）PM（m）My1A2y2A1A3y312112233441()BA yA yA yA yEIA4y414 482A121153326y 28 4162A212123323y 32324 433A 334y 4214812333y 4114122A 12841116 8642A 218 142A 112y 22120(412)333y 32324433A 3113(1)224y 81244（kN m）PMy2A2y1A3y311（m）M1216A111223311120323()( 644)233418013.33( 328)()3B

35、A yA yA yEIEIEIEI 互等定理适用于互等定理适用于线性变形体系线性变形体系，即体系产生的是，即体系产生的是小变形小变形，且杆件材料，且杆件材料服服从虎克定律从虎克定律。1、功的互等定理、功的互等定理功的互等功的互等本质上是虚功互等本质上是虚功互等。下图给出状态下图给出状态 I 和状态和状态 II 。QFPbFPaFMNF状态状态IIPbFPaF2PF1PF21ba2PF1PFQFMNF状态状态I120PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA MdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEAMdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEA

36、令状态令状态 I 的平衡力系在状态的平衡力系在状态 II 的位移上做虚功，得到：的位移上做虚功，得到：12abAB12abAB同样，令状态同样，令状态II的平衡力系在状态的平衡力系在状态I的位移上做虚功，得到：的位移上做虚功，得到：210PQNQQNNWFMdsFdsFdskF FF FM MdsdsdsEIGAEA 所以所以PPFF 即即1122PPPaaPbbFFFF 定理：定理：在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的在任一线性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所做的虚功虚功W12 等于等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的第二状态的外力在第一状态的位移

37、上所做的虚功虚功W21 。1221WW即即2、位移互等定理、位移互等定理定理：定理：在任一线性变形体系中，由荷载在任一线性变形体系中，由荷载FP1 引起的与荷载引起的与荷载FP2 相应的相应的位移影响位移影响系数系数21 等于等于由荷载由荷载FP2 引起的与荷载引起的与荷载FP1 相应的相应的位移影响系数位移影响系数12 。即即 12 =212PF1PFba状态状态I12abAB状态状态IIPbFPaF2112abABMdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEAMdsdsEI0QkFdsdsGANFdsdsEA212121PPFF由功的互等定理可得：由功的互等定理可得：在线性变形体系中，位移在线性变形体系中，位移ij 与力与力FPj 的比值是一个常数，记作的比值是一个常数，记作ij ，即：，即：i ji jP jF或或2112112212PPijPjijFFF于是于是21121221PPPPFFFF所以所以2112状态状态 II状态状态 I1PF2112AB2PFAB12111222说明：说明： FP1 和和FP2 可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的可以是集中力也可以是集中力偶，则相应的12 和和21 就是线位就是线位移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是移影响系数或角位移影响系数。即荷载可以是广义荷载广义荷载，而位移则是，而位移则是广义位