第一章yz方程推导与分类

1、数学物理方程数学物理方程教材及参考书目教材及参考书目 （3）姜礼尚，数学物理方程讲义，（1）王元明，管平，数学物理方程，（2）谷超豪等，数学物理方程，高等教育出版社，2005 （第二版）高等教育出版社，2007 （第三版）东南大学出版社， 1991.机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学和物理的关系数学和物理的关系 课程的主要内容课程的主要内容数学和物理密不可分，数学对于物理的影响是 数学物理方程的定义数学物理方程的定义 用微分方程来描述给定的物理现象和物理规律。三种方程、 四种求解方法、 二个特殊函数分离变量法行波法积分变换法格林函数法波动方程热传导方程位势方程贝塞尔函数勒让德函数深远的。

2、机动 目录 上页 下页 返回 结束 哈密尔顿算子或梯度算子，读作nabla ijkxyz 2222222zyx22222yuxuuuugradAAdivAArot拉普拉斯算子 微积分知识回顾微积分知识回顾与梯度算子有关的场论运算 平面上的拉普拉斯算子 常微分方程的求解：常见的一阶方程、可降阶高阶方程、二阶线性方程 傅里叶级数理论：傅里叶级数及其系数、正弦级数、余弦级数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 拉普拉斯方程： 热传导方程： 波动方程： 02 uuatu22uatu2222三类偏微分方程三类偏微分方程 两种特殊函数两种特殊函数 贝塞尔方程 0)(222 ynxyxyx勒让德方程 0)

3、1(2)1 (2 ynnyxyx)(xJn)(xPn琴弦的振动；杆、膜、液体、气体等的振动；电磁场的振荡等 热传导中的温度分布；流体的扩散、粘性液体的流动 空间的静电场分布；静磁场分布；稳定温度场分布 的解：贝塞尔函数 的解：勒让德函数 （位势方程的一种）机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、典型方程的推导一、典型方程的推导第一章第一章 方程的推导与分类方程的推导与分类三、定解条件与定解问题三、定解条件与定解问题四、二阶线性偏微分方程的分类和化简四、二阶线性偏微分方程的分类和化简 二、偏微分方程的基本概念二、偏微分方程的基本概念 机动 目录 上页 下页 返回 结束 常见数学物理方程的导出常见

4、数学物理方程的导出确定所要研究的物理量u，比如位移、场强、温度 根据物理规律建立微分方程 通过合理的数学近似对方程进行化简数学物理方程定解问题的提法数学物理方程定解问题的提法泛定方程（波动方程、热传导方程、拉 普拉斯方程）定解问题定解问题：定解条件（初始条件，边界条件）机动 目录 上页 下页 返回 结束 一一、典型方程的推导典型方程的推导条件：条件：均匀柔软的细弦，在平衡位置附近作微小横振动。不受外力影响。例例1 1、弦的振动、弦的振动研究对象：研究对象：线上某点在 t 时刻沿纵向的位移。( , )u x t机动 目录 上页 下页 返回 结束 弦振动的相关模拟弦振动的相关模拟机动 目录 上页

5、下页 返回 结束 简化假设：简化假设：(2)横向振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。(1)弦柔软，弦上任意一点的张力沿弦的切线方向。cos1cos1 gds M M ds x T y xdx x T 牛顿运动定律：牛顿运动定律：sinsinTTgdsma横向：coscosTT纵向：( , )sintan(d , )sintanu x txu xx tx其中：TT(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx其中：ddsx22( , )mdsu x tat在一平面内在一平面内机动 目录 上页 下页 返回 结束 22(d , )( , )( , )ddu xx tu x tu x t

6、Tg xxxxt22(d , )( , )( , )( , )ddu xx tu x tu x tu x txxxxxxx2222( , )( , )ddux tu x tTgxxxt其中：(d , )( , )u xx tu x tTgdsmaxx2222( , )( , )Tux tu x tgxt一维波动方程一维波动方程2Ta 令：令：-非齐次方程非齐次方程自由项gxuatu22222-齐次方程齐次方程忽略重力作用：22222xuatu机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2 2、热传导、热传导所要研究的物理量：所要研究的物理量：温度 ),(tzyxu根据热学中的傅里叶实验定律根据热学

7、中的傅里叶实验定律在dt时间内从dS流入V的热量为：从时刻t1到t2通过S 流入V的热量为 21 1 d dttSQk uSt 高斯公式（矢量散度的体积分等于21 21 d dttVQkuVt dd duQkS tnd dku nS t d dk uS t 热传导现象：热传导现象：当导热介质中各点的温度分布不均 匀时，有热量从高温处流向低温处。热场MSSVn该矢量的沿着该体积的面积分）机动 目录 上页 下页 返回 结束 21 21 d dttVQku V t ),(1tzyxu),(2tzyxu221( , , , )( , , , ) dVQcu x y z tu x y z tV21QQ

8、流入的热量导致V内的温度发生变化 2211 2 d dd dttttVVuku V tcV tt 2ukutcfuatu22流入的热量：温度发生变化需要的热量为：21 d dttVuct Vt21 d dttVucV tt 22au热传导方程热传导方程热场热场MSSVn如果物体内有热源，则温度满足非齐次热传导方程非齐次热传导方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 从麦克斯韦方程出发：从麦克斯韦方程出发：c0DHJtBEtDB 在自由空间：在自由空间：HBED00HEtHEtEHc0, 0J例例3 3、时变电磁场、时变电磁场H电场强度电场强度磁场强度磁场强度电感应强度电感应强度磁感应强度磁感应强

9、度DBE机动 目录 上页 下页 返回 结束 EJc00HEtHEtEH对第一方程两边取旋度，)(EtH根据矢量运算：2()HHH 2()HHtt222tHH由此得：得：即： 同理可得：2221EEt 电场的三维波动方程电场的三维波动方程222222221()HHHHtxyz 磁场的三维波动方程磁场的三维波动方程机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4、静电场、静电场电势 u 确定所要研究的物理量：确定所要研究的物理量：根据物理规律建立微分方程：Eu/ E)(uE/2 u02 u对方程进行化简：uu2/ 拉普拉斯方程拉普拉斯方程 泊松方程泊松方程 （位势方程）（位势方程）机动 目录 上页

10、下页 返回 结束 (有源有源)(无源无源)二、偏微分方程的基本概念二、偏微分方程的基本概念 定义：定义：一个含有多元未知函数及其偏导数的方程，称为偏微分方程。偏微分方程。一般形式：121 112,( , ,)0nnxxxx xF x xx u uuuu其中u为多元未知函数， F 是12,nxxxu有限个偏导数的已知函数。以及u的注意：注意：在偏微分方程中可以不含未知函数u ，但必须含有未知函数 u 的偏导数。机动 目录 上页 下页 返回 结束 定义：定义：偏微分方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数称为偏微分方程的阶。偏微分方程的阶。定义：定义：如果一个偏微分方程对于未知函数及其各阶偏导数都是一次

11、的，及其系数仅依赖于自变量，就称为线性偏微分方程。线性偏微分方程。0,uutx例如：（一阶线性）22,uauft（二阶线性）20uuutx（一阶非线性）330uuuutxx（三阶非线性）机动 目录 上页 下页 返回 结束 波动方程：2( , )ttxxua uf x t热传导方程：2( , )txxua uf x t位势方程：( , )0,( , )( , )0,xxyyf x yLaplaceuuf x yf x yPoisson方程方程二阶线性偏微分方程的一般形式：21,11( ,).nnijini jiijiuuabcuf xxx xx 其中 ，ijjiaa当 时，称方程为非齐次方程。非

12、齐次方程。当 时，称方程为齐次方程齐次方程0f 0f 机动 目录 上页 下页 返回 结束 L是线性偏微分算子线性偏微分算子，B是线性定解条件算子线性定解条件算子,.iiiiLufBug1,iiifc f1,iiiuc u叠加原理叠加原理 几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)特别地：,.LufBug1.iiigc g(级数收敛且可以逐 项所需要的微分)（级数收敛）0,0.iiLuBu0,0.LuBu1,iiiuc u机动 目录 上页 下页 返回 结束 古典解（经典解）：古典解（经典解）：设 是空间 的一个区域，如果 是在 中定义的足够光滑的函nR12(

13、 ,)nuu x xx数（例如 N 次连续可微），且将它代入方程能使其在 中恒等地成立，则称 u是方程在 中的一个经典意义下的解，称为古典解。古典解。广义解：广义解：有时为了研究问题的需要，还可用多种方法扩充解的概念，研究所谓广义解。广义解。机动 目录 上页 下页 返回 结束 三、定解条件与定解问题三、定解条件与定解问题同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。初始条件：初始条件：能够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件。其他条件：其他条件：能够用来说明某一具

14、体物理现象情况的条件。机动 目录 上页 下页 返回 结束 初始时刻的温度分布：B B、热传导方程的初始条件、热传导方程的初始条件 0(, )|()tu M tMC C、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件、泊松方程和拉普拉斯方程的初始条件不含初始条件，只含边界条件A A、 波动方程的初始条件波动方程的初始条件 0 0|( )( )ttuxuxt初始条件初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度机动 目录 上页 下页 返回 结束 边界条件边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况A A、 波动方程的边界条件波动方程的边界条件(1) 已知端点处的位移：（a=

15、0 或 a=l )( , )( )u a th t或：|( ),x auh t第一类边界条件当 时，表示弦线的端点固定。（经常采用）（经常采用）( )0h t (2) 已知端点处受到垂直于弦线的外力: (a=0 或 a=l )|( ), |( ) ,x ax auuTg tTg txx或|( ). 0 x auh ttx当( )0h t 时，表示端点不受到垂直于弦线的外力自由端自由端第二类边界条件机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)已知端点处的位移和受到垂直于弦线的外力的一( ), 0 x ax auTk ug ttx( )x auuh tx第三类边界条件个线性组合：（a=0 或 a=l

16、 )当( )0h t 时，表示端点固定在一个弹簧的支承上弹性支承端弹性支承端机动 目录 上页 下页 返回 结束 B B、热传导方程的边界条件、热传导方程的边界条件(1)已知温度在边界上的值|( , , , )suf x y z t(S为给定区域v 的边界)第一类边界条件当 时，表示物体表面恒温。.fconst(2) 已知物体通过边界的热量( , , , ),sukf x y z tnn是边界 的外法向，当 时，表示热量流入，0f 当 时，表示热0f 第二类边界条件量流出，当 时，表示边界绝热。0f （Dirichlet）（Neumann）机动 目录 上页 下页 返回 结束 (3)热交换状态：牛

17、顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单牛顿冷却定律：单位时间内从物体通过边界上单位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的位面积流到周围介质的热量跟物体表面和外面的温差成正比。温差成正比。11()d dd dudQk uuS tkS tn 1( , , , )SSuuuf x y z tn1kk第三类边界条件与周围介质有热交换1k交换系数；1u周围介质的温度，（Robin）机动 目录 上页 下页 返回 结束 C C、拉普拉斯方程的边界条件、拉普拉斯方程的边界条件: :与与 A A、 B B类似。类似。 当 时，称边界条件为为非齐次的。非齐次的。当 时，称边界条件为齐次的。齐次的。0f 0f

18、在边界条件表达式中机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1、定解问题、定解问题 把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个定解问题定解问题。2 2、定解问题的适定性、定解问题的适定性 解的稳定性解的稳定性：定解条件微小变动时，解是否有相应的(1)初始问题初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题(2)边值问题边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题(3)混合问题混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题解的存在性解的存在性：定解问题是否有解；解的唯一性解的唯一性：是否只有一解；微小变动。定解问题的概念定解问题的概念机动 目录 上页 下页 返回 结束

19、 四、二阶线性偏微分方程的分类和化简四、二阶线性偏微分方程的分类和化简 两个自变量的二阶线性偏微分方程一般形式：两个自变量的二阶线性偏微分方程一般形式：fcuububuauauayxyyxyxx212212112fcbbaaa,21221211其中，都是区域上的实函数，并假定它们是连续可微的。 (1.4.1)方程(1.4.1)的二阶导数项1112222xxxyyya ua ua u(1.4.2)称为它的主部。主部。现在研究在什么样的自变量变换下，方程的主部可以得到简化，111222,aaa不同时为零。并且称 为方程的判别式。为方程的判别式。2121122aa a 机动 目录 上页 下页 返回

20、结束 (一)设( x0 ,y0)是区域内一点，在该点的邻域内作下面的自变量变换( , ), ( , )x yx y(1.4.3) 在高等数学中，我们已经知道：如果上述变换二次连续可微，且雅可比行列式( , )( , )xyxxDJD x y (1.4.4)在(x0 , y0)点不为零，那么在点(x0 , y0)的邻域内，变换(1.4.3)是可逆的，即存在( , ), ( , )xxyy (1.4.5)机动 目录 上页 下页 返回 结束 也就是说，方程(1.4.1)可以采用新的自变量,，*111222122a ua ua ub ub uc uf(1.4.6)具体地用复合函数的求导法则具体地用复合

21、函数的求导法则 ,xxxuuu ,yyyuuu222 ,xxxxxxxxxxuuuuuu ()xyxyxyyxxyuuuu ,xyxyuu222 ,yyyyyyyyyyuuuuuu 于是得到：于是得到：机动 目录 上页 下页 返回 结束 *22111112222xxyyaaaa *12111222()xxxyyxyyaaaa *22221112222xxyyaaaa 注意到第一个和第三个等式形式完全相同，注意到第一个和第三个等式形式完全相同，因此，如果我们能选择到方程2211122220 xxyyaaa (1.4.7)的两个函数无关的解12( , ) , ( , ) ,x yx y将变换取为1

22、2( , ) , =( , ) ,x yx y 那么方程(1.4.6)的系数*112200aa；机动 目录 上页 下页 返回 结束 方程(1.4.7)的化为2111222()20, (0)xxyyyaaa因为沿着曲线 ，有( , )x yC( , )dd ,xydx yxyd ,dxyyx 代入（1.4.7)，得到即：22111222d2d dd0ayax yax(1.4. 8)事实上，若 是（1.4.7）的解，则( , )x y( , )x yC必定是（1.4.8）的解，反之亦然。机动 目录 上页 下页 返回 结束 称方程(1.4.8)为方程(1.4.1)的特征方程特征方程。而其积分曲线为方

23、程(1.4.1)的特征曲线。特征曲线。（ 为方程的判别式）为方程的判别式）2121122aa a 不难证明：*2*2*121122 , ()Jaa a 因此在(1.4.3）下， 的符号保持不变。 显然方程(1.4.8)可以分解为两个方程2121211221121212112211()dd()ddaaa ayxaaaa ayxa机动 目录 上页 下页 返回 结束 21211220 ,aa a 1）在(x0 , y0 )的邻域内积分曲线存在实12( , ) , ( , ) ,x yCx yC12, 并且线性无关。取变换12( , ) ,( , ) .x yx y那么方程(1.4.6)的系数*112

24、200aa；方程(1.4.6)可以化为uAuBuCuD(1.4.9), ,A B C D其中均为 的已知函数。, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 在(1.4.9)中再作自变量变换：1() ,21() .2stst那么方程(1.4.1)最终可以化为 1111t ts stsuuAuBuCuD(1.4.10)1111,A B C D其中 均为 的已知函数。, s t弦振动方程是(1.4.10)的特例：1110ABC机动 目录 上页 下页 返回 结束 21211220 ,aa a 2）在(x0 , y0 )的邻域内积分曲线存在实1( , ) ,x yC2并且线性无关。取变换12( , ) ,(

25、, ) .x yx y那么方程(1.4.6)的系数*110,a 于是方程(1.4.6)可以化为uAuBuCuD(1.4.11), ,A B C D其中均为 的已知函数。, 其中与1*0, 从而*120,a( 此时 )*220a机动 目录 上页 下页 返回 结束 在(1.4.11)中再作函数变换：0 1exp( , )d,2vuB 那么方程(1.4.1)最终可以化为(1.4.12)111,A C D其中 均为 的已知函数。, 热传导方程是(1.4.12)的特例： 111, 0AC 111vA vC vD机动 目录 上页 下页 返回 结束 21211220 ,aa a 3）在(x0 , y0 )的

26、邻域内解，但有共轭复数解方程无实12( , )( , )( , ).x yx yix yC取变换（容易证明此变换可逆）12( , ) ,( , ) .x yx y那么方程(1.4.6)的系数*1122120, 0aaa方程(1.4.1)可以化为uuAuBuCuD(1.4.13), ,A B C D其中均为 的已知函数。, 拉普拉斯方程是(1.4.12)的特例：0ABCD机动 目录 上页 下页 返回 结束 (二)由前面的讨论可知，方程(1.4.1)通过自变量的可逆变换化为那一种标准形式，决定于它的主部系数111222 , , ,aaa若在区域中某一点(x0，y0)满足：, 02211212aaa则称方程在点(x0，y0)是双曲型的双曲型的. ., 02211212aaa则称方