第2课时椭圆方程及性质的应用

1、第2课时 椭圆方程及性质的应用 标准方程标准方程范围范围对称性对称性顶点坐标顶点坐标焦点坐标焦点坐标半轴长半轴长离心率离心率22221(0)xyabab|x| a,|y| b关于关于x x轴、轴、y y轴成轴对称；关于原点成轴成轴对称；关于原点成中心对称中心对称(a,0)，(-a,0)，(0,b)，(0,-b)(c,0)，(-c,0)长半轴长为长半轴长为a a, ,短半轴长为短半轴长为b. b. ababcea 椭椭 圆圆 的几的几 何何 性性 质质xoy1.1. 会根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程会根据椭圆的几何性质求椭圆的标准方程. .（重点）（重点）2.2.利用椭圆性质解决一些实际问题

2、利用椭圆性质解决一些实际问题. . ( (重点）重点）3.3.掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系掌握点与椭圆、直线与椭圆的位置关系. .（难点）（难点）探究点探究点1 1 利用椭圆性质求椭圆的标准方程利用椭圆性质求椭圆的标准方程思考思考1 1 椭圆的哪些几何性质可确定焦点在哪个坐标椭圆的哪些几何性质可确定焦点在哪个坐标轴上？轴上？提示：提示：焦点坐标，长轴及短轴的顶点坐标焦点坐标，长轴及短轴的顶点坐标. .思考思考2 2 椭圆的哪些几何性质与焦点在哪个坐标轴上椭圆的哪些几何性质与焦点在哪个坐标轴上无关？无关？提示提示: :焦距，长轴长，短轴长，离心率等焦距，长轴长，短轴长，离心率等. .:.(

3、2)( 6,0)(0,8).PQ 例例1 1 求求适适合合下下列列条条件件的的椭椭圆圆的的标标准准方方程程：2 2( (1 1) )长长轴轴在在x x轴轴上上, ,长长轴轴的的长长等等于于1 12 2, ,离离心心率率等等于于3 3经经过过点点和和222222(1)12,6,4,320,1.3620:caeacabacxy由由已已知知2 2得得从从而而所所求求椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为解解22(2)6,8,1.6436bayx 由由椭椭圆圆的的几几何何性性质质可可知知, ,以以坐坐标标轴轴为为对对称称轴轴的的椭椭圆圆与与坐坐标标轴轴的的交交点点就就是是椭椭圆圆的的顶顶点点, ,所所以以P

4、 P、Q Q分分别别是是椭椭圆圆的的短短轴轴和和长长轴轴的的一一个个端端点点, ,于于是是有有且且短短轴轴、长长轴轴分分别别在在x x轴轴和和y y轴轴上上, ,所所以以椭椭圆圆的的标标准准方方程程为为【变式练习变式练习】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，两顶点分别是两顶点分别是(4,0)(4,0)，(0,2)(0,2)，求此椭圆的标准方，求此椭圆的标准方程程解析：解析：由已知由已知a a4 4，b b2 2，椭圆的焦点在，椭圆的焦点在x x轴上，轴上，所以椭圆方程是所以椭圆方程是 . .22xy1164【提升总结提升总结】求椭圆标准方程的常用

5、方法及一般步骤求椭圆标准方程的常用方法及一般步骤(1)(1)常用方法常用方法: :利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程通常利用待定系数法通常利用待定系数法(2)(2)一般步骤一般步骤: :根据已知条件求椭圆的标准方程的思路根据已知条件求椭圆的标准方程的思路是是“选标准，定参数选标准，定参数”其一般步骤为：其一般步骤为：一：确定焦点所在的坐标轴一：确定焦点所在的坐标轴. .二：求出二：求出a a2,b,b2的值的值. .三：写出标准方程三：写出标准方程. .探究点探究点2 2 点与椭圆、直线与椭圆的位置关系点与椭圆、直线与椭圆的位置关系思考：思考：直线与圆的位置关

6、系有相切、相离、相交判直线与圆的位置关系有相切、相离、相交判断直线与圆的位置关系有两种方法：断直线与圆的位置关系有两种方法：(1)(1)几何法：利用圆心到直线的距离几何法：利用圆心到直线的距离d d与半径与半径r r的关系的关系判断，当判断，当d dr r时，直线与圆相切；当时，直线与圆相切；当drdr时，直线与时，直线与圆相离；当圆相离；当drd00时，时，直线与圆相交；当直线与圆相交；当0b0)的位置关系： 点 P 在椭圆上x20a2y20b21； 点 P 在椭圆内部x20a2y20b21. 位置关系位置关系解的个数解的个数的取值的取值相交相交 解解 0相切相切 解解 0相离相离 解解 0

7、两两一一无无 b0)(ab0)，直线与椭圆的两个交点为，直线与椭圆的两个交点为A(xA(x1 1,y,y1 1), B(x), B(x2 2,y,y2 2),),则则 (4)(4)中点问题：中点问题：设设P(xP(x0 0,y,y0 0) )是弦是弦ABAB的中点，的中点，A(xA(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2) )则则2222yx1ab22212121 2AB1 k xx1 kxx4xx21212122211AB1| yy |1yy4y y .kk或120120 xxx2yyy.2，(3)(3)弦长公式：弦长公式：设直线方程为设直线方程为y=y=kx+mkx

8、+m，椭圆方程为，椭圆方程为 (ab0)(ab0)或或 2222xy1ab焦点，过焦点，过2F作倾斜角为作倾斜角为4 的直线，求的直线，求1F AB的面积的面积. . 解解: :椭圆椭圆2212xy的两个焦点坐标的两个焦点坐标 12( 1,0),(1,0)FF 直线直线ABAB的方程为的方程为1yx 设设1122(,),(,)A xyB xy 例例 2 2: :已知点已知点12FF、分别是椭圆分别是椭圆22121xy的左、右的左、右 ，2340 xx 12124,03xxx x 22221212121212()()2()2 ()4ABxxyyxxxxx x= =423 点点1F到直线到直线AB

9、的距离的距离d 0( 1)12 = =2 112F ABSdAB= =142223= =43. . 探究点探究点3 3 椭圆的实际应用椭圆的实际应用例例3:20033:2003年年1010月月1515日，我国自行研制的载人宇宙飞船日，我国自行研制的载人宇宙飞船“神舟神舟”五号在酒泉卫星发射中心成功升空，实现了中五号在酒泉卫星发射中心成功升空，实现了中华民族千年的飞天梦华民族千年的飞天梦. .飞船飞船进入的是距地球表面近地点进入的是距地球表面近地点高度约高度约200 km, 200 km, 远地点约远地点约350 km350 km的椭圆轨道（地球半的椭圆轨道（地球半径约为径约为6 370 km)

10、. 6 370 km). 求椭圆轨求椭圆轨道的标准方程道的标准方程. .（精确到（精确到0.1 km)(0.1 km)(注：地球球心位于椭注：地球球心位于椭圆轨道的一个焦点）圆轨道的一个焦点）2,:F21122112212212如如图图，地地球球的的球球心心为为椭椭圆圆轨轨道道右右焦焦点点近近地地点点、远远地地点点为为A ,A ,A ,A ,以以A AA A 的的中中点点为为原原点点, ,建建立立平平面面直直角角坐坐标标系系, ,使使F ,A ,AF ,A ,A 都都解解在在x x轴轴上上, ,则则212|2006 370,|3506 3706 645,75,AacA Facac2 2|F|F

11、所所以以2 144 156 02544 150 400b222222222222从从而而=a -c =6 645 -75 =44 150 400,=a -c =6 645 -75 =44 150 400,椭椭圆圆的的轨轨道道的的标标准准方方程程为为xyxy【变式练习变式练习】某宇宙飞船的运行轨道是以地心为某宇宙飞船的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆，设地球半径为一个焦点的椭圆，设地球半径为R R，若其近地点、，若其近地点、远地点离地面的距离分别大约是远地点离地面的距离分别大约是 求此宇求此宇宙飞船运行的轨道方程宙飞船运行的轨道方程. .解析：解析：如图所示，以运行轨道的中心为原点，其如图所示，

12、以运行轨道的中心为原点，其与地心的连线为与地心的连线为x x轴建立坐标系，且令地心轴建立坐标系，且令地心F F2 2为椭为椭圆的右焦点，则轨道方程为焦点在圆的右焦点，则轨道方程为焦点在x x轴上的椭圆的轴上的椭圆的标准方程标准方程, ,不妨设为不妨设为 (ab0)(ab0)，则地心，则地心F F2 2的坐标为的坐标为(c,0)(c,0)，其中，其中a a2 2=b=b2 2+c+c2 2, ,则则11RR153、，2222xy1ab此宇宙飞船运行的轨道方程为此宇宙飞船运行的轨道方程为222222R6acR,aR,155R2acR,cR.3156264bac( R)(R)R .51545解得22

13、22xy1.3664RR25451.1.求符合下列条件的椭圆的标准方程求符合下列条件的椭圆的标准方程: :(1)(1)经过点经过点(-3,0)(-3,0)，(0,-2).(0,-2).(2)(2)椭圆的一个焦点为（椭圆的一个焦点为（-4-4，0 0），且与），且与x x轴的交点轴的交点是是(5,0).(5,0).(3)(3)长轴长是短轴长的长轴长是短轴长的3 3倍，椭圆经过点倍，椭圆经过点P(3,0).P(3,0).(4)(4)椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为1010和和4.4.22194xy2222119819xyxy或22221149404940

14、 xyyx或221259xy2直线 yx2 与椭圆x2my231 有两个公共点，则 m的取值范围是( ) Am1 Bm1 且 m3 Cm3 Dm0 且 m3 B B3.3.直线直线y= x+1y= x+1和椭圆和椭圆x x2 2+4y+4y2 2=20=20的交点坐标是的交点坐标是_解析：解析：解得解得x=2x=2或或x=-4x=-4，将其分别代入直线方程得交点坐，将其分别代入直线方程得交点坐标为标为(2,2)(2,2)和和(-4(-4，-1).-1).122221yx1x2x802x4y20 ，由得，(2,2)(2,2)和和(-4(-4，-1)-1)3.3.椭圆的两个焦点在坐标轴上，且经过点椭圆的两个焦点在坐标轴上，且经过点( 2, 3)M 和和(1,2 3)N， 求椭圆的标准方程。求椭圆的