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1、2013学年第一学期高三期末测试理科数学 参考答案一.选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）1a；2d；3b；4d；5c；6d；7a；8c；9 b；10c二填空题（本大题有7小题，每小题4分，共28分，请将答案写在答题卷上）11或；12；134；144；15；16；17三、解答题：（本大题共5小题，共72分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）18（本题满分14分）已知数列中，（）若设，求数列的通项公式；（）求解：（i），所以，所以；（ii），所以=19（本题14分）甲、乙两个盒子中共放有5个红球和3个白球，每盒4个假设每一个球被摸到的可能性是相等的现从乙盒中任意摸出2个球，已知摸

2、出的两个都是红球的概率为（）求乙盒中红球的个数；（）若从甲盒中摸出2个球，乙盒中摸出1个球，设摸到的3个球中红球的个数为，求的分布列和数学期望解：（i）设乙盒中红球有个，得，所以，所以乙盒中有3个红球.（ii）当时，甲盒中取到2个白球，乙盒中取到1个白球，对应的概率为;当时，甲盒中取到2个白球，乙盒中取到1个红球，或甲盒中取到1红1白，乙盒中取到1个白球，对应的概率为；当时，甲盒中取到1红1白，乙盒中取到1个红球，或甲盒中取到2红，乙盒中取到1个白球，对应的概率为；当时，甲盒中取到2红，乙盒中取到1个红球，对应的概率为；所以的分布列为：0123所以20（本题14分）如图，长方体中，是上一点，是

3、的中点（）求证：平面；（）当时，求平面与平面所成锐二面角的余弦解：（i）连接交于，则为的中点，连接，则为的中位线，所以，平面,平面,所以平面；（ii）解法1：连接，在上取，使，又，所以平面，作于，连接，所以就是平面与平面所成锐二面角，在中，所以，在中，,所以，所以，所以，即平面与平面所成锐二面角的余弦为解法2：以为坐标原点，分别以为轴，建立坐标系。由，得，设平面的一个法向量为，由,，得，设平面的一个法向量为，由,，得，记平面与平面所成锐二面角为，所以平面与平面所成锐二面角的余弦为21（本题15分）已知抛物线的焦点为，是抛物线上异于原点的任一点，直线与抛物线的另一交点为设l是过点的抛物线的切线，

4、l与直线和轴的交点分别为a、b，（i）求证：；（ii）过b作于，若，求abpcfqoxy（第21题图）解：（i）设，则过的切线方程为：，得的坐标，又，所以，所以，所以；（ii）分别过、作直线的垂线，垂足为、，因为，所以，因为，所以，设直线的方程为，代入得，所以，所以，所以，所以，由得，得，得，所以22（本题15分）已知n*，函数，（i）求证：在上是减函数；（ii）若对任意，存在，使得，求满足条件的构成的集合解：（i），因为时，所以，所以，所以在上是减函数（ii）当时，因为，所以，因为，所以，所以对任意，不存在，使得；当时，在递减，在递减，因为对任意，存在，使得，所以对任意恒成立，反之，若对任意恒成立，一定存在，使，所以原命题等价于“在恒成立”，由对恒成立

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