湖北省襄阳市鄂北六校2023-2024学年高一下学期4月期中联考考试数学试题

2023—2024学年下学期高一期中考试数学试题主命题学校：南漳一中宜城一中枣阳一中曾都一中襄阳六中南漳一中老河口一中试卷满分：150分考试用时：120分钟注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号﹑座位号填写在试卷和答题卡上，并认真核准准考证号条形码上的信息，将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知向量，，若，则（）A.5 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】利用向量坐标运算，结合相等向量求解即得.【详解】向量，，由，得，所以.故选：B2.已知点落在角的终边上，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义求解余弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可.【详解】因为点落在角的终边上，所以，所以故选：C3.函数（，，）的部分图象如图示，则图象解析式为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的图象，结合正弦函数的性质，即可求解.【详解】由函数的图象，可得且，所以，则，又由，即，可得，所以，又因为，所以，故.故选：D.4.若两个单位向量，的夹角为，则（）A.2 B. C.1 D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，利用数量积的定义及运算律求解即得.【详解】由两个单位向量，的夹角为，得，所以.故选：B5.化简得（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依题意可得，利用两角差的正弦公式、二倍角公式及诱导公式计算可得.【详解】.故选：C6.我国古代的数学著作《九章算术》中的一个问题，现有一个“圆材埋壁”模型，其截面如图所示．若圆柱材料的截面圆的半径长为3，圆心为O，墙壁截面ABCD为矩形，且劣弧的长等于半径OA长的2倍，则圆材埋在墙壁内部的阴影部分截面面积是（）A. B. C. D.9【答案】A【解析】【分析】先计算出扇形的面积，再求出，相减得到答案.【详解】由题意得，劣弧，故扇形的面积为，设圆心角为，则，故，故圆材埋在墙壁内部阴影部分截面面积为.故选：A7.已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，且，当时，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如图，根据条件得到，利用数量积的几何意义，即可求出结果.【详解】因为，如图，取中点，又，所以，即，结合平面向量数量积的几何意义，又，得到，故选：B.8.如图，在钝角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，，过点A作与垂直的单位向量，将与向量表达式两边进行数量积的运算，即，化简后得到的结论是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由向量数量积的运算律和定义可化简等式得到，由此可得结论.【详解】因为向量是单位向量，且，所以，，所以，，所以，即.故选：A.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分．部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.已知，为平面内两个不共线的向量，则可作为平面的一组基底B.已知两个非零向量，，若，则与同向C.在中，若，，则为等边三角形D.若向量，满足，则存在唯一实数，使得【答案】ABC【解析】【分析】利用向量共线知识可以判断ABD，利用向量数量积运算可以判断C.【详解】对A，因为，为平面内两个不共线的向量，设时，，此时无解，所以与不共线，即可作为基底，故A正确；对B，因为两个非零向量，，，所以与同向，故B正确；对C，由，可得，再由，可得，综上为等边三角形，故C正确；对D，向量，满足，当不等于零向量时，不存在实数，使得，故D错误；故选：ABC．10.把函数（）的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（）A.的最小正周期为B.在区间上单调递增C.当时，的值域为D.若在区间上至少存在六个零点，则实数a的取值范围为【答案】BCD【解析】【分析】根据题意化简得，根据最小正周期计算公式可判断A；根据三角函数性质计算可判断B；由，得，根据三角函数性质计算即可判断C；由得或，所以在区间上的解从小到大依次为：，根据题意建立不等式计算即可判断D.【详解】，因为图象关于轴对称，所以，解得，因为，解得，即，对A，最小正周期，故A错误；对B，令，解得，所以函数得单调递增区间为当时，单调递增区间为，所以函数在区间上单调递增，故B正确；对C，因为，所以，当或，即或时，函数有最小值为，当，即时，函数有最大值为，所以的值域为，故C正确；对D，因为，有，即，解得或，故在区间上的解从小到大依次为：，要使在区间上至少存在六个零点，则，故D正确.故选：BCD.11.中,,点在线段上,下列结论正确的是（）A.若是中线,则 B.若是高,则C.若是角平分线,则 D.若,则是线段的三等分点【答案】AC【解析】【分析】分别使用向量解决三角形中线长问题，等面法求解高线、角平分线问题，两次使用余弦定理解决三等分点问题.【详解】A选项：由余弦定理知：因为是中线，则则则B选项：则则故B错误.C选项：即则则故C正确.D选项：在中在中即若是线段的三等分点，则但不是方程的解，则选项D错误.故选：AC.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量为____________（用坐标表示）．【答案】【解析】【分析】根据题意，求得，结合投影向量的计算公式，即可求解.【详解】由向量，，可得，且，则，所以向量在向量上的投影向量为.故答案为：.13.已知，则____________．【答案】【解析】分析】根据题意，求得，结合，即可求解.【详解】因为，可得，所以，则故答案为：.14.定义：．已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若，且，则边c的最小值为____________．【答案】##【解析】【分析】先由新定义将原式化简，并求得，再代入余弦定理公式表示c，利用基本不等式求得其最小值.【详解】由题可知，化简得，即，C为三角形内角，解得，由余弦定理得，所以，时等号成立，所以边c的最小值为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知，．（1）求与的夹角的余弦值；（2）若，求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据向量坐标运算结合向量的夹角公式计算即可；（2）应用向量坐标垂直公式运算可求参数.【小问1详解】，∴，，【小问2详解】∴∴16.已知，，且，，，求：（1）值；（2）的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）计算出，利用正弦和角公式求出答案；（2）利用余弦的两角差公式可得，结合得到答案.【小问1详解】∵，∴，，∴；【小问2详解】由（1）可得∴，又∵，∴.17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，D是线段AC上的一点，，，求边c．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得，得到角A的大小；（2）设（），则，根据二倍角公式和求出的余弦值和正弦值，故，由正弦定理求出答案.【小问1详解】因为，所以由正弦定理可得，即，所以，因为，所以【小问2详解】设（），则，所以，解得，故，所以，由正弦定理，，即，所以18.在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，BC，AC边上的两条中线AM，BN相交于点P.（1）令，，用，表示；（2）证明：；（3）若，，，求∠MPN的余弦值.【答案】（1）（2）证明见解析（3）【解析】【分析】（1）由条件可得，结合可解；（2）在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得；（3）与的夹角相等，根据向量夹角公式可求其大小.【小问1详解】由题可知是的重心，且，所以.小问2详解】在中，由余弦定理，得，在中，由余弦定理，得.【小问3详解】因为，，，所以，所以，即的余弦值为.19.已知O为坐标原点，对于函数，称向量为函数的相伴特征向量，同时称函数为向量的相伴函数．（1）记向量的相伴函数为，若且，求的值；（2）设（），试求函数的相伴特征向量，并求出与方向相反的单位向量﹔（3）已知，，，为函数（）的相伴特征向量，，请问在的图象上是否存在一点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．【答案】（1）（2），（3）存在，【解析】【分析】（1）先根