初等变换与初等矩阵（课堂PPT）

1、 解方程组：解方程组：123123132314254226xxxxxxxx 213142542026把第把第1个方程分别乘以（个方程分别乘以（-2）、）、（-1）加到第）加到第2个、个、3个方程个方程把第把第1行分别乘以（行分别乘以（-2）、）、（-1）加到第）加到第2、3行行1232323231425xxxxxxx 213104120115把未知量系数和常数按原顺序写成下表把未知量系数和常数按原顺序写成下表消元法解方程组消元法解方程组增广矩阵增广矩阵把第第3个方程分别乘以（个方程分别乘以（-4）、）、1加到第加到第2个、个、1个方程个方程把第把第3行分别乘以（行分别乘以（-4）、）、1加到第

2、加到第2、1行行133232263185xxxxx 2026003180115把第把第2个方程与第个方程与第3个个方程互换位置方程互换位置把第把第2行与第行与第3行互换位置行互换位置132332265318xxxxx 2026011500318 把第把第3个方程分别乘以个方程分别乘以（-1）、）、1加到第加到第1、2个方程个方程分别把把第分别把把第3行乘以行乘以（-1）、）、1加到第加到第1、2行行123916xxx 100901010016分别把第分别把第1个方程和第个方程和第3个个方程乘以方程乘以12和和 13分别用分别用12和 13乘第乘第1行和第行和第3行行13233356xxxxx

3、101301150016线性方程组的系数可以排成下面的一个表：线性方程组的系数可以排成下面的一个表：而利用（而利用（1 1）的系数和常数项又可以排成下表：）的系数和常数项又可以排成下表：mnmmnnaaaaaaaaa212222111211（3）mmnmmnnbaaabaaabaaa21222221111211（4） 称为线性方程组（称为线性方程组（1 1）的系数矩阵）的系数矩阵. .称为线性方程组（称为线性方程组（1 1）的增广矩阵）的增广矩阵. . 一个线性方程一个线性方程组的增广矩阵显组的增广矩阵显然完全代表这个然完全代表这个方程组方程组. . 下面三种变换称为矩阵的下面三种变换称为矩阵

4、的初等行变换初等行变换（1） 对调两行（对调对调两行（对调i,j两行，记作两行，记作)jirr （2） 以不为零的数以不为零的数 k 乘某一行的所有元素乘某一行的所有元素 (第第 i行乘数行乘数 k , 记作记作）kri一、矩阵的初等变换和初等矩阵一、矩阵的初等变换和初等矩阵1、矩阵的初等变换、矩阵的初等变换（3） 把某一行的所有元素的把某一行的所有元素的 k 倍加到另一行对倍加到另一行对 应的元素上去应的元素上去 （第（第i行的行的 k 倍加到第倍加到第j 行上去行上去,记作记作)ijkrr 定义定义 矩阵的初等变换矩阵的初等变换相应地有三种相应地有三种列初等变换列初等变换（1）交换矩阵的两

5、列，记作）交换矩阵的两列，记作ijCC（2）用非）用非0常数乘以矩阵的某一列的元素，记作常数乘以矩阵的某一列的元素，记作ikC（3）某一列的元素乘以数）某一列的元素乘以数k后加到另一列上去，记作后加到另一列上去，记作jiCkC上述六种变换，统称为矩阵的上述六种变换，统称为矩阵的初等变换初等变换( (换法矩阵换法矩阵) )1. 将将E的第的第i行与第行与第j 行交换得到的初等矩阵行交换得到的初等矩阵 ,1101111011i jijiPj列列行行2、初等矩阵、初等矩阵 单位矩阵单位矩阵E 经过一次初等变换得到的经过一次初等变换得到的矩阵称为矩阵称为初等矩阵初等矩阵，它们是：，它们是： 11( )

6、11iP kk 行行第第 i( (倍法矩阵倍法矩阵) ) 2 以数以数 乘单位矩阵的第乘单位矩阵的第 i 行行 得初等矩阵得初等矩阵0k 注注 倍法矩阵的特点是：倍法矩阵的特点是： ；其它元素与单位；其它元素与单位矩阵相同矩阵相同. ( , )i i 元k11( )11ijkP k 行行第第i行行第第j( (消法矩阵消法矩阵) )3、把、把E的第的第j 行的行的k倍加到第倍加到第i行上，得到初等矩阵行上，得到初等矩阵注注消法矩阵的特点是：消法矩阵的特点是： ； 其它元素与单位矩阵相同其它元素与单位矩阵相同.( , )i jk元如如 n n = 4 = 4310000100( )0000001P

7、 kk1000010000100001E2,41000010( )00100001kPk1,40001010000101000P 用初等矩阵用初等矩阵右乘右乘给定矩阵，其结果就是对给定给定矩阵，其结果就是对给定矩阵施行相应的初等矩阵施行相应的初等列列变换。变换。 用初等矩阵用初等矩阵左乘左乘给定的矩阵，其结果就是对给给定的矩阵，其结果就是对给定的矩阵施以相应的初等定的矩阵施以相应的初等行行变换。变换。3、初等矩阵与初等、初等矩阵与初等 变换变换 之间的关系之间的关系定理定理 ，得左乘阶初等矩阵用nmijjiaAPm)(,mnmminiijnjjnjiaaaaaaaaaaaaAP21212111

8、211,行行第第 i行行第第 j).( jirrjiAA行行对对调调行行与与第第的的第第把把：施施行行第第一一种种初初等等行行变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵，右右乘乘矩矩阵阵阶阶初初等等矩矩阵阵以以类类似似地地，AEnji,mnmimjmnijnijjiaaaaaaaaaaaaAP12222111111,).( jiccjiAA列列对对调调列列与与第第的的第第把把：施施行行第第一一种种初初等等列列变变换换相相当当于于对对矩矩阵阵；行行的的第第乘乘相相当当于于以以数数)(kriAki mnmminiiniaaakakakaaaaAkP212111211)(行行第第 i类类似似地地，左左乘乘矩矩

9、阵阵以以AkEi)( ).()(kciAkAkEii 列列的的第第乘乘相相当当于于以以数数，其其结结果果矩矩阵阵右右乘乘以以，左左乘乘矩矩阵阵以以，AkEji)(1112112,112212( )niiinj ijijijninmmmnaaaaaaPk Aakaakaakaaaa).(ijkrrjkiA行行上上加加到到第第行行乘乘的的第第相相当当于于把把 ).()(,jijikccikjAAkE列列上上加加到到第第列列乘乘的的第第把把，其其结结果果相相当当于于右右乘乘矩矩阵阵类类似似地地，以以3431323324212223141112133433323124232221141312113,

10、11000000100100100aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaAP 31343332312423222114131211ccaaaaaaaaaaaaA 343132332421222314111213aaaaaaaaaaaa例如例如 343332312423222114131211aaaaaaaaaaaaA若若如果矩阵如果矩阵A 经过有限次初等变换变成经过有限次初等变换变成BA 容易验证等价关系满足：容易验证等价关系满足：（1） 反身性：对任意矩阵反身性：对任意矩阵 A，AA （2） 对称性：对称性：ABBA，则则若若（3） 传递性：传递性：CACBBA则则，若若二、矩阵的

11、等价和矩阵的标准形矩阵的等价和矩阵的标准形1、等价矩阵、等价矩阵定义定义 矩阵矩阵B，则称矩阵，则称矩阵A与矩阵与矩阵B等价，记作等价，记作矩阵矩阵A 的行阶梯形的行阶梯形 0000034000521302301200000000*00*0*rba oooIr的矩阵称为矩阵的矩阵称为矩阵A的标准形。的标准形。（主对角线上（主对角线上1的个数可以是的个数可以是0） 00000000010000100001第第r 行行即即2、矩阵、矩阵A 的标准形的标准形形如形如例例2 设设 321020310121,101202102411BA问：矩阵问：矩阵A和和B是否等价？是否等价？ 解解 先求先求 A、B

12、的标准形的标准形 38320210000110120210241114131224ccccccA 38300210000123rr 320002100001233rr 321021100121321020310121B对对B施行一系列初等变换得施行一系列初等变换得 0100001000013200001000013432323)21(2ccrcc 321021100001 130021100001BAOIBOIA，所所以以33 010000100001130000100001定理定理 对任意矩阵对任意矩阵nmijaA)(存在一系列存在一系列m阶初等阶初等sPPP、矩阵21和和n阶初等矩阵阶初等矩阵tQQQ、21使得使得OOOIQQQAQPPPPrttss121121,121PPPPPsstQQQQ21于是有于是有:在定理中令在定理中令:推论推论 对任意矩阵对任意矩阵 存在存在m阶可逆阵阶可逆阵PnmijaA)(和和n阶可逆阵阶可逆阵Q，使得，使得OOOIPAQr例010102001A将矩阵化为等价标准形的变换矩阵。解解可以看成是由可以看成是由3阶单位矩阵阶单位矩阵 经经4次初等变换次初等变换,AE 3331321,1,2,crccrr 而得而得. 而这而这4次初等变换所对应的初等方阵为次初等变换所对应的初等方阵为:,0101000011 P,1020100011Q,