一类含间隙机械振动系统概周期运动与混沌

1、一类含间隙机械振动系统的概周期运动与混沌摘 要：本文研究了一个有双质量和间隙的振动系统。对该系统的动力学研究主要围绕 非共振和弱共振情况中周期运动的Hopf分岔。 建立了该振动系统的Poincare 映射。用分析法研究了一个有冲击周期运动的稳定性。确定了霍普夫分岔数值 及一个有冲击的周期运动的冲击条件。运用中心流形定理，得到Poincare映射的 余维二维二分岔，用常规模式理论进行了常规区分。通过霍普夫分岔在定 点的理论，分析了冲击振动的局部动态特性。用各种数值方法验证了理论分析。 通过数值模拟获得了影响混沌周期运动的研究道路。关键词：振动冲击；间隙；Hopf分岔；概周期运动；混沌1.简介任何

2、时候当一个振动系统的成分与不平障碍物相撞或互相撞击的时候，就会产生冲击震荡。这种冲击系统存在于很多工程应用中，尤其是机械制造和含有间隙的机器中。这些冲击产生非线性或非持续性，使得冲击系统可以表现出丰富且复杂的动态行为。近年来，机械系统的冲击动力学成为许多学者研究的课题，同时他们提出了很多新的理论问题。 Natsiavas1分析了自主存在与和谐刺激下的二自由度分段线性系统，获得了概周期运动，并通过数据方法获得了冲击混沌的研究道路。Chatterjee和Mallik2研究了单自由度自主存在有减震器的振荡器的概周期冲击振动。Budd3研究了一个与单边控制的的单自由度冲击振动系统，证明如果恢复系数少于

3、1，概周期运动不能在系统中发生。谢建华4研究了单自由度系统与单边振幅限制的余维二分岔并发现了Hopf二周期冲击轨道。罗冠伟和谢建华5,6考虑了无阻尼的二自由度碰撞振动系统，在无共振、弱共振和强共振情况中研究了单冲击周期运动的概周期运动。本文主要研究了存在两个质量块和一个间隙的冲击振动系统。主要是专门研究无共振和弱共振情况中碰撞振动系统周期运动Hopf。首先，选择了有一个间隙的冲击振动系统的Poincare映射来建立Poincare截面，然后分析和研究了这个冲击振动系统的周期运动。运用中心流形定理，使得Poincare映射降到二维空间。通过霍普夫分岔在定点的理论，分析了冲击振动的局部动态特性。用

4、各种数值方法验证了理论分析。通过数值模拟获得了影响混沌周期运动的研究道路。2. 含单冲击周期n运动系统图1是一个双质体冲击振动系统与固定约束发生碰撞的力学模型。质量为的质量块的位移分别由表示。质量块分别由刚度为的线性弹簧和阻尼系数为的线性阻尼器连接于支撑。 图1双质体冲击振动成型机的力学模型两个质量块作垂直方向的运动,分别受到简谐激振力和。两个质量块上受到的激振频率和相位角相同。当质块的位移与质块的位移之差等于间隙时， 与发生碰撞振动。即。假设力学模型中的阻尼是Rayleigh型比例阻尼。该碰撞过程由碰撞振动定律、动量守恒定律和碰撞恢复系数确定，并认为碰撞的持续时间与周期碰撞过程中的力比起来可

5、以忽略。考虑两质量块的冲击运动是连续的。在连续冲击过程中，把前一个冲击结束时的时间设为0，初相位角仅用来在计算中作为一种开始的时间选择为。该冲击振动的系统在冲击后立即为后面冲击运动过程的提供参数条件。在连续冲击过程中，始终满足。任意相邻两次碰撞之间，冲击振动系统运动微分方程的无量纲形式为： （1）在方程（1）中，“”表示对无量纲时间求导数，其中无量纲量为 (2)当发生冲击振动时，即。质量块的速率由碰撞振动定律、动量守恒定律和碰撞恢复系数的定义，两质量块的冲击方程及冲击恢复系数为： 由于刚度和阻尼之间的特殊关系，可对方程（1）进行分析处理。令表示方程（1）的正则模态矩阵。表示无碰撞情况下系统的固

6、有频率。取坐标变换，将方程（1）解耦为： 式中，；是一个阶单位矩阵；是一个阶对角矩阵通过模态叠加法可确定方程（1）的解。设方程（1）的通解有如下形式：式中，是正则模态矩阵的元素；是积分常数；由系统的初始条件和模态参数确定。为振幅常数 令，通常有两种方法选择Poincare截面：，其中， 。因为冲击振动系统存在由“擦边运动”造成的映射奇异性，选择作为Poincare截面不易观察冲击系统的“擦边运动”，所以选择截面建立Poincare映射 （10）其中，,是一个实分岔参数，；，是Poincare截面上的不动点；和是不动点的扰动量。在适当的系统参数条件下，图1中所示振动冲击系统的运动能够呈现为周期性

7、。两质块在碰撞后瞬时，设无量纲时间为，那么下一次两质块相互碰撞前瞬时，无量纲时间恰好为。将坐标的原点平移至某碰撞点，可以由冲击运动的周期性条件其中，是两质块碰撞前的瞬时速度。将周期冲击条件式（11）代入方程（1）的通解。可以从方程（6）和（7）解出积分常数。为叙述方便，首先给出符号其中，如果间隙，令 则否则 式中 积分常数表达式如下： 在公式（14）中，“” 意思是冲击振动系统在相同的系统参数情况下可能存在两个不同的周期运动。此时单周期n运动存在必须满足以下条件否则，单周期n运动不存在。将式（14）（17）代入方程（1）的通解中，可以得到时双质体冲击振动成型机的周期运动的精确解及其在Poinc

8、are截面上相应的不动点。本文研究中，我们引用符号 来表明冲击系统的周期性运动的特点， 是冲击次数，是被迫循环次数。3. Poincare映射、稳定性与局部分岔我们考虑周期运动的受扰运动。为了分析方便，坐标原点平移至某次冲击点。此时，分别代表受扰运动的位移和速率。 在两个质块连续的冲击中，满足，受扰运动可以写成式中 对于受扰运动，在质块与质块碰撞后瞬时，设无量纲时间为0，则下一次两质块碰撞前瞬时，无量纲时间为，。令，连续两次碰撞的初始条件与终值条件为 式中，分别表示两质块碰撞前后的瞬时时间。将式（21）中初始条件（）代入到扰动解式（17），可以解出式中，。将式(21)中的终值条件（）代入到式(

9、17)得出定义函数为 由存在固定点的条件为 假设，根据隐函数定理，由方程式(29)可以解得 将解式(30)代入(27)，可确定Poincare映射用 表示中起点的邻点，则Poincare映射(31)可以简要表示为 式中， 将展成的级数 将式(34)代入到映射(33)得出 式中， 分别表示为关于的二次、三次项的全体。映射在不动点处的线性化矩阵为 图1振动冲击系统具有稳定的运动。 振动冲击周期运动的稳定性通过计算的特征值来决定。如果所有的特征值都在单位周期内，则相应的 运动及Poincare映射固定点是稳定的，否则是不稳定的。如果当时，有最大模态的特征值在循环周期上，那么就有可能发生分岔。 一般情

10、况下，分岔根据单位周期的特征值的数量以各种方式发生，导致系统动力的数据变化。如果有一对复杂的结合特征值，当穿越时，有一对复共轭特征值相应穿越单位圆周，其余特征值仍在单位圆内，在这种情况下，周期运动将可能发生Hopf 分岔。若穿越时，有一实特征值将从点处穿越单位圆周，其余特征值仍在单位圆周内，这种情况下，周期运动将可能发生周期倍化分岔或鞍结分岔。4. 含单冲击周期n运动系统Hopf分岔下面我们继续考虑碰撞振动系统周期运动的Poincare映射，式中，,是一个分岔参数。 因此是该映射的一个固定不动点，在临界值处，满足下列假设： 有一对共轭特征值，满足，其余特征值也在这个单位周期内。 用表示与特征值

11、对应的特征向量，如果是一对复共轭特征向量，则令特征矩阵为，否则，令。在的某个领域内，令，映射（32）经过坐标变换，变换成 式中，。对于映射（37），存在一个中心流形9，在此中心流形上，映射（37）能够被降阶成一个二维映射，这个二维映射可表示为 式中在文献5中有详细解释。因为在中心流形上映射在分岔点的某个邻域内的局部动力特性与二维映射在的某个邻域内的局部动力特性是等价的，所以由二维映射和下述引理，可以分析当分岔参数穿越临界值时映射Hopf分岔的存在及特性。引理10,11：令在是一个单周期的微分同胚映射，同时满足以下假设条件： 对所有成立； 有一对共轭特征值，满足； ； 在假设条件下，存在与相关的

12、坐标变换，使成为范式 在极坐标下 如果，则对，存在一个稳定的不变圈；如果，则对，存在一个不稳定的不变圈。假设为 式中，如果碰撞振动系统周期运动的映射满足假设条件-，容易证明映射（38）满足条件-。如果能够选择一组系统参数使Poincare映射（38）满足假设条件-，则通过计算可以判断映射（38）不变圈存在，根据的“”符号可以判断其稳定性。因为在中心流上，映射（38）能够被降阶成为一个二维的映射。如果当映射（38）有一个吸引（）或排斥（）的不变圈，图1碰撞振动系统的周期碰撞运动相应发生超临界或亚临界的Hopf分岔。其间隙为 。选取图1冲击振动落砂机的一组系统参数：。取激振频率为分岔参数，令，计算

13、在区间内的特征值。当，的两对复共轭特征值都位于复平面的单位圆周上，其余特征值仍在单位圆内,且，当时有一对复复共轭特征值在单位周周上，由于穿越到，故其余特征值仍在单位圆内。是一个Hopf分岔值，此处二维映射（38）满足条件-。通过公式（43），我们得到 从上面得到的结果，我们可以得出在选定的系统参数下，这一映射（38）有一个有吸引（）的不变圈。这就是说一个超临界Hopf分岔发生在有间隙和相同系统参数的冲击振动系统上。该结论由下面的数值模仿结果证实。 （a） 质量块的相平面图 (b)质量块的稳态相应图 图2为质块当，周期时的碰撞振动过程数值计算图1单周期n运动碰撞振动系统的动态响应。取Poinca

14、re截面为，激振频率为控制参数，选择此碰撞振动系统相应控制参数的解析不动点作为初始映射点。系统的Poincare截面是四维的。Poincare截面在等平面的投影称为投影Poincare截面。不动点在相应控制参数下，发生在初始值的单周期n运动可以从第二节中获得。这可以被当做数据分析中的起始点。数据分析结果表明冲击振动系统可表现稳定周期的q=1/2冲击运动的数值计算结果见图2。当穿越后，碰撞振动系统的周期运动失稳，分岔成概周期运动，见图3。随着振动频率增加，环面逐渐扩张。该周期由于“磕碰振动”失去稳定性。磕碰导致碰撞振动系统的相位角发生突变，环面破裂，概周期运动经磕碰嵌入馄饨，见图4。 图3.单周

15、n运动碰撞振动系统的周期的Poincare映射： 图4.混沌运动的Poincare映射：选取系统参数：和，令，计算在区间内在不动点处的特征值。所有的特征值都在单位圆内，此时系统表现出稳定的周期为冲击运动，见图5.。当递增穿越时，相应穿越单位圆周，其余特征值仍在单位圆内。Hopf分岔值，且有 从此结果，我们可以得出，在选定的系统参数下，该映射（38）有 一个吸引（）的不变圈。这就是说一个超临界Hopf分岔发生在有间隙和相同系统参数的冲击振动系统上。当时，系统的不动点稳定，存在一个周期性不变圈。当时，系统的不动点失去稳定，该系统直接表现出混沌状态，见图6。 （a）质量块的相平面图 (b)质量块的稳

16、态相应图 图5为质块当，周期时的碰撞振动过程 图6混沌状态Poincare映射：5.结论本文研究了一类存在间隙的双质体振动系统的周期运动在非共振和弱共振情况中周期运动的Hopf分岔，建立了并确定了该振动系统的Poincare映射。用分析法调查了有一个冲击的周期运动的稳定性。确定了Hopf分岔数值及有一个冲击的周期运动的冲击条件与横截条件。运用中心流形定理，得到Poincare映射的余维二维二分岔，用常规模式理论进行了常规区分。通过霍普夫分岔在定点的理论，分析了冲击振动的局部动态特性。分析了冲击振动系统的Hopf分岔的存在和稳定性。这些机器和设备包括振动锤，缓冲器，压缩机器，打磨烧结工具，齿轮，

17、振动器，高速铁路客车轮轨相互作用。6. 参考文献1 Natsiavas S. Dynamics of Multiple-Degree-of-Freedom Oscillatiors with ComponentsJ. Journal of Sound and Vibration,1993,165(3):439-453.2 Chatterjee S, Mallik A K. Bifurcations and Chaos in Autonomous Self-Excited Oscillators with Impact DampingJ.Journal of Sound and Vibratio

18、n,1996,191(4):539-562.3 Budd C, Dux F, Cliffe A. The Effect of Frequency and Clearance Variations on Single- Degree-of-Freedom Impact Oscilla-torsJ.Journal of Sound and Vibration ,1995,184(3): 475-502. 4 谢建华.一类碰撞振动系统的余维二分叉和Hopf分叉.应用数学和力学，1996,(17): 65-75.5 罗冠伟，谢建华，孙训芳.高维映射的Hopf分叉分析及其在冲击振动系统中的应用. 振动工

19、程学报，1999, 12(3): 360-366.6 Luo Guanwei, Xie Jianhua, Sun Xunfang. Quasi-Periodic and Chaotic Behaviour of a Two-Dergree-of-Freedom Impact in a Strong Resonance caseJ.Acta Mechanica Solida Sinica,1999,12(3): 279-283.7 Ivanov A P.Stabilization of an Impact Oscillator near Grazing Incidence Owing to Reson