理学数理统计的基本概念PPT学习教案

1、会计学1理学数理统计的基本概念理学数理统计的基本概念2(1)简单随机抽样 随机性:每个个体被抽到的机会均等 独立性:每次抽取后不改变总体的成分 同分布性 Xi 与总体X 同分布 独立性 X1 ,Xn 相互独立 (2)对总体作n次“简单随机抽样”，得到n个个体：X1,X2,Xn，称为总体的一个样本容量为n的样本, 简称样本。(3)把（X1,Xn）的观察值(x1,xn)为称为样本观察值(或样本值)2.样本第1页/共28页3来自总体X的样本X1， ，Xn可记为1,( ),( ),.iidnXXXf xF x或显然，样本联合分布函数或概率密度为niinxFxxxF121*)(),(或niinxfxxx

2、f121*)(),(第2页/共28页43. 总体、样本、样本观察值的关系总体 样本 样本观察值 理论分布 统计是从手中已有的资料统计是从手中已有的资料样本观察值，去样本观察值，去推断总体的情况推断总体的情况总体分布。总体分布。12, ,nX XX12, ,nx xx第3页/共28页例例1.设总体设总体X有样本值有样本值x1=1,x2=2,x3=3,x4=2, 则则X的经验分布函数为的经验分布函数为xxxx)(4xF0, x1;, 1x2;, 2x3;1, x36.3 样本观察值的整理第4页/共28页., 1;,/;, 0)()()1()()1(xxxxxnkxxxFnkkn x(1) x(2)

3、 x(n)则经验分布函数为则经验分布函数为一般，设样本值一般，设样本值x1,x2,xn依次排列：依次排列：定理定理 (格里汶科格里汶科)经验分布函数经验分布函数Fn(x)以概率以概率1关于关于x一致收敛于一致收敛于F(x):10| )()(|suplimxFxFPnxn第5页/共28页7定义：设(X1, ,Xn )是来自总体X 的样本，称不含未知参数的样本函数 g(X1, ,Xn )为总体 X 的一个统计量。注: 统计量是一个一维随机变量，统计量的分布称为抽样分布.第6页/共28页例例1.设设X1,X2,Xn是来自总体是来自总体X的一个样本，的一个样本，XN( , 2), 且且 已知已知， 2

4、 未知，未知，问下列样本函数哪个是统计量？问下列样本函数哪个是统计量？11niiXXn 2211()1niiSXXn 22211()niiX 是统计量是统计量不是统计量不是统计量第7页/共28页91. 样本均值2. 样本方差11niiXXn niiXXnS122)(11反映总体方差D(X)的信息反映总体均值E(X)的信息样本标准差2SS 反映总体标准差的信息第8页/共28页反映总体k 阶中心矩E(X-EX)k的信息样本k阶中心矩11()nkkiiBXXn 3. 样本k阶(原点)矩nikikXnA11反映总体k阶矩E(Xk)的信息第9页/共28页114. 最小顺序统计量 X(1)=min(X1,

5、X2,Xn)最大顺序统计量 X(n)=max(X1,X2,Xn)观察值用小写表示,记为2(1)(), ,kknx ss abxx22221111()()11nniiiiSXXXnXnn第10页/共28页12（一）2分布统计量的分布称为抽样分布。数理统计中常用到如下三个分布： 2分布、 t 分布 和 F分布 构造：设 ，则)1 ,0(,1NXXiidn)(.2222212nXXXn 2分布注：若来自正态总体 ，则222211nii( X) (n) nXXX,21),(2 N第11页/共28页131. 2分布的密度函数f(y)曲线 0, 00,)2/(21)(2122/yyeynyfynn第12页

6、/共28页142. 2分布具有可加性2221212()nn 22221122(),()nn 2212, 第13页/共28页153. 分布的数字特征22(),()2EnDn证：222212nXXX , X1,X2,Xn为N(0,1)的样本,E(Xi2)=D(Xi)+E(Xi)2=1,于是221()()niiEE Xn 又 D(Xi2)=E(Xi4)-E(Xi2)2, 而2222443223222211()()2211()|(3)03 ()322xxixxiE Xxedxx dex ex edxE X D(Xi2)=2，22()()2iDnD Xn 2 第14页/共28页164. 分布22( )P

7、n 221( )(21)2nun 220.10.75(20)(25)01, 对2( )n 2( )n 2 2( )n 例2.12.44329.339例3.20.95(50) 20.5(1.64599)67.2206 第15页/共28页17构造：若 XN(0, 1), Y2(n), 且 X 与 Y 独立，则)(/ntnYXT 称为自由度为 n 的 t 分布。1. t(n)的概率密度为 tntnnnthn,)1()2()21()(212 第16页/共28页182. h(t)基本性质(p171): (1) 关于t=0(纵轴)对称。 (2) 极限为N(0,1)的密度函数，即 tetthtn,21)()

8、(lim22 第17页/共28页19( )P Ttn 3. t分布的分位点注:1( )( )tntn )(1nt)(nt( )tnu 0.5( )tn (01) 例4.0.950.05(20)(20)tt1.72471.7247 0第18页/共28页20).,(/2121nnFnVnUF 称为自由度为（n1,n2）的 F 分布. 0, 00,)1)(2()()/)(2()(2/ )(2122122/212121111yyynnnynnnnypnnnnn构造: 若 ，且U、V 独立，则)(),(2212nVnU 1. 概率密度为第19页/共28页212. F 分布的性质1) 若 FF(n1,n2

9、)，则),(112nnFF2) 若 Tt(n),则 T2 F(1,n)证：证：nYXT/XN(0,1),)(2nY) 1 (22X)(2nYT2F(1,n)nYXT/1/22第20页/共28页),(21nnF)10(),(21nnFFP3. F 分布的分位点第21页/共28页231),(211nnFFP证明: 设 F F(n1,n2), 则),(1),(12211nnFnnF注：1),(11211nnFFP),(112nnFF),(11211nnFFP),(112nnFFP第22页/共28页24第23页/共28页25证明:niiXnX11是n 个独立的正态 r.v. 的线性组合niiXEnXE1)(1)(nXDnXDnii212)(1)(),(2nNX) 1, 0(/NnX故服从正态分布),(12nNX) 1, 0(/NnX即第24页/共28页26) 1(/4ntnSX证明:) 1, 0(/NnX且两者独立, 根据t 分布的构造) 1() 1(222nSn) 1(/) 1() 1(/22ntnSXnSnnX第25页/共28页27定理) 1, 1(121222