第09讲数值方法

1、相变传热焦冬生热科学和能源工程系2内容1. 准稳态法2. 摄动法3. 数值方法3六 准稳态法半径为R的无穷长的圆管内充满温度为熔点的Tm的液体，当t0时，圆管被突然置于温度TaTm的环境中，因对流冷却而凝固，表面换热系数h为常数。显热相对于潜热要低几个数量级，在热能贮存中，温差不大，可忽略显热。如果用指数积分函数构造精确解，不能满足r=0上的边界条件。近似解，假设：1.物体的热物性为常数；2.管壁热阻忽略；3.SteRTaSORTwTm4 准稳态法 数学方程 固液界面 首先，引入无量纲量am11rSrR(1-a)r rrTkh(TT)rR,t0(1-b)rT=TsR,t0(1-c)TTtmmT

2、=T(1-d)Tdskhrs(1-e)rdt-(-)mmasmamT TrhRXBTTRkc TTsULtSBiSte FoRkhR5附 Paterson法（圆柱坐标） 一条强度为Q的线热汇置于均匀温度的液体中，位置为r=0，温度Ti高于物质的溶解温度。从时间T=0开始，热汇不断吸收热量，凝固过程以r=0为原点开始，且固液界面向r正方向移动。 Paterson认为如果热传导方程解的形式取指数积分函数，则上述问题具有精确解。 指数积分函数uxtx1uxxeeEi( x)Ei(x)dudtx0(42a)utddeeEi( x)du(42b)dxdxux 6附 Paterson法 固相（圆柱坐标）

3、液相 固液界面sss(r, )(r, )11r0rS(t),t0(43)r rrTtTtt llllili(r, )(r, )11rS(t)r,t0(44-a)r rrT(r,t)Tr,t0(44-b)T(r,t)Tr0,t0(44-c)TtTtt slmslsl(r, )(r, )TrS(t),t0(45a)TTdS(t)kkLrS(t),t0(45b)rrdtTtTt7准稳态法 无量纲形式的方程及边界条件、初始条件和界面耦合方程 因Ste0时刻，位于x=0处的表面保持亚凝固温度T0，且T0Ts，于是周围的固体开始熔化。确定熔化区域随时间的变化和温度分布。68固体H界面rrixr0Tw69

4、熔化区内任一点的密度 有效压力 控制方程的守恒型sss(TT )(42) effsppgx(43)2222221 ()0(44)1 ()1()(44)1 ()1(44)1 ()(44)effseffurvaxrrpuuruvg TTubtxrrxpvuvrvvvctxrrrrTuTrvTTdtxrr 70 假定： 相界面上所传递的热量与界面的移动之间，允许有一个时间步长的滞后，即熔化区内，在一个时间步长的间隔内的流动与热量传递是在固定的相界面下计算的。 假定相界面的倾角很小，可认为平行于x轴。 长为dx的一段微元距离内界面上的热平衡以上方程构成完整控制方程初始条件，t=0，液体层厚度为零，为避

5、免出现分母为零，实际计算中从一个很小的均匀厚度开始。形成这一厚度的时间用Stefan精确解得到. 2iSLi222n+1niiiTk2r thr(45)rrrr(46)71为了保持液体区域位于0与1之间，作坐标变换：通过变换，把物理平面上的带运动边界的圆柱坐标系中的计算区域，变成计算平面上不动边界的矩形域。为了把计算时间控制在合理的范围内，而又不严重影响计算结果，假定x方向的导数均忽略不计。00i0rrxrrri0i0i0dr1xrrr dx1rrr72 定义无量纲量200020302/Pr(/)PreffpwsswsSLpwswsSLpuvUVPrrrcTTTTtFo SteTTrhcTTg

6、 TTrRaSteh 73方程组转换为222222RVU10(47a)R(Ri 1)RUV1UU1PSteRaU(47b)PrR(Ri 1)RV1VUV1PVSteV(47c)PrR(Ri 1)RRVU1Ste(47d)R(Ri 1)2RiRi 1 2Ri(47e) i00222rrRiRRi 11rr1R Ri 1R 74 经过变换，在-坐标系内液体区的计算范围已经简化成一个单位宽度的矩形，但控制方程极为复杂。由于计算从某一初始厚度开始，避免出现Ri=1的情形。 固液界面上的两相的密度差别不考虑，则边界条件为：=0U=V=01=1U=V=0=0U=V=00=HU=V=00 xxxx 75 采

7、用控制容积积分法来建立离散方程。 在每一个时间间隔内，Ri为定值因而在离散方程中是常数。 在每一个时层上，这一方程组的求解可采用SIMPLE系列的算法，而在时间坐标上采用隐式格式，又选定的初始时刻向前推进。 在每一个时层的终了获得的收敛值后，可计算由于这段时间间隔内界面上的换热而造成的熔化界区的扩大。122()1nnniiiniRRRR 76 计算中取 在r方向上均分，在X方向上逐密布置，顶部最密。000.0010.01412 141012 20HrHr77SIMPLE算法计算步骤1. 假定一个速度分布，记为U，以此计算动量离散方程中的系数及常数项。2. 假定一个压力场。3. 以此求解两个动量

8、方程.4. 求解压力修正值方程。5. 据此改进速度值。6. 利用改进后的速度场求解那些源项物性等与速度场耦合的变量。7. 利用改进后的速度场重新计算动量离散方程的系数，并用改进后的压力场作为下一层次迭代计算的初值。8. 重复以上计算，直到获得收敛的解。78朗道变换法 通过引进新变量使固液界面不动，该变量用单元离界面的距离与原相的瞬时厚度的比表示单元的位置。该思想由 Landau首次提出。 Saito把该方法应用于一维的凝固问题（ Stefan problem ）。 考虑平板状（0=x=b）液体的凝固，液体与绝热壁面接触，壁面初始温度高于熔解温度。 在t=0时刻，液体表面温度突然降低到低于熔点的

9、温度，并一直保持下去。79Saito 得到如下无量纲控制方程固液界面耦合条件 220220,0(48a),0,0(48b)1,0(48c),01,0(48d)01,0(48e)ssslllilXSXXXSXXXXXX 1(49),(50)slslfdSkXSXXdXX2sillisstxsTXSbbbTkCTkLk80固定的固液界面，依赖于以下两个变量1XSXSS81控制方程: Solid phase : Liquid phase: 边界条件 : 通过隐式差分可解出上述方程.2220101(51 a),0(51 b)ssssdSsS dX222101(52a)1101(52b)lllldSS

10、dS1,0,(53a)11,0,(53b)slslfkdSS dSS ddt82 Beaubouff,Chapman,Duda,Saitoh和 Sparrow应用于二维的凝固问题。 为了进一步细化该方法Hsu 等对体积控制法作了坐标变换。 该方法的进一步应用有：Cheung 等有热源的一维相变问题, Ho 和 Viskanta,Gadgil, Gobin矩形空腔谐振器内的熔解问题以及 Ho 和 Viskanta水平管内的熔解问题. 83优点1) 该方法应用于具有复杂的固液界面和表面边界条件的相变问题使其变得更容易。2) 能很容易的在液相内引进自然对流。3) 然而，通常这种方法应用于二维问题会引

11、出十分复杂的方程和求解迭代方法。为了获得原始空间变量的解需要额外的计算。 4) 在其他变量不变的情况下， Gupta and Kumar对一个变量作了变换。有限单元法将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。步骤1：剖分:将待解区域进行分割，离散成有限个元素的集合。元素（单元）的形状原则上是任意的。二维问题一般采用三角形单元或矩形单元，三维空间可采用四面体或多面体等。每个单元的顶点称为节点（或结点）。步骤2：单元分析:进行分片插值，即将分割单元中任意点的未知函数用该分割单元中形状函数及离散网格点上的函数值展开，即建立一个线性插值函数。步骤3：求解近似变分方程用有限个单元将连续体离散化，通过对有限个单元作分片插值求解各种力学、物理问题的一种数值方法。87有限单元法 对于纯金属的凝固过程, 相变温度为一确定值, 忽略对流项和辐射项, 热传导方程可写成固相SSSTkTCtLLLTkTCt fSLLffdRtTTkkLnndt 为了适用于多维问题计算以及处理带有相变区间的情况, 引入焓H 、熵S 两个物理量0THcdT0TSkdT 在整个区域用统一的能量