专题1 【圆】

1、圆的概念及性质进阶篇(上）【板块一】垂径定理 1垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。2平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；【例1】如下图，O过点B、C。圆心O在等腰直角ABC的内部，BAC90，OA1，BC6，则O的半径为_。如下图，在O内有折线OABC，其中OA8，AB12，AB60，则BC的长为_。如下图，一个宽为2的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时，另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，那么该光盘的直径是 。【例2】 如图，已知AB是半圆O的直径，C为半圆周上一点，M是AC的中点，MNAB于N，试判断MN与AC的数量

2、关系并证明。【板块二】弧、弦、圆心角、弦心距的关系定理 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，弦心距也相等。推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等。【例3】已知：如图，MN是O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是弧AN的中点，P是MN上一动点，O的半径为1，则PAPB的最小值是_。 (北大附中月考) ABC中，A70，O截ABC的三边所截得的弦都相等，则BOC_。(北大附中月考) 如图所示在O中，AB2CD，那么( )ABCD的大小关系不能确定【例4】已知AD是O的直径，AB、AC是弦， 若AD2

3、，AB，AC，求由A、B、C、D四点构成的四边形的周长。挑战题：如图，圆内接四边形ABCD，ACBD，OMBC，求证：测试题1如图，的直径，弦，则弦的长为( )ABCD2如图所示，已知为的直径，是弦，且于点。连接。若，则的直径为 ( )A12B13C26D393如图，AB为O的一固定直径，它把O分成上、下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CDAB，OCD的平分线交O于点P，当点C在上半圆(不包括A、B两点)上移动时，点P( )A到CD的距离保持不变 B位置不变C等分 D随C点移动而移动4如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子OA、OB在O点钉在一起，并使它们保持垂直，在测直径时，

4、把O点靠在圆周上，读得刻度OE8个单位，OF6个单位，则圆的直径为( )A12个单位 B10个单位 C1个单位 D15个单位5如图，ABC内接于O，若A40，则OBC的度数( )A20 B40 C50 D706如图，在O中，弦AB等于O的半径，OCAB交O于点C，则AOC 。A15B30C45D607过O内一点M的最长弦为10cm，最短弦长为8cm，则OM的长为( )A9cm B6cm C3cm D圆的概念及性质进阶篇(下）挑战题：如图，圆内接四边形ABCD，ACBD，OMBC，求证：板块三 圆周角定理圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。【例

5、1】1 下图，ABC内接于O，ABBC，ABC120，AD为O的直径，AD6，那么BD _。如下图，AB是O的直径，点C、D在O上，BOC110，ADOC，则AOD( ) A70 B60C50D40 2 下图，O的半径为1，AB是O的一条弦，且AB，则弦AB所对圆周角的度数为_。(3)已知圆内接四边形ABCD中AB11，BC9，CD3，如图，则AD_。【例2】在ABC中，ACBC，M是它的外接圆上包含点C的弧AB的中点，AC上的点X使得MXAC，求证：AXXCCB。【经典真题】如图，ABC的三边满足关系，O、I分别为ABC的外心、内心，BAC的外角平分线交O于E，AI的延长线交O于D，DE交B

6、C 于H。求证：AIBD；（2）。测试题1如图，是的外接圆，是直径若，则等于( )A60B50C40D302如图，是的外接圆，已知，则的大小为( )A30B40C45D503如图，是的直径，是上一点，且平分，则( )A3B4C5D64如图，已知为的直径，过点的弦平行于半径，若，则()A50B40C30D25 5如图，已知的直径为，的度数为，弦的弦心距的长是( )ABCD6如图，是上的两个点，是直径，若，则的度数是( )A35B55C65D70 7已知：如图，四边形是的内接正方形，点是劣弧上不同于点的任意一点，则的度数是( )A45B60C75D908如图，是的直径，是的切线，为切点，连结交于点

7、，连结，若，则下列结论正确的是( )ABCD9如图，在中，若以点为圆心，长为半径的圆恰好经过的中点，交于点，则的长等于( )ABCD10已知，如图：为的直径，交于点，交于点，以下结论正确的是( )A劣弧是劣弧的3倍B劣弧是劣弧的2倍C劣弧是劣弧的倍D劣弧是劣弧的倍11如图，已知为的弦，从圆上任一点引弦，作的角平分线交于点，连结，且，则( )ABCD 12已知：如图，是的直径，点是半圆上一个中点，点是的靠近点的三等分点，是上一动点，的半径为，则的最小值是( )ABCD与圆有关的位置关系进阶篇（上）题型一：切线的性质定理【例1】如图，在ABC中，C90，AC3，BC4。O为BC边上一点，以O为圆心

8、，OB为半径作半圆与BC边和 AB边分别交于点D、E，连结DE。 （1）当BD3时，求线段DE的长； （2）点E作半圆O的切线，当切线与AC边相交时，设交点为F。求证：FAE是等腰三角形。 题型二：切线的判定定理【例2】如图，已知RtABC中，ACB90，BD平分ABC，以D为圆心、CD长为半径作D，与AC的另一个交点为E。 （1） 求证：AB与D相切； （2）AC4，BC3，求AE的长。 【例3】如图，O是RtABC的外接圆，ABC90，点P是圆外一点，PA切O于点A，且PAPB。 求证：PB是O的切线； 3 知PA，BC1，求O的半径。 【例4】如图，A是以BC为直径的O上一点，ADBC于

9、点D，过点B作O的切线，与CA的延长线相交于点E，G是AD的中点，连结CG并延长与BE相交于点F，延长AF与CB的延长线相交于点P。 求证：BFEF； 求证：PA是O的切线； 4 FGBF，且O的半径长为，求BD和FG的长度。 题型三：切线长定理切线长和切线长定理：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 【挑战题】在RtABC中，C90，AC3，BC4，求ABC内切圆的半径。 测试题1如图，直线AB与O相切于点A，O的半径为2，若OBA30，则OB的长为( )A B4 C

10、D22如图，已知PA、PB是O的切线，A、B分别为切点，C为O上不与A、B重合的另一点，若ACB120，则APB( )A40 B50 C60 D703如图，AP、BP是O的切线，若ACPO6，则APB( )A40 B30 C80 D604如图，P为O外一点，PA、PB分别切O的切线，A、B为切点，并与O的切线分别交于C、D，已知PA7，则PCD的周长为( )A7 B10 C14 D215已知，在RtABC中，C90，a3，b4，则内切圆的半径是( )A1 B2 C1.5 D36已知，直角三角形的外接圆半径为5，内切圆的半径为1，则此三角形的周长是( )A20 B12 C30 D407如图，AB

11、是O的直径，点D在AB的延长线上，CD切O于C，若A25，则D( )A40 B50 C60 D708如图，AB与O相切于点B，线段OA与弦BC垂直于点D，AOB60，BC4cm，则切线AB( )A3cm B4 cm C5 cm D6 cm9如图，以直角梯形ABCD的腰CD为直径的半圆O与梯形上底AD、下底BC以及腰AB均相切，则下轮结论中正确的是( )A以AB为直径的圆与CD相切 B以AB为直径的圆与AD相切C以AB为直径的圆与BC相切 D以AB为直径的圆与CD无交点10如图，AB是O的弦，C是O外一点，BC是O的切线，AB交过C点的直径于点D，OACD，则BCD的形状是( )A直角三角形 B

12、等腰三角形C钝角三角形 D以上答案都不对11如图，O的半径OAOB，点D在OB的延长线上，连结AD交O于Q，过点Q作直线PQ交OD于点C，若CDCQ，则下列结论正确的是( )APQ是O的切线 BAQ一定与OA相等CAD一定是OA的2倍 D以上答案都不对12如图，AB是O的直径，CD切O于C，AECD，BC延长后与AE的延长线交与F，AFBF，则A的度数为( )A50 B60C45 D70与圆有关的位置关系进阶篇(下)【挑战题】在RtABC中，C90，AC3，BC4，求ABC内切圆的半径。 【例1】如图，ABC外有n个等圆，相邻两圆相外切，且与线段BC相切，与线段AB，AC的延长线相切，若AC4

13、，BC3，求这些圆的半径r。 【例2】已知：AB是半圆O的直径，点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合)，以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D， DCB的平分线与半圆M交于点E。 求证：CD是半圆O的切线；作EFAB于点F，猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明； 在上述条件下，过点E作CB的平行线交CD于点N，当NA与半圆O相切时，求EOC的正切值。圆中的其他相关定理1相交弦定理 圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的乘积相等。 2 弦切角定理定义：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。如图，PA是O的切线，A是切点

14、，AB是弦，则PABACB。3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。4割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。如图，PT是O的切线，T是切点，PAB、PCD是割线，则PT2PAPB，PAPBPCPD。测试题1如右图所示，的内切圆与三边、分别切于、。，则AO的长是( )A2B4 C D2如图，在中，AB是直径，AD是弦，。若，求BC的长是( )A6B4 C3 D23如图，已知中，平分，以为圆心、长为半径作与的另一个交点为。若，则的长是( )A4B3 C2 D14把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放

15、在桌面上，使它们两两外切，若要用一个大圆形纸片把这三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于( )AB13 CD185在平行四边形中，以为直径作，则圆心O到CD的距离为( )(用含m的代数式来表示)A BC D6已知：如图，由正方形的顶点引一条直线分别交、及的延长线于点、，则和的外接圆有( )个交点A1 B2 C3 D不确定7如图，弦垂直于的直径，垂足为，且， ，则的长为()A1 B2 C3 D48如图，在中，为边上一点，以为圆心，为半径作半圆与边和边分别交于点，连结过点作半圆的切线，当切线与边相交时，设交点为则是( )A等腰三角形B正三角形C直角三角形D钝角三角形9如图，的直径与的

16、夹角为，切线与的延长线交于点，若的半径为，则的长为( )A6 BC D310如图，的弦，的延长线交于点，若，则等于( )A4 BC D不确定11如图中， 以为直径的交斜边于，交于，则等于( )A30B45 C55D6012如图，是半圆的直径，于点，。已知点在的延长线上，与半圆交于，且，则的长为_。A1 B2 C D 圆中的计算与证明进阶篇板块一：圆中的计算 24 / 24圆的计算中的相关公式：圆的周长Cd2r 圆的面积Sr2 扇形弧长l扇形面积Slr 多边形内角和180(n2) 多边形外角和360圆柱侧面积S2rh 圆柱表面积S2rh2r22r(hr) 圆柱体积Vr2h 圆锥侧面积Srl 圆锥

17、表面积Srlr2r(lr) 圆锥体积Vr2 h 【例1】 (深圳)如图，已知点A、B、C 、D均在已知圆上，ADBC，AC平分BCD，ADC120，四边形ABCD的周长为10。图中阴影部分的面积为_。 (山东)如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60，此时点B到了点B，则图中阴影部分的面积是( ) A6B5C4D3 (浙江嘉兴)如图， P内含于O，O的弦AB切P于点C，且ABOP。若阴影部分的面积为9，则弦AB的长为_ 。 【例2】 (辽宁丹东)如图，已知在O中，AB，AC是O的直径，ACBD 于F，A30。 求图中阴影部分的面积； 若用阴影扇形OBD围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底

18、面圆的半径。 【例3】 (兰州)如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A、与大圆相交于点B。小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分ACB。 试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；试判断线段AC、AD、BC之间的数量关系，并说明理由；若AB8cm，BC10cm，求大圆与小圆围成的圆环的面积【例4】 (湖北十堰市)如图，已知O1与O2都过点A，AO1是O2的切线， O1交O1O2于点B，连结AB并延长交O2于点C，连结O2C。 求证：O2CO1O2；证明：ABBC2O2BBO1 如果AB BC12，O2C4 ，求AO1的长。 测试题1把一只折扇展开成一个扇形，它的圆心角为120，半径为6，则这个扇形的弧长为( )AB2C3D42朝阳市第三中学要修建一个圆心角为60，半径为12米的扇形投掷场地，则该扇形场地的面积约为( )米2。(取3.14，结果精确到0.1米2 )A75.0B75.2C75.4 D75.83如图，在ABC中，ACB90，B25，以C为圆心，CA为