波动的稳定性

1、高高 等等 动动 力力 气气 象象 学学（动力气象学（动力气象学II II）郭郭 品品 文文大大 气气 科科 学学 学学 院院天气尺度的波动，控制日常天气； 发生、发展、移动的机制、规律大气波动学：波动的性质、机制、求解波速讨论传播问题 大气能量学： 天气尺度系统的发生发展问题。 动：扰动，涡旋运动，波环流，基本气流：纬向平均气流，大气VVVVV,波动是叠加在基本气流上；或说基本气流受扰动，会产生波动。 波动发展了波动发展了波能增加波能增加波振幅增大波振幅增大天气系统发生发展天气系统发生发展波动振幅变化波动振幅变化1 波动稳定性的基本概念波动稳定性的基本概念波动或者流动稳定性问题首先在流体力学

2、中被讨论和定义：如果气流受到扰动：1）扰动发展，（基本气流由层流变为）扰动发展，（基本气流由层流变为湍流），即基本气流是不稳定，叠加湍流），即基本气流是不稳定，叠加在其上的扰动是不稳定；在其上的扰动是不稳定；2）扰动减弱，或始终很小，则基本气）扰动减弱，或始终很小，则基本气流是稳定的，扰动也是稳定的。流是稳定的，扰动也是稳定的。流体力学侧重的是基本气流是否稳定，（纯粹是动力学问题）；而气象上侧重的是波动是否稳定，（动力、热力问题）。如果波动或扰动能发展， 这个波动就是不稳定的；如果波动或扰动不发展，即始终很小或衰减， 这个波动就是稳定的。从能量学来讲，如果波动的动能K增加了，波动发展了，则不稳

3、定。具体的，对于天气尺度波动（Rossby波）正压不稳定的斜压不稳定的KKKA如：纬向基流时如：纬向基流时dMyuvuKKM,取决于波和流的结构配置 均匀基流 波动是正压稳定的0,0KKyu讨论波动传播问题时，均匀基流讨论波动发展问题时，非均匀基流2 波动稳定性的数学表达波动稳定性的数学表达 简谐波解 )()(tkxictxikAeAeAConst，k(x-ct)位相：波动传播不能讨论波的稳定性问题。 实际上，c或可以是复数， )()(tCxiktkCtkCtCxikirriireAeeAeiCCC这样：)(tAAetkCi记：记：)(),()(*)(*tCxktAetArtCxikr位相为振

4、幅为不稳定，还是，不论稳定常量，扰动始终很小，则如果000AA0iiCC实际波动是有很多简谐波叠加而成，振荡解都是共轭出现的 kirkxdtxd特征根：如简谐振荡方程，22t kit kiBeAex振荡解：对于波动，两个特征解都是成对地、共轭出现的： irriCCiC波动都是发展的。时，只要当,0iitkCitkCCteBeeAeii波动是否稳定，只要判断Ci是否等于0。波动发展，波动不稳定 波动不发展，波动稳定 0iC0iC重力内波、惯性波：受力机制很清楚；一般直接从振荡看是否稳定，由此，可以得到：静力稳定度、惯性稳定度。 而Rossby波的产生机制是效应， 从涡旋场（涡度方程）讨论Ross

5、by波，而没有具体讨论其振荡受力情况；一般从Ci是否等于是否等于0判别其稳定性。判别其稳定性。3 静力稳定度静力稳定度气块法气块法讨论浮力振荡（层结）稳定性问题讨论浮力振荡（层结）稳定性问题 气块受扰离开平衡位置向上扰动。 )()()()()()()()()()(zzTzPzPzzTzPzzTzP，准静力过程绝热膨胀上升过程中，气块作干，气块要素：，环境要素：上升故z处气团所受的净浮力的方向，取决于 与，或与TT哪个下降得块。 zPgdtdw1gzPzPgdtdwgTTTgRTPRTPTRPgdtdwzzTzzTzTTzzTzdzdTzTTd)()()()(0000zTgdtdwd)(zgTg

6、Ndln)(2zNdtdw2定能量而增强，层结不稳，力作正功，扰动得到性的；，力不作功，层结是中，层结是稳定的；，力作负功，扰动减弱000222NNN4 惯性稳定度惯性稳定度 科氏力作用下，惯性振荡的稳定性问题。如果仅受科氏力作，运动轨迹是一个惯性圆；由于科氏力作不作功，K不会增加，故是稳定的。实际大气，振荡发生在基本气流下：均匀基流：一边振荡，一边向下游运动；运动的性质不变切变基流（实际大气）：基本状态(背景场）：地转平衡010)(1xfvyuyfuggg一定存在如图所示的气压场： )(000guufyufdtdvvfdtdu静力稳定度：层结大气中，垂直面内；考虑重力和垂直向的压力梯度力（浮

7、力）的合力的方向，与位移的方向的关系。 惯性稳定度：水平面内（南北向）；考虑科氏力和南北向的压力梯度力的合力的方向，与位移的方向的关系。)0(gu初始环境场：)0(0guu 质点速度：受到扰动到y处，环境：yyuuyuyggg0)0()(质点 ：ydyduuyu0)(yfuyufvvfdtdydtdudydu0000)()0()(0000yyuuyfufuufdtdvgggyyuffdtdvg)(0不稳定中性稳定000yufg正如静力惯性度取决于层结（背景）， 惯性稳定度也取决于环境背景基本气流的绝对涡度 一般地，实际大气（北半球）：151610140101010, 0,10ssyufsfg一

8、般都有 0，为稳定的。 a要使 00yufga，不稳定 yuyuxvggggaggfyuf基本气流的绝对涡度。 一般地，实际大气（北半球）：00fyug0yug0yug在急流轴以北： 以南：5 正压不稳定正压不稳定Rossby波的正压不稳定问题波的正压不稳定问题 VVV1描写Rossby波的方程：考虑方程：考虑效应效应00)(&0yvxuyuxvfdtdvyvxut水平无辐散下的涡度方程；非线性方程。2线性化线性化),(),()(tyxvvtyxuyuuConstyu)(纬向切变的基本气流： 0,0 yudxdyyuvuAKK0),(vyuu切变气流下，能量发生相互转化。 如果基流是均匀的，则

9、一定是稳定的；如果基流是均匀的，则一定是稳定的； 如果波不稳定，则基流一定是非均匀的（一般是纬向切变的）。yuxvdyud,0yvxu2,xvyu(*)0)()(0)()(0)(222xdyudxyutvyxyutvyvyvxuut变系数的偏微分方程。 3形式解：形式解：时，取当Constu )(tlykxiAe但现在 或c可能是复数； 匀方向介质（基流）不均的函数方程系数是yy 一定是y的函数，且x方向上仍是均匀的 )()(ctxikeyiriCCCiri所以ikctikx,且有0)()(0)()()()(2222222222dyuddydkyuceyikdyudeydydikyuikikc

10、ii0)(22222kcudyuddyd4两个边条件边条件02121,yyyyxv波的情况通道Rossby0)()(0)(2122222yykcudyuddyd这是齐次方程，会有零解；求取非零解的条件本征值问题。若系数为常系数，则可求本征值；但是现在为变系数的，这样的本征值问题在数学上是不可解的 而我们现在不要求解，只要知道Ci是否等于0的条件雷利：1920s，层流不稳定问题； 郭晓岚：1949，提出正压不稳定理论。雷利解：令：iririiCCc,iririricuiCCuiCCucu211则：则：0)()(2222222iriririkidyuddydidyd虚、实部分开，得到两个方程：)

11、1 (0)()(2222222iirrrdyuddyudkdyd)2(0)()(2222222riiridyuddyudkdyd)()(0)()(1211yyyyirirri)2() 1 (0)()()(2222222222riiiirridyuddyuddyddyd0)()(2222222iirridyuddyddyd0)()(0)()(0)()(2121212121212222222222222yyiyyirriyyiyyirriyyiyyirridydyuddyddyddydyuddydyddyddyddydyuddydyddyd)()(0)()(1211yyyyirir00)(2121

12、22222222yyiyyidycudyudCdycuCdyud00)(212122222222yyiyyidycudyudCdycuCdyud要使波动不稳定，即 0212222yydycudyud必须有 0iC必须有：被积函数 2222cudyud在积分区域内变号 22dyud在积分区域中变号。 根据Rolle中值定理，在区域中至少存在一点至少存在一点 )(21yyyyss，使得： 0)(22sydyuddyudfa22dyuddyda在区域中至少存在一点 )(21yyyyss基本气流的绝对涡度的经向梯度存在零点；在这一点上，绝对涡度取极值。正压不稳定的必要条件0, 022dyud022dy

13、ud22dyud022dyud, 022dyud北半球：故使得比较容易； 而使积分值为0，必然要求有0的部分，即即热带地区（下凹的）也有，但很少。,Constu 0)(22sydyud,Constu KK4 . 0“均匀基流下，Rossby波正压稳定”的原因是什么？1）从判据上讲： 如果，Rossby波正压稳定。2）从能量上讲： 如果Rossby波与基流间无相互作用，Rossby波不能得到能量，故Rossby波不能发展，正压稳定。(3)从全球平均状况讲，即Rossby波正压稳定。6 斜压不稳定斜压不稳定 斜压大气中，Rossby波的不稳定。KA 斜压大气： ),(Tpf1）等压面与等容面相交（

14、流体力学）；2）等压面上温度分布不均匀（动力气象）。则：1）从能量的角度看，具有有效位能，使波动发展，能量增加； 2）有热成风存在，各层大气的运动是不一样的。0pVg气象要素，如风场、温度场随高度（p) 是连续变化的 p每层厚度为成很多层，将大气在垂直方向上分层内值相同，层与层之间值不相同。 。时，分布趋于实际情况当0p如果是正压大气，由于整层大气运动一如果是正压大气，由于整层大气运动一致，那么整个大气可以处理为一层。致，那么整个大气可以处理为一层。对于斜压大气，运动随高度而变，将大对于斜压大气，运动随高度而变，将大气进行分层，以体现各层大气运动的差气进行分层，以体现各层大气运动的差异。异。精

15、确的分层应该分成无穷多层精确的分层应该分成无穷多层垂直方向上分层：目的：垂直方向大气上下不同精度：分得越细，精度越高数值预报从最初的二层模式发展到现在的几十层。 对于斜压大气，对于斜压大气，至少要分成2层；上下两层不同，才能体现出大气的斜压性。在理论研究中最多使用的是二层模式 本节：本节：（1）如何处理斜压大气。 （2）Rossby波的斜压不稳定。采用p坐标系下的绝热无摩擦方程组：绝热无摩擦方程组：与层结有关的参数。_ln0)()()(0pppyvpxuptpyvxuPRTpfuypvyvvxvutvfvxpuyuvxuutussTvu,非线性方程。 线性化：线性化： sssvvupuu,)(

16、斜压不稳定）波动不稳定一定是正压稳定的，如果此时变，一定是不随即正压不稳定的性质，作用的性质，的变化，体现波流相互随（体现大气的斜压性。yuyupuu)(0)2()1( pyvxuufyxvutvv fxpuxuutu0ufppuuufyufy00v)()(0)(0;000)()( ）（）（，而右边左边得到代入原方程组第二式，把基本气流满足原方程，pufypvpyvpxuttv fxxpyvpxuts0)svpufpxut（把方程（1）和方程（2）化为涡度方程，并且假设扰动与y无关（波动是一维）。) 1 ()2(yx得到： 0)(vxufxvxut波动或扰动与y无关0,Vyvxuxuyuxvx

17、v低层低压有辐合，产生气旋； 高层高压有辐散，产生反气旋；500hPa相当于正压层，基本无辐散， 最大； 在500hPa上Rossby波很清楚， 效应形成Rossby波。槽前暖空气，偏南风；槽后冷空气，偏北风。温度槽落后于高度槽。槽经常西倾：冷暖空气排列。进一步设：准地转： xfv1连续方程： pxu代入涡度方程，得到：涡度方程，得到：1*0)(222xpfxxut从数学上讲，2个未知量，单由此方程不可解；从物理上讲，没有引入热力过程，无法体现辐合辐散、垂直运动。热力学方程：热力学方程：2*0)(sxpupxut化。产生上下不同的涡度变下相反）产生水平辅合辐散（上联系的变化，与垂直运动相)(T

18、p动强度代表下层大气的涡旋运动强度代表上层大气的涡旋运层上写在上下层大气的中间把31把相应的涡度方程也分别写到每一层的中间层上。热力方程写在交界面上它与热力过程相联系，界面上写在上下二层大气的交直运动是联系上下层大气的垂2上下层的联系交界层的垂直运动下层波的变化描述上层大气0)()(0)()(Rossby0)()(2222233223231122121sxpupxutxpfxxutxpfxxut2222232323231212121)()()()()()(sxpupxutpfxxxutpfxxxut用差分代替微分：在这些层上的这些量没有记录只能通过相邻的有记录的站点的这些量的值作内插得到。pp

19、PPp22)(2220201ppPPp22)(2242423pPPp2)(1313132斜压项，显示的是扰动随高度的不同puuPPuupu2)uu2312P2层体现的是整层大气的性质，相当于正压层。 23113133122032323220121212)()2()(2(2)(2)(spxuuxuutpfxxxutpfxxxut231,线性方程组，闭合的，可求解。 令： )(1ctxikAe)(3ctxikBe)(2ctxikEe 三个振幅不同，位相不同。令A，B为复数，AieAA0BieBB0如果A，B为实数，则：槽不倾斜，体现不出斜压性。 代入上面的方程组，得到：02)()(02)(02)(1320232021EpBucikAucikEpfBkucikEpfAkuciks这是关于A，B，E的线性齐次代数方程组。如果它有非零解，条件是：系数行列式0，02)()(2)(020