复习-3不定积分、定积分及其应用

1、一一 不定积分不定积分1 1、第一类换元法、第一类换元法 dxxxf)()( )()(xuduuf ;)(. 11dxxxfnn ;)(. 2dxxxf;)(ln. 3dxxxf;1)1(. 42dxxxf ;cos)(sin. 5xdxxf;)(. 6dxaafxx常见类型常见类型:;sec)(tan. 72xdxxf;1)(arctan. 82dxxxf 3 3、第一类换元法、第一类换元法 dxxxf)()( )()(xuduuf 2 2、第二类换元法、第二类换元法)(1)()()(xtdtttfdxxf 常用代换常用代换:常用三角函数代换常用三角函数代换. 2nbax 对对于于. 1tb

2、axn 令令 ashtxtaxxa .tan,222令令 .sin,122taxxa 令令3 3、分部积分法、分部积分法dxvuuvdxvu dxvu udvduvuv ,dxvuuv 积积分分分部积分分部积分求求导导:计算过程计算过程.dxexxk .xdxsinxk .xdxcosxk 一般一般.dxexaxk .axdxsinxk .axdxcosxk 归纳归纳:.xdxarctanxk Nk.xdxlnxk 一般一般.xdxlnxnk （1）有理函数的积分）有理函数的积分01110111)()(bxbxbxbaxaxaxaxQxPmmmmnnnn 4. 有理函数与可化为有理函数的积分有

3、理函数与可化为有理函数的积分（2） 简单无理函数的积分简单无理函数的积分类型：类型：),(nbaxxR ;nbaxt 令令),(necxbaxxR ;necxbaxt 令令基本积分表基本积分表 kCkxkdx()1(是常数是常数)1(1)2(1 Cxdxx Cxxdxln)3( dxx211)4(Cx arctan dxx211)5(Cx arcsin xdxcos)6(Cx sin xdxsin)7(Cx cos xdxxtansec)10(Cx sec xdxxcotcsc)11(Cx csc dxex)12(Cex xdx2cos)8( xdx2secCx tan xdx2sin)9(

4、xdx2cscCx cot dxax)13(Caax ln Cxxdxcoslntan)14( Cxxdxsinlncot)15( Cxxxdxtanseclnsec)16( Cxxxdxcotcsclncsc)17(Caxadxxa arctan11)18(22Cxaxaadxxa ln211)20(22Caxdxxa arcsin1)21(22Caxxdxax 2222ln1)22(Caxaxadxax ln211)19(22例例1 1 求求.)ln21(1dxxx 解解dxxx )ln21(1)(lnln211xdx )ln21(ln21121xdx xuln21 duu121Culn

5、21.Cxlnln 2121例例2 2 求求.25812dxxx dxxx 25812dxx 9)4(12dxx 13413122 341341312xdx.34arctan31Cx )4(3)4(1(22 xdx解解.arctan1122Caxadxxa 例例3 3 求求解解.423dxxx 令令txsin2 tdtdxcos2 )2,2( tdxxx 234 tdtttcos2sin44sin223 tdtt23cossin32 tdttt22cos)cos1(sin32 tdttcos)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253 .4514345232Cxx 24s

6、in1cos22xtt 例例4 4 求积分求积分.ln13 xdxx）（解解(1) xdxx ln3 xlndxxlnx44144.161ln4144Cxxx 44xxdln dxxxxlnx144144 dxxxlnx344141 .ln22 xdxx解解(2) xdxx2ln xdxxx2222ln21ln21 2ln22xxd xdxxxxlnln2122222ln21ln21 xdxxx)lnln(21ln212222 xdxxxxx xdxxxxx21ln21ln21222Cxxxxx 222241ln21ln21Cxxx ）（1ln2ln2422dxxx )2(1. 17思考题思考

7、题思考题思考题2., 1max dxx求求问题问题1:1:曲边梯形的面积曲边梯形的面积问题问题2:2:变速直线运动的路程变速直线运动的路程存在定理存在定理反常积分反常积分定积分定积分定积分定积分的性质的性质定积分的定积分的计算法计算法牛顿牛顿- -莱布尼茨公式莱布尼茨公式)()()(aFbFdxxfba 一、主要内容一、主要内容二二 定积分定积分, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积的负值曲边梯形的面积的负值定积分的几何意义定积分的几何意义一般情况下一般情况下 ba1A2A3A4A 4321AAAA badxxf)(3

8、 3、定积分、定积分中值定理中值定理 使使dxxfba )()(abf )(ba 积分中值公式积分中值公式性质. 0)( aadxxf则则 aaadxxfdxxf0)(2)(则则积分上限函数及其导数积分上限函数及其导数 dtxatfxF xxfxF 则则变上限的求导变上限的求导推广推广 :1变变上上限限的的求求导导推推广广 :2 xxfxxfxF 并并且且 ，xx，xf可可导导与与连连续续设设 可可导导则则dtxxtfxF .1,22215fxfdtxxtxf 求求导导数数例例解解 xxxxxf221122222441212xxx 52221 f例例6 6 求求.lim21cos02xdtex

9、tx 解解21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00这是这是 型不定式，型不定式，)()(lim21cos20 xdtextx dttfaxxFxfbaCxfxa 1. 0,)(3思考题思考题 .xF,b,a0 内内在在证证明明4 4、定积分的计算法、定积分的计算法 dtttfdxxfba )()()(换元公式换元公式（1）换元法）换元法（2）分部积分法）分部积分法对应对应 babaudvdxvu babavduuv babadxuvuv例例7 7解解.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdxdxxx 402cos2

10、 xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x .42ln8 例例8 8 计算计算解解.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 tx ln可可以以换换元元 tx ln可可以以换换元元定积分公式定积分公式 2200cossinxdxxdxInnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 为正偶数为正偶数为大于为大于1的正奇数的正奇数推广推广 22323sinsinxdxxdxnn 2

11、0sinsin2xdxnxdxnIn xdxxdx 0033cos2sin1应应用用 20coscos2xdxxdxInnn 22323coscosxdxxdxnn xdxxdx 2002cos62sin543 xdxxdx 0044cos4sin35、反常反常积分积分(广义广义积分积分)(1)无穷限的无穷限的反常反常积分积分 adxxf)( babdxxf)(lim bdxxf)( baadxxf)(lim 00)()()(dxxfdxxfdxxf;ln:. 92 edxxxe求求反反常常积积分分例例 收收敛敛解解 eeedxxxdxxedxxxe222lnln eexxdxe1ln eed

12、xxxx21ln1exee21111 收收敛敛思考题思考题41 平面图形的面积平面图形的面积xyo)(xfy badxxfA)(xyo)(1xfy )(2xfy badxxfxfA)()(12AA直角坐标情形直角坐标情形abab几几何何应应用用一一.三三 定积分的应用定积分的应用 dcdyygA)(有有 dcdyygygA)()(12dycygx );(0同理对于图形同理对于图形dycygxyg );()(21对对于于图图形形解解两曲线的交点两曲线的交点).4 , 8(),2, 2( 422xyxy选选 为积分变量为积分变量y4, 2 yxy22 4 xy42 yx221yx dyyyA 42

13、2)24( 18 dA2)(21xo d )( r xo)(2 r)(1 r dA)()(212122极坐标情形极坐标情形2 体积体积xdxx xyodxxfVba2)( dyyVdc2)( xyo)(yx cd旋转体的体积旋转体的体积xyab xfy 柱壳法柱壳法dxxfxVbay| )(|2 x badxxAV)(平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积)(xAabx解解1dyy 40412 .64 3dyPQM 4022)43()43(dyyyV xy3x24xy x 3:由柱壳法由柱壳法 dxxyxdV 32 dxxx2432 dxxxV 222)4(32 .64

14、2 224xy 3 平面曲线的弧长平面曲线的弧长xoyabxdxx 弧长弧长dxysba 21A曲线弧为曲线弧为 )()(tytx )( t其其中中)(),(tt 在在, 上上具具有有连连续续导导数数弧长弧长dttts )()(22 baxfy,C)(1 B曲线弧为曲线弧为ds1 变力所作的功变力所作的功)(xFo abxdxx x 物物理理应应用用二二. badxxFW)(排水作功排水作功 ,或或某某均均匀匀的的液液体体的的水水一一个个容容器器内内含含有有一一定定量量.功功问问排排空空该该容容器器需需作作多多少少x xs设离开容器顶部的容器设离开容器顶部的容器 为为部部分分的的液液体体的的体

15、体积积元元素素则则dxxx , dxxsdV 作的功为作的功为将它提升到容器顶部所将它提升到容器顶部所gdVxdw dxxgsx dV 是液体的密度是液体的密度 dw ,xs截截面面积积为为2 水水(液液)压力压力xyoabxdxx )(xf)(为为比比重重 dS面积元素面积元素压强压强 badxxxfP)( 3 （了解）引力（了解）引力)(为引力系数为引力系数G4. 函数的平均值函数的平均值 badxxfaby)(1xyxdxx oAl l abc2322)(xadxGxFcbx cbyxadxaGF2322)( oxyRh解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.半半圆圆的的方方程程为为于

16、是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有).0(2)(2222RyyRyRyRx 的半球形水池的半球形水池的流量往半径为的流量往半径为以每秒以每秒例例Ra.12时时水水求求在在池池中中水水深深内内注注水水)0()1( .Rhh ,)2(;若若再再将将满满池池水水面面上上升升的的速速度度?至少需作功多少至少需作功多少全部抽出全部抽出).0()(222RyRRyx 轴旋转而成轴旋转而成圆绕圆绕因已知半球可看作此半因已知半球可看作此半y)1(dyyRydyxhVhh 0202)2()(得得求求导导两两边边对对,tdtdhhRhadtdV)2(2 时水池内水的体积为时水池内水的体积为为为 h的球缺的体

17、积即水深的球缺的体积即水深故半球内高为故半球内高为的立体的立体h,oxyRhadthdV )(由由于于故水深故水深h处所求速度为处所求速度为.)2(2hRhadtdh 需需的的最最小小功功即即将将池池内内将将满满池池的的水水全全部部抽抽出出所所)2(,轴的平面截半球体轴的平面截半球体垂直于垂直于处处在坐标在坐标yy 222yRyyxyA oxyRh dyyAdV 簿簿片片体体积积元元素素 dyyRy22 y.所需的功所需的功水全部提升到池沿高度水全部提升到池沿高度所得的截面面积为所得的截面面积为解解 建立坐标系如图建立坐标系如图xoa2a2a面积元素面积元素,)(2dxxa dxxaaxdP)(2)2( dxxaaxPa )(2(20 .373a 水水面面 xay 2y)2()2(axaxp 压压强强xyo164 xdxx AB5030梯梯形形的的上上下下底底如如图图所所示示一一等等腰腰梯梯形形闸闸门门思思考考题题,5如果闸门