随机变量及其分布习题解答

1、第二章随机变量及其分布1、解：设公司赔付金额为 X，那么X的可能值为；投保一年内因意外死亡： 20万，概率为投保一年内因其他原因死亡：5万，概率为投保一年内没有死亡：0,概率为所以 X的分布律为:0P2、一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5,在其中同时取三只，以 X表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律解：X可以取值3，4，5,分布律为P(X3)1 CP 一球为3号,两球为1,2号22C53P(X4)P球为4号，再在1,2,3中任取两球P(X5)P一球为5号，再在1,2,3,4中任取两球_3_106To也可列为下表3 , 4 , 5丄丄_6_10 ,10 , 10设在15

2、只同类型零件中有 放回抽样，以X表示取出次品的只数，X：P:3、解：任取三只，其中新含次品个数C；3 22 CT亦 c； C：3C35C； C；C；52只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不1求X的分布律，2画出分布律的图形. X可能为0, 1 , 2个.P(XP(XP(X0)1)2)再列为下表X：0 , 1 ,P.丝 1235 3521351235135PI111111O1 24、进行重复独立实验，1将实验进行到出现一次成功为止， 此时称X服从以p为参数的几何分布.2将实验进行到出现r次成功为止, 此时称Y服从以r, p为参数的巴斯卡分布设每次成功的概率为p,失败的概率为q以X表示所需的

3、试验次数，以Y表示所需的试验次数,.=1 p(0 pY=P (X=1, Y=0)+ P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)= C3 0.6 (0.4)2 (0.3)3 C3 (0.6)2 0.4 (0.3)8Of (0.6)2 0.4 C；0.7 (0.3)2(0.6)333123(0.3)3(0

4、.6)3 C；0.7 (0.3)2 (0.6)3C；(0.7)2 0.30.2439、 有一大批产品，其验收方案如下，先做第一次检验：从中任取10件，经验收无次品接受这批产品，次品数大于2拒收；否那么作第二次检验，其做法是从中再任取5件，仅当5件中无次品时接受这批产品，假设产品的次品率为10%求(1)这批产品经第一次检验就能接受的概率(2 )需作第二次检验的概率(3) 这批产品按第2次检验的标准被接受的概率(4) 这批产品在第1次检验未能做决定且第二次检验时被通过的概率(5 )这批产品被接受的概率解：X表示10件中次品的个数，Y表示5件中次品的个数， 由于产品总数很大，故X-B( 10,),

5、Y-B(5,)(近似服从)(1) P X=0=(2) P Xw 2=P X=2+ P X=1= c200.120.98 C；00.1 0.99 0.5815(3) P Y=0= (4) P 0X 2, Y=0(0 X 2与 Y=2独立)=P 0X 2P Y=0= X(5) P X=0+ P 0X4) = 1 FX (3) P3 分钟至 4 分钟之间= P 3Xw4= FX(4) FX (3) e 1.2 e(4) P至多3分钟或至少4分钟= P至多3分钟+P至少4分钟=1 e 1.2 e 1.6(5) F恰好分钟= P (X=0 0, x 1,20、设随机变量X的分布函数为FX (x) In

6、x,1 x e,1, x e.求(1) P (X2), P 0Xw 3, P (2X52) ; (2)求概率密度 fx (x).解:(1) P (X 2)= Fx (2)= In2 ,P (0X 3)= Fx (3) Fx (0)=1 ,P(2 X 5 Fx(2) Fx(2) ln| ln2 In 舟(2) f(x) F(x)9 x0,其它e,21、设随机变量X的概率密度f (x)为2 (1) f(x) j x21 X 10其它x 0 x 1(2) f(x) 2x1x20 其他求X的分布函数F (x)，并作出( 解：(1)当一1 xw 1 时：2)中的f ( x)与F (x)的图形F(x)10

7、dxx 2 -2 ,1nx2 dxHx1丄 arcsi nx2x0dx 1=x . 1 x2n当 1x 时：F(x)故分布函数为：1 . 1 arcs in xn21 2 20 dx. 1 x dx0x1丄x、1 x21 arcs in x丄1x 1nn211x1F(x)f(t)dt解：(2) F(x) P(X x)1 n当 x 0 时,F(x)0dt 0x 1 时,F(x)0dtxtdt0x 2 时,F(x)0dttdt2x2x1(2 t)dt2x d2x12x时，F(x)0dtt dt(2t)dtx0dt 12故分布函数为02x2F(x)2xF (x)12x常数,m是分子的质量.试确T为绝

8、对温度,定常数分其中b:A.m 2kT， k 为 Boltzmann Q x dx 1x2f x dx 0Ax2e b dxAbx2Ab7dxIxe bdx2Abx2xd(e b)Ab xe2|0Abbe b dx022x-b-bxu22dubi b当t 0时，Ft t0 dt 0当t 0时,Ft tdtt 1x241 l e dt 0241te 241Ft0,t1 e 241P 50 T100100 P50F 10050e50241 e100241或P 50T 100100f t dt50100 150t241dte24123、某种型号的电子的寿命 X (以小时计)具有以下的概率密度:100

9、0f(x) K X 1000 0 其它现有一大批此种管子(设各电子管损坏与否相互独立)2只寿命大于1500小时的概率是多少解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为1500 1000 ,彳2 dx 11000 x2P(X 1500)1 P(X 1500)令Y表示“任取P(Y 2)1 P(Y50e蔚100 e 241.任取5只，问其中至少有1000(115001)10005只此种电子管中寿命大于1500小时的个数2)1 P(Y0) P(Y1 51) 1 ()5.那么 YB(5 1) 解：该顾客“一次等待效劳未成而离去的概率为“xx210 e1P(X 10)10 fX(x)dx 5 10 e 5d

10、x e 5因此YB(5,e 2).即P(Yk) 5e 2k(12 5 e )k,(k123,4,5P(Y 1) 1 P(Y 1) 1P(Y 0)1 (1e 2)5115(11)51(10.1353363)7.38910.8677510.48330.5167.25、设K在0, 5上服从均匀分布，求方程4x24xKK 20有实根的概率/ K的分布密度为：f(K)15 00 K50其他要方程有根，就是要 K满足(4K)2 4X 4X (K+2) 0. 解不等式，得K 2时，方程有实根5 13P(K 2) f(x)dxdx 0dx -26、设 XN ()(1 )求 P (2XW 5) , P ( 4)

11、2, P (X3)假设 XN 5,6 2)，贝y P ( aX3 )= 0卩 口T, ait0 (T53P (2 XW 5) = 00=0 (1)103P ( 42)=1 P (| X|2)= 1 P ( 2 P3)=1 P (XW 3)=1 0(2)决定 C使得 P (X C )=P (Xw C)P (X C )=1 P (Xw C )= P (Xw C得P (XW C )=丄=2又P (XW C )= 00.5,查表可得0 C=32 227、某地区18岁的女青年的血压(收缩区，以mm-Hg计)服从N(110,122)在该地区任选一一 18岁女青年，测量她的血压 X求(1) P ( XW 1

12、05), P (100x) w .解：(0.4167)10.66160.3384(1) P(X 105)(10512110)( 0.4167) 1P(100 X 120)(120 11012100 110)(12(|)2(-6-)1 2(0.8333)0.7976 10.5952(2) P(X x) 1P(X x)x 110)2)0.05七尹0.95.查表得曽28、由某机器生产的螺栓长度1.645.11019.74 129.74.故最小的X 129.74.服从参数为卩 范围土内为合格品，求一螺栓为不合格的概率是多少 设螺栓长度为XPX不属于，+P X+cm)T =的正态分布.规定长度在=1=1

13、(10.050.12) 10.05(10.050.060.12) 10.05006=1=129、一工厂生产的电子管的寿命正态分布，假设要求 P 120 v X 200=,PX 以小时计服从参数为卩 =160,6 未知的 允许b最大为多少200)= 200 160120 160T又对标准正态分布有040(T(x)=1上式变为040(120v40400.806(x)0.80(T(T解出40便得：400.9再查表,1.281(TCT簡 312530、解:2V N(120,2 ) N(0,1)2那么p=PV 118,122118 V 1222P1 X 2(10.8413)0.3174231、解:23p

14、 (1 p) 0.32040,x0F(x) 0.2 0.8x/30,0x 301,x3032、解：Q f(x) 0,g(x) 0,0 a 1af (x) (1 a)g(x) 0且af (x)(1 a)g(x) dxaf (x)dx (1 a) g(x)dx a (1 a) 1所以 af(x) (1a)g(x)为概率密度函数33、设随机变量X的分布律为:X: 2,1,01,3111111P:5651530求Y=X 2的分布律/ Y=X 2： ( 2)2(1)2(0)2(1)2P:111115651530再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为:Y:0149P.11111

15、1561553034、设随机变量X 在(0 , 1)上服从均匀分布(1 )求Y=e的分布密度X的分布密度为：f(x)10 x 10 x为其他XY=g (X) =e是单调增函数又 X=h( Y)=lnY,反函数存在 且 a = ming (0), g (1)= min(1, e)=1maXg (0), g (1)= maX1, e)= eY的分布密度为：叽y) f h(y) | h (y) |y为其他求Y=2lnX的概率密度.Y= g (X)= 2lnX 是单调减函数YX h(Y) e 7 a = min g (0),B=maXg (0),反函数存在g (1)= mi n(+ oo , 0 )=

16、0 g (1)= maX+ m, 0 )= +ooY的分布密度为:収y)f【h(y)|h(y)| 135、设 XN (0, 1)_y2y为其他又且 a = min g ( g ), 卩=maxg ( g ), Y的分布密度为：収y)1 fh(y) |h(y)| eV2n0Y=2X2+1的概率密度.(In y)2 2-y为其他(2 )求 在这里， 设Y的分布函数是 Fy( y),那么Fy ( y)= P( Yw y)= P (2 X+1 w y)Y=2X2+1在(+ g,g )不是单调函数，没有一般的结论可用当 y 1 时：Fy(y) P 宁2n eTdx故Y的分布密度 (y)是: 当 y w

17、1 时：“ (y)= Fy (y) = (0) =0当 yi 时，(y)= Fy(y)=2 dxy12y 1e 丁2q 冗(y 1)(3)求Y=| X |的概率密度 Y的分布函数为Fy ( y)=P (Yw y )= P ( |当 y0 时，Fy ( y)=0当 y?0 时，Fy ( y)= P (| X | w y )= P ( y0 时：(y)= Fy ( y)=2 ne3的概率密度.(i)求Y=e的概率密度x2X的概率密度是f (x) 一1_e 丁Y= g (X)= eX是单调增函数 X= h (Y ) = lnY 反函数存在g (+ g )= mi n(0)=0(+ g )= maX0

18、, + g )= + g Y=g (X )= X 3是X单调增函数，1又X=h (Y ) = Y3，反函数存在，且 a = ming (), g 什 m )= min(0, + m)=3 = max g ( g ), g (+ m)= maXO, + m)= + g - Y的分布密度为： 丄 1 兰“ (y)= f h ( h ) | h ( y)| = f(y3)3, y ,但 y 03(0) 0(2)设随机变量 X服从参数为1的指数分布，求 Y=X 2的概率密度.法一：T X的分布密度为：f (x)2当 x0时 y=x2当 x0时 y=xYf y (y)=Y=x2是非单调函数反函数是xf(

19、x,y)( ,.y)1y e.y. yf (. y)(. y)1 ye , y2. y法二：YFY(y)P(Yy)P(yy)xP(X 、 y)P(X , y)xdx12 ,y037、设X的概率密度为2x亍0 x nf (x) n20x为其他求Y=sin X的概率密度. Fy ( y)=P (YW y)= P (sin XW y)y)=0Fy ( y) = P (sinYf y (y)=0.0.当 y0 时：Fy ( 当0W y 1时: W XW n )X y)=P (0 W XW arc sin y 或 n arc sin yarcsin y 2x2 dx0 n2y)=1牟dxn arcsin y n当 1y 时：Fy (Y的概率密度 ( y )为：yW0 时，(y )