数列求和7种方法

1、、利用常用求和公式求和利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法等差数列求和公式:等比数列求和公式:Sn1n(n2Snnk3k 112n(n例1已知log 3 x解：由log3 xSnSn1)1)n(ai a.)na13d(q 1)印(11n、q )a11a.qSn(qnk211)1n(n 1)(2n1)log 2 3x2x3的前n项和.log 2 3log 3 Xlog 3 2由等比数列求和公式得Snx x2x3x(1 xn)（利用常用公式）例 2设 Sn = 1+2+3+ +n ,n N *,求 f (n)(n解：由等差数列求和公式得Sn1n(n2Snf(n) (n 32)Sn

2、 1nn2 34n 64164 厂 n 34( . nn2dSn丄)愛=1 _丄1 1 2n 232） Sn 1的最大值.1)，Sn12(n 1)(n2)（利用常用公式）J8 2)50 n二当时门刁8，即门=8时，n）max题1.等比数列的前n项和 S n = 2 n1,贝U题 2 .若 12+2 2+ +(n-1) 2= an3+bn2+cn，贝H a=,b=,c=解：原式 =an bn的前 n的通项之积(设制错位)(错位相减)二、错位相减法求和这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 项和，其中 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列 .例 3求和：Sn

3、 1 3x 5x2 7x3(2n 1)xn 1解：由题可知，(2n 1)xn1的通项是等差数列2n 1的通项与等比数列xn设 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn：得 (1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x42xn 1 (2n 1)xn/ 11 11 x再利用等比数列的求和公式得：(1 x)Sn 1 2x(2n 1)xn1 x例4求数列2,笃2 22练习题答案:Sn2n2n(2n 1)xn 1 (2n 1)xn (1 x)(1 x)2前n项的和.李的通项是等差数列2n的通项与等比数列的通项之积2 2设Sn2462n23n22221 c2462n2Sn22242n1由题可

4、知,22一得（11 已知2)SnSn222n12 2T342 22n2* 12 2nnn 12 2（设制错位）（错位相减），求数列 an的前n项和Sn.练习题 2的前 n 项和为答案：、反序相加法求和这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序） ，再把它与原数列相加，就可以得到 n 个 （a1例 5 求证： Cn0 3Cn1 5Cn201证明： 设 Sn Cn0 3C1nan).(2n 1)Cnn (n 1)2n5C；(2n 1)C：把式右边倒转过来得反序）Sn(2n 1)Cnn (2n 1)Cnn 13Cn1 Cn0又由 Cnm Cnn m 可得0 1 n

5、1 nSn (2n 1)Cn(2n 1心3 Cn:.+得 2Sn (2n 2)(Cn0 CnCnn 1 Cnn)2(n 1) 2n(反序相加)Sn(n 1) 2n 例 6 求 sin2 1sin 2 2sin2 3 sin2 88sin2 89 的值2 2 2 2 2解：设 S sin 1 sin 2 sin 3sin 88 sin 89 :将式右边反序得QQQQQ、S sin 2 89 sin 288sin 2 3 sin 2 2 sin 21 :(反序)22又因为 sinx cos(90 x),sin x cos x 1 + 得 (反序相加)2 2 2 2 2 22S (sin 1 cos

6、 1 ) (sin 2 cos 2 ) (sin 89 cos 89 ) = 89 S= 44.5题 1 已知函数的值 .1）证明：2）求解：（ 1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边= 右边（2 ）利用第（ 1 ）小题已经证明的结论可知，两式相加得:所以练习、求值:13n 2，a/ 1F 3n 2)a四、分组法求和有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.1 1例7求数列的前n项和：1 1,一 4,-y 7,a a11解：设 Sn (11)(4)(飞 7)aa将其每一项拆开再重新组合得1 1Sn

7、(12a a1TT)(1a3n 2)(分组)a 1 时 S(3n1)n(3n1)n（分组求和）Snn2 2,1a 1 时，Sn1 -na1 n(3n 1)n a a(3n 1)n1丄2a 12例8求数列n（n+1）（2n+1） 的前n项和.解：设akk(k 1)(2k1) 2k3 3k2knnSnk(k 1)(2k 1) (2k33k2k)k 1k 1将其每一项拆开再重新组合得nnnSn2k3 3k2k（分组）k 1k 1k 12(132332n ) 3(1222n ) (1 2n)n2(n 1)2n(n 1)(2 n 1)n(n1)（分组求和）2222n(n 1) (n2)2五、裂项法求和这

8、是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后(1)anf(n1)f(n)(2)11 1(3)ann(n1)n n 1(4)111(5)an重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的n(n 1)(n 2)2 n(n 1).通项分解（裂项）如:ann 212(n1) n 1n(n 1) 2nn(n 1)2nn 2n * 1(n11)2n,则Sn1(n 1)2n(7) an11 11(-)(AnB)(A nC)C B An B An C(8) anj1.n1n.n、n 1的前n项和.例9求数列l, , J2 v2 J3Un解：设an（裂项）例 10例 1

9、1解:则Snn . n 1（裂项求和）=(-2 -1)在数列an中,解: anan(32)-，求数列bn的前n项的和.2118( _n（裂项）数列bn的前n项和Sn8(1=8(11 12)(1& =1 1-)(338nn 14)(丄n七)（裂项求和）求证:cosO cos1cos1 cos 2cos88 cos89cos1sin21cosO cos1cos1 cos2cos88 cos89sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1)tan n（裂项）ScosO cos1cos1 cos 2cos88 cos89（裂项求和）答案：1=(ta n 1sin 1tanO ) (tan 2

10、tan1 ) (tan3tan 2 ) tan 89tan 88 1(tan 89sin 11cos1tan 0 ) cot 1 2si n1sin 1原等式成立练习题1.练习题 2 。答案：六、分段求和法(合并法求和)针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这 些项放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cosl cos2 + cos3 + cos178 cos179。的值解：设 Sn= cosl cos2 cos3 + cos178 cos179 / cosn cos(180 n )(找特殊性质项)/Sn=(cos1 cos179 )+ (

11、 cos2 cos178 )+ ( cos3 + cos177 )+ + (cos89 + cos91 )+ cos90 (合并求和)例13数列an:a11,a23,a32,an 2an 1an ，求 S2002 .解:设S2002=aia2a3a2002由a11, a2 3,a32, an 2 an 1an 可得a41,a53, a6 2,a71,a83, a92,a101, a113, a122a6k 1 1, a6k 23, a6k 32,a6k4 1,a6k 53,a6k 62a6k 1a6k 2a6k 3a6k 4a6k 5a6k 60（找特殊性质项）S2002 = a1a2a3a2

12、002（合并求和）= (a1a2a3a6)(a7a8a12)(a6k 1a6k 2a6k 6)(a1993a1994a1998 )a1999a2000a2001a2002= a1999a2000a2001a2002= a6k 1a6k 2a6k 3a6k4=5例 14 在各项均为正数的等比数列中，若a5a69,求 log 3 a1log 3a2log3 a10 的值.解:设 Snlog 3 a1log 3 a2log 3a10由等比数列的性质mnpqamana paq（找特殊性质项）和对数的运算性质logaMlogaNloga M N得Sn(log 3 a1log3 a10 )(log 3 a

13、2log3 a9 )(log3 a5log3a6 ）（合并求和）= (log 3 a1 a10 )(log 3a2 a9 )(log 3 aa6)=log 3 9 log 3 9log3 9=10练习、求和:答案： 2练习题 2 .若 Sn = 1-2+3-4+(-1) n-1 n，则 S17+ S33 + S 50 等于 ()A.1B.-1C.0D .2解：对前n项和要分奇偶分别解决，即：Sn=案：A练习题 3100 2-99 2+98 2-97 2+ +2 2-1 2 的值是D.20200+(2+1)=5050.答案：BA.5000B.5050C.10100解：并项求和，每两项合并，原式=

14、(100+99)+(98+97)+七、利用数列的通项求和先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前n项和，是一个重要的方法.例 15求 1 11 1111111之和.n个1(找通项及特征)1 11 1111111n个11 1=-(10 1 k解：由于 1111- 9999-(101)k个 19k个 19 1)1(1021)13-(1031)99916(1j)(分组求和)=1(101 102 103110n) (1 1 11)99n 个11 10(10n1)n910 191n 1(108109n)例16已知数列an：an8,求(n 1)(an an 1)的值(n 1)(n3)n 113)1(n 2)(n4)（找通项及特征）=8 (n 2)(n4)(n1 3)(n 4)（设制分组）=4 (n8(n4）（裂项）(n11)(anan 1)4）（分组、裂项求和）1=4(3_ 133提高练习：1 .已知数列an中，Sn是其前n项和，并且Sn1 4a. 2（n 1,2丄），耳1 ,设数列bnan 1 2an（n 1,2,），求证：数列 bn是等比数列；设数列cn, （n 1,2,），求证：数列 cn是等差数列;222 .设二次方程 an x - an+1 x+1=0(n N)有两根a和B，且满足6 a-2 a伊6 3=