初中数学经典《相似》题[共27页]

1、平面图形的认识试卷副标题1下列各组图形中不一定相似的有（ ）两个矩形；两个正方形；两个等腰三角形；两个等边三角形；两个直角三角形；两个等腰直角三角形A2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个2将一个矩形纸片 ABCD 沿 AD 和 BC 的中点的连线对折,要使矩形 AEFB 与原矩形相似,则原矩形的长和宽的比应为（ ）A2：1 B ：1 C ： 1 D 1：13已知 ,则的值是（ ）A B C D4如图,在 ABC中, AB=AC,A=36, BD平分 ABC交 AC于点 D,若 AC=2,则AD的长是（ ）A B C1 D +15如图,已知直线abc,直线m、n 与直线a、b、c 分别交于

2、点 A、C、E、B、D、F,AC=4,CE=6,BD=3,则BF=（ ）A7 B7.5 C8 D8.56如图所示,长为 8cm,宽为6cm 的矩形中,截去一个矩形（图中阴影部分） ,如果剩下矩形与原矩形相似,那么剩下矩形的面积是（ ）2A 28cm2B 27cm2C 21cmD 20cm7若把 ABC的各边扩大到原来的 3 倍后,得 A BC,则下列结论错误的是 （ ）A ABC ABCB ABC与 ABC的相似比为试卷第 1页,总6 页C ABC与 ABC的对应角相等D ABC与 ABC的相似比为8如图,点 D 在ABC的边AC上,要判定 ADB 与ABC相似,添加一个条件,不正确的是（ ）

3、AABD=C BADB=ABC C D9如图,若 A、B、C、P、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸中的格点,为使 ABCPQR,则点 R应是甲、乙、丙、丁四点中的（ ）A甲 B乙 C丙 D丁10如图,在 ABC中, EFBC, = ,S四边形 BCFE=8,则SABC=（ ）A9 B10 C12 D 1311将一副三角板按如图叠放, ABC是等腰直角三角形, BCD 是有一个角为30的直角三角形,则AOB与DCO的面积之比等于（ ）A B C D12四条线段 a、b、c、d 成比例,其中 b=3cm, c=2cm,d=6cm,则a= _ cm13已知线段 AB及 AB上一点 P,当 P满足下列哪一

4、种关系时, P为AB的黄金分割点AP 2=AB?PB； AP= AB； PB= AB； ； 其中试卷第 2页,总6 页正确的是 （填“序号”）14甲、乙两农户各有两块土地（如图所示） ,今年这两个农户决定配合投资开发一个新的项目,需要将这四块土地换成一块土地,而这块地的宽为 a+c 米,为了使换的土地与原四块土地面积和形状相同,交换后的土地的长应该是 米15将一个多边形缩小为原来的 ,这样的多边形可以画 _ 个,你的理由是 _ 16ABCDEF,若 ABC的边长分别为5cm,6cm,7cm,而 4cm 是DEF中一边的长度,则DEF的另外两边的长度是 _ 17ABC中, AB=9cm,AC=6

5、cm,D 是 AC上的一点,且 AD=2cm,过点 D 作直线DE交AB 于点 E,使所得的三角形与原三角形相似,则AE= _ cm18有甲、乙两张纸条,甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍,如图,将这两张纸条交叉重叠地放在一起,重合部分为四边形 ABCD则AB 与 BC的数量关系为19如图,在 ABC中, AB=AC,点 E、F 分别在 AB 和 AC 上, CE与 BF 相交于点 D,若AE=CF,D为BF的中点, AE：AF 的值为 20如图, RtABC中,ACD=90,直线EFB D,交 AB 于点 E,交 AC于点 G,交 AD于点 F若 SAEG= S四边形 EBCG,则= 21如图

6、,菱形,矩形与正方形的形状有差异,我们将菱形、矩形与正方形的接近程度称为“接近度”在研究“接近度”时,应保证相似图形的“接近度”相等设菱形相邻两个内角的度数分别为 m和 n,将菱形的“接近度”定义为 |mn| ,于是, |mn| 越小,菱形越接近于正方形若菱形的一个内角为70,则该菱形的“接近度”等于 _ ；当菱形的“接近度”等于 _时,菱形是正方形试卷第 3页,总6 页22在 ABC中, P 是 AB 上的动点（ P异于 A、B）,过点 P 的直线截 ABC,使截得的三角形与 ABC 相似,我们不妨称这种直线为过点 P 的ABC 的相似线,简记为P（lx）（x为自然数）（ 1）如图,A=90

7、, B=C,当 BP=2PA时, P（l1）、P（ l2）都是过点 P 的ABC 的相似线（其中 l1BC,l2AC）,此外,还有 条；（ 2）如图,C=90, B=30,当 =时,P（lx）截得的三角形面积为ABC面积的 23已知 = = ,求 的值24如图,在 ABC中, AB=8cm,BC=16cm,点 P 从点 A 开始沿边AB 向点 B 以 2cm/s的速度移动,点 Q 从点 B 开始沿边BC向点 C 以 4cm/s 的速度移动,如果点 P、Q 分别从点 A、B 同时出发,经几秒钟PBQ与ABC相似？试说明理由25ABCABC, ,AB边上的中线CD=4cm,ABC的周长为20cm,

8、ABC的面积是 64cm2,求：（ 1）AB边上的中线CD的长；（ 2）ABC的周长；（ 3）ABC的面积26如图,在 ABC 中, BAC=90, D为BC的中点, AEAD, AE交 CB的延长线于点E（ 1）求证： EABECA；（ 2）ABE和ADC是否一定相似？如果相似,加以说明；如果不相似,那么增加一个怎样的条件, ABE 和ADC一定相似试卷第 4页,总6 页27如图,小明家窗外有一堵围墙 A B,由于围墙的遮挡,清晨太阳光恰好从窗户的最高点 C 射进房间的地板 F 处,中午太阳光恰好能从窗户的最低点 D 射进房间的地板 E处,小明测得窗子距地面的高度 OD=0.8m,窗高 CD

9、=1.2m,并测得 OE=0.8m,OF=3m,求围墙 AB 的高度28如图,已知点 F 在 AB上,且 AF：BF=1：2,点 D是 BC延长线上一点, BC：CD=2：1,连接 FD与 AC交于点 N,求 F N：ND的值29如图：矩形 ABCD 的长 AB=30,宽 BC=20（1）如图（ 1）若沿矩形 ABCD四周有宽为 1 的环形区域,图中所形成的两个矩形 ABCD与ABCD相似吗？请说明理由；（2）如图（ 2）,x 为多少时,图中的两个矩形 ABCD与 ABCD相似？30如图 1,在矩形 ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点 P 从点 A 开始以 1cm/s 的速度沿AB

10、边向点 B 运动,点 Q 从点 B 以 2cm/s 的速度沿 BC边向点 C运动,如果 P、Q 同时出发,设运动时间为 ts,（1）当 t=2 时,求 PBQ的面积；（2）当 t= 时,试说明 DPQ是直角三角形；（3）当运动 3s 时,P点停止运动, Q 点以原速立即向 B 点返回,在返回的过程中, DP是否能平分ADQ？若能,求出点 Q 运动的时间；若不能,请说明理由试卷第 5 页,总 6 页试卷第 6 页,总 6 页本卷由【在线组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。参考参考答案1B【解析】试题分析：根据相似图形的定义,结合图形,对选项一一分析,利用排除法求解解：两个矩形

11、,对应角相等,但边的比不一定相等,故不一定相似；两个正方形,对应角相等,对应边成比例,故相似；两个等腰三角形顶角不一定相等,故不一定相似；两个等边三角形,角都是 60 ,故相似；两个直角三角形,不一定有锐角相等,故不一定相似；两个等腰直角三角形,都有一个直角和 45 的锐角,故相似所以共有3 个不一定相似,故选 B考点：相似图形点评：本题考查的是相似形的定义,联系图形,即图形的形状相同,但大小不一定相等2C【解析】试题分析：设矩形 ABCD 的长 AD=x,宽 AB=y,根据相似多边形对应边的比相等,即可求得解：设矩形 ABCD 的长 AD=x,宽 AB=y,则 DM= AD= x又矩形 DM

12、NC 与矩形 ABCD相似 = ,即 =22 即 y= xx：y= ：1故选 C考点：相似多边形的性质点评：本题主要考查了相似多边形的对应边的比相等,注意分清对应边是解决本题的关键3D【解析】试题分析：先设出 b=5k,得出 a=13k ,再把 a,b 的值代入即可求出参考答案解：令 a,b 分别等于 13 和 5, ,a=13, = = ；故选 D考点：比例的性质参考答案第 1 页,总 16 页本卷由【在线组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。点评：此题考查了比例的性质此题比较简单,解题的关键是注意掌握比例的性质与比例变形4C【解析】试题分析： 根据两角对应相等, 判定两个

13、三角形相似 再用相似三角形对应边的比相等进行计算求出 BD的长解： A=DBC=36, C大众, ABC BDC,且 AD=BD=BC设BD=x,则BC=x,CD=2x由于 = , = 整理得： x 2+2x4=0,解方程得： x=1 ,x为正数,x=1+ 故选C考点：黄金分割点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质, 先用两角对应相等判定两个三角形相似, 再用相似三角形的性质对应边的比相等进行计算求出 BD的长5B【解析】试题分析：由直线abc,根据平行线分线段成比例定理,即可得 ,又由 AC=4,CE=6,BD=3,即可求得 DF的长,则可求得参考答案解： abc, ,AC=4,CE=6

14、,BD=3, ,解得： DF= ,BF=BD+DF=3+ =7.5 故选B参考答案第 2页,总16 页本卷由【在线组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。考点：平行线分线段成比例点评： 此题考查了平行线分线段成比例定理题目比较简单, 解题的关键是注意数形结合思想的应用6B【解析】试题分析：根据题意,剩下矩形与原矩形相似,利用相似形的对应边的比相等可得解：依题意,在矩形 ABDC 中截取矩形 ABFE,则矩形 ABDC矩形 FDCE,则设DF=xcm,得到：解得： x=4.5,则剩下的矩形面积是： 4.5 6=27cm 2考点：相似多边形的性质点评：本题就是考查相似形的对应边的比

15、相等,分清矩形的对应边是解决本题的关键7B【解析】根据相似三角形的性质逐个进行判断可知 A、C、D正确, B错误 试题分析：解： A、因为两个三角形的三条对应边的比相等,都为3,所以 ABCABC,正确；B、可知 ABC与ABC的相似比为,错误；C、所以 ABC与ABC的对应角相等,正确；D、因为相似比即是对应边的比,所以 ABC 与ABC的相似比为,正确故选B相似图形 考点： 此题考查了相似三角形的判定与性质,若对应边的比都相等,则两个三角形相似；相点评：似三角形的对应角相等,对应边的比相等8C【解析】由A 是大众角,利用有两角对应相等的三角形相似,即可得 A与 B 正确；又由 试题分析：两

16、组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似, 即可得 D正确,继而求得参考答案, 注意排除法在解选择题中的应用参考答案第 3页,总16 页本卷由【在线组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。解：A 是大众角,当 ABD=C 或ADB=ABC时, ADBABC（有两角对应相等的三角形相似） ；故 A 与 B 正确；当时, ADBABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似） ；故 D正确；当时,A 不是夹角,故不能判定 ADB 与ABC相似,故 C错误故选C考点：相似三角形的判定点评： 此题考查了相似三角形的判定 此题难度不大, 注意掌握有两角对应相等的三角形相似

17、与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用9C【解析】试题分析：令每个小正方形的边长为1,分别求出两个三角形的边长,从而根据相似三角形的对应边成比例即可找到点 R对应的位置解：根据题意, ABC 的三边之比为： ： ,要使 ABCPQR,则 PQR 的三边之比也应为 ： ： ,经计算只有丙点合适,故选C考点：相似三角形的判定点评：考查相似三角形的判定定理：（1）两角对应相等的两个三角形相似（2）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似（3）三边对应成比例的两个三角形相似10 A【解析】试题分析：解： = , = = ,EFBC,AEFABC, = = ,9SAEF=SABC,

18、S 四边形 BCFE=8,9（ SABC8）=SABC,解得： SABC=9故选A考点：相似三角形的判定与性质点评： 本题考查了相似三角形的性质和判定的应用, 注意： 相似三角形的面积比等于相似比的平方,题型较好,但是一道比较容易出错的题目参考答案第 4页,总16 页本卷由【在线组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。11 C【解析】试题分析：设BC=a,则AB=BC=a,CD= aA B：CD=1：A BCDAOBCODA B：CD=1：AOB 与DCO的面积之比为1：3故选C考点：相似三角形的判定与性质点评：通过两个直角三角形的大众边找到两个三角形之间的联系是解决本题的关键

19、121【解析】试题分析：由四条线段 a、b、c、d 成比例,根据比例线段的定义,即可得 ,又由 b=3cm,c=2cm,d=6cm,即可求得 a 的值解：四条线段 a、b、c、 d 成比例, ,b=3cm, c=2cm,d=6cm, ,解得： a=1cm故参考答案为： 1考点：比例线段点评：此题考查了比例线段的定义此题比较简单,解题的关键是熟记比例线段的定义13【解析】试题分析：根据黄金分割点的定义列出算式,然后求解得到 AP与 AB关系,再根据 AB、AP、BP三者之间的关系对各小题整理即可判断正误解： P为AB的黄金分割点, = ,AP2=AB?PB,故小题正确；2AP =AB?（ ABA

20、P）,AP2+AB?APAB2=0,解得 AP= AB,故小题正确；（ABPB）= AB,整理得, PB= AB,故小题正确；AP= AB,参考答案第 5页,总16 页本卷由【在线组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。PB=ABAP= AB, = = ,故小题错误；= ,故小题错误综上所述,正确故参考答案为：考点：黄金分割点评：本题考查了黄金分割,明确黄金分割点的定义列出比例式是求解的关键14a+b【解析】2试题分析：由图可得四块土地的面积为 a+bc+ac+ab,此式可分解因式为（ a+b）（a+c）,据此可得解2解：由题意得,四块土地的面积为 a +bc+ac+ab,2所

21、换的土地的面积 =a+bc+ac+ab=a（a+b）+c（a+b）=（a+b）（a+c）,这块地的宽为 a+c 米,这块地的长为 a+b故参考答案为： a+b考点：相似多边形的性质点评：此题主要考查分解因式的应用,读懂题意,列出代数式是关键15无数 多边形的形状发生了变化【解析】试题分析：如果将一个多边形缩小为原来的 ,只是周长缩小为原来的 ,根据相似多边形的定义,可知多边形的形状会发生变化,故这样的多边形可以画无数个解：将一个多边形缩小为原来的 ,这样的多边形可以画无数个,理由是：将一个多边形缩小为原来的 时,只是周长缩小为原来的 ,对应边不一定成比例,对应角也不一定相等,即多边形的形状发生

22、了变化,故这样的多边形可以画无数个考点：相似图形点评：本题主要考查了相似多边形的定义： 如果两个多边形的对应边的比相等, 对应角相等,那么这两个多边形是相似多边形即形状相同,大小不一定相同的多边形叫做相似多边形16 , ； , ； , 【解析】试题分析： 两个三角形相似,设另外两条边长为 x,y如果是 5cm 和 4cm 的边长是对应边则 = = ,参考答案第 6 页,总 16 页本卷由【在线组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。解得 x= cm,y= cm；如果 6cm 和 4cm边长是对应边所以 = = ,解得 x= cm,y= cm,如果 7cm 和 4cm边长是对应边

23、则= = ,解得 x= cm,y= cm,故参考答案为： , ； , ； , 考点：相似三角形的性质.点评： 此题主要考查相似三角形的性质这一知识点, 此题需要利用分类讨论的思想, 从对应边的三种情况进行分析,这也是学生容易忽视的地方17 cm 或 3cm【解析】试题分析： 如图2,当 ADEABC时,有 AD：AE=AB：ACAB=9cm,AC=6cm,AD=2cmAE= cm；如图1,当 AEDABC时,有 AD：AE=AC：ABAB=9cm,AC=6cm,AD=2cmAE=3cmAE为cm 或 3cm考点：相似三角形的性质点评：此题主要考查学生对相似的三角形的性质的运用及分类讨论思想的掌

24、握情况18 AB=2BC【解析】试题分析：过A 作 AEBC于 E、作 AFCD于 F,甲纸条的宽度是乙纸条宽的 2 倍,AE=2AF,纸条的两边互相平行,参考答案第 7页,总16 页本卷由【在线组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。四边形 ABCD是平行四边形,ABC=ADC, AD=BC,AEB=AFD=90,ABEADF, = = ,即 = 故参考答案为： AB=2BC考点：相似三角形的判定与性质点评： 本题考查的是相似三角形的判定与性质, 根据题意作出辅助线, 构造出相似三角形是解答此题的关键19【解析】试题分析：解：过F 作 FHAB 交 CE于 H,FHA B,H

25、FD=EBD,D为BF 的中点,BD=DF,在BED和FHD中,BEDFHD（ SAS）,FH=BE,FHA B,CFHCAE,HF：AE=CF：AC,AC=AB,CF=AE,AF=BE=HF设AC=AB=1,AE=x,则= 即为,解得 x=,AF=,AE：AF= 参考答案第 8页,总16 页本卷由【在线组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。考点：相似三角形的判定与性质点评：本题主要考查三角形全等的判定和性质、 三角形相似的判定和性质及二元一次方程的解法,正确作出辅助线是解题的关键20【解析】试题分析： EFBDAEG=ABC,AGE=ACB,AEGABC,且 SAEG= S

26、四边形 EBCGSAEG：SABC=1：4,A G：AC=1：2,又 EFBDAGF=ACD,AFG=ADC,AGFACD,且相似比为1：2,SAFG：SACD=1：4,SAFG= S四边形 FDCGSAFG= SADCAF：AD=GF： CD=AG：AC=1： 2ACD=90AF=CF=DFCF：AD=1：2考点：相似三角形的判定与性质点评：本题考查了相似三角形的性质,相似三角形的面积的比等于相似比的平方21 40 0【解析】试题分析：若菱形的一个内角为70,求该菱形的“接近度”,可以求出菱形的相邻的另一内角的度数,这两个数的差的绝对值就是接近度；当菱形的“接近度” |mn|=0时,菱形是正

27、方形解：若菱形的一个内角为70该菱形的相邻的另一内角的度数 110“接近度”等于 |11070|=40 ；当菱形的“接近度”等于 0时,菱形的相邻的内角相等,因而都是 90 度,则菱形是正方形参考答案第 9页,总16 页本卷由【在线组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。考点：相似图形点评：题是一个阅读理解问题,真正读懂题目,理解“接近度”的含义是解决本题的关键22（1）1； （2） 或 或【解析】试题分析：（ 1）存在另外 1 条相似线如图1 所示,过点 P 作 l3BC交 AC于 Q,则APQABC；故参考答案为： 1；（2）设P（lx）截得的三角形面积为 S,S= SAB

28、C,则相似比为1：2如图2 所示,共有 4 条相似线：第 1 条 l1,此时P为斜边AB 中点, l1AC, = ；第 2 条 l2,此时P为斜边AB 中点, l2B C, = ；第 3 条 l3,此时BP与 BC为对应边,且 = , = = ；第 4 条 l4,此时AP 与 AC为对应边,且 = , = = , = 故参考答案为： 或 或 考点：相似三角形的判定与性质点评：本题引入 “相似线”的新定义,考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线,不要遗漏参考答案第 10页,总16 页本卷由【在线组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。23【解析】

29、试题分析：先设= = =k ,可得 x=2k,y=3k ,z=4k,再把 x、y、z 的值都代入所求式子计算即可解：设= = =k,可得 x=2k,y=3k,z=4k,= 考点：比例的性质点评：本题考查了比例的性质解题的关键是先假设= = =k,可得 x=2k,y=3k,z=4k,降低计算难度24经2 或 0.8 秒钟PBQ与ABC相似【解析】试题分析：设经x秒钟PBQ与ABC相似,则AP=2xcm,BQ=4xcm,AB=8cm,BC=16cm,BP=ABAP=（82x）cm,B 是大众角,当 ,即时, PBQABC,解得： x=2；当 ,即时, QBPABC,解得： x=0.8,经2 或 0

30、.8 秒钟PBQ与 ABC相似考点：相似三角形的性质点评：此题考查了相似三角形的判定此题难度适中,属于动点型题目,注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用225（1）8cm （2） 40cm （3）16cm【解析】试题分析：（ 1） ABCABC, ,AB边上的中线CD=4cm, = ,CD=4cm2=8cm,参考答案第 11页,总16 页本卷由【在线组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。AB边上的中线CD的长为8cm；（2） ABCABC, ,ABC的周长为20cm, = ,CABC=20cm 2=40cm,ABC的周长为40cm；（3） ABCABC, ,ABC

31、的面积是 64cm2, = = ,2 2SABC=64cm 4=16cm,ABC的面积是 16cm2考点：相似三角形的性质点评： 本题主要考查了相似三角形的性质, 掌握相似三角形的周长的比等于相似比； 相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比；相似三角形的面积的比等于相似比的平方26见解析【解析】试题分析：（1）由题意, ABC 中, BAC=90, D为BC的中点,可得, BD=CD,AD=CD,所以,C =DAC,又由 AEAD,所以,EAB+BAD=90, BAD+DAC=90 , 所以,EAB=C,即可证得；（2）由（1）得,EAB=CAD,所以,当

32、ABE=ADC或 AB=BE或E=C 或 =时,ABE和ADC一定相似证明：（1） ABC中, BAC=90, D为BC的中点,BD=C,D AD=CD,C =DAC,又AEAD,EAB+BAD=90, BAD+DAC=90 ,EAB=C,EABECA；（2）由（ 1）得, EAB=CAD,当 ABE=ADC 或 AB=BE或E=C 或 =时, ABE和ADC一定相似考点： 相似三角形的判定点评： 本题主要考查了相似三角形的判定, 掌握两角法： 有两组角对应相等的两个三角形相似,是正确解答本题的基础27 4.4m【解析】试题分析：延长O D,DOBF,参考答案第 12页,总16 页本卷由【在线

33、组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。 DOE=90 ,OD=0.8m,OE=0.8m, DEB=45,ABBF, BAE=45,AB=BE,设AB=EB=xm,ABBF,C OBF,ABCO, ABF COF, = ,= ,解得： x=4.4m经检验： x=4.4 是原方程的解答：围墙AB 的高度是 4.4m考点：中心投影；相似三角形的判定与性质点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质,解决问题的关键是求出 AB=BE,根据相似三角形的判定方法证明 ABF COF28 2：3【解析】试题分析：过点 F 作 FEBD,交 AC于点 E,求出 = ,得出 FE= BC,根据已知推出 CD= BC,根据平行线分线段成比例定理推出 = ,代入化简即可解：过点 F 作 FEBD,交 AC于点 E, = ,AF：BF=1：2, = , = ,即 FE= BC,BC：CD=2：1,参考答案第 13页,总16 页本卷由【在线组卷网 】自动生成,请仔细校对后使用,参考答案仅供参考。CD= BC,FEBD, = = = 即 FN：ND=2：3证法二、连接 CF、AD,AF：BF=1