Chapter2 信号分析基础 new

1、华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院第二章、信号分析基础第二章、信号分析基础本章学习要求：本章学习要求：1.1.了解信号分类方法了解信号分类方法 2.2.掌握信号时域波形分析方法掌握信号时域波形分析方法3.3.掌握信号时差域相关分析方法掌握信号时差域相关分析方法4.4.掌握信号频域频谱分析方法掌握信号频域频谱分析方法5.5.了解其它信号分析方法了解其它信号分析方法机械工程测试技术基础机械工程测试技术基础华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院2.1 2.1 信号的分类与描述信号的分类与描述 信号的分类主要是依据信号波形特征来划分信号的分类主要是依据信号波形特征来划分的，在介绍信号分类前，先

2、建立信号波形的概念。的，在介绍信号分类前，先建立信号波形的概念。信号波形：信号波形：被测信号信号幅度随时间的变化历程被测信号信号幅度随时间的变化历程称为信号的波形。称为信号的波形。波形波形华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院2.1 2.1 信号的分类与描述信号的分类与描述 0At信号波形图：信号波形图：用被测物理量的强度作为纵坐标，用被测物理量的强度作为纵坐标，用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变用时间做横坐标，记录被测物理量随时间的变化情况。化情况。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院信号的描述：函数、波形、其他（分析）信号的描述：函数、波形、其他（分析）物理上：信号是信息寄寓变

3、化的形式物理上：信号是信息寄寓变化的形式数学上：信号是一个或多个变量的函数数学上：信号是一个或多个变量的函数形态上：信号表现为一种波形形态上：信号表现为一种波形自变量自变量时间、位移时间、位移周期、频率、幅度、相位周期、频率、幅度、相位 信号信号与与信息信息：信息的：信息的载体载体称为信号，信息蕴含称为信号，信息蕴含于信号中；信息的物理表现于信号中；信息的物理表现形式形式即为信号，信号表即为信号，信号表达的达的意义意义即为信息。即为信息。 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究为深入了解信号的物理实质，将其进行分类研究是非常必要的，从不同角度观察信

4、号，可分为：是非常必要的，从不同角度观察信号，可分为： 1 1 从信号描述上分从信号描述上分-确定性信号与非确定性信号；确定性信号与非确定性信号；2 2 从信号的幅值和能量上从信号的幅值和能量上-能量信号与功率信号；能量信号与功率信号；3 3 从分析域上从分析域上-时域与频域；时域与频域；华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院4 4 从连续性从连续性-连续时间信号与离散时间信号；连续时间信号与离散时间信号；5 5 从可实现性从可实现性 -物理可实现信号与物理不可实现信号物理可实现信号与物理不可实现信号。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院2.1 2.1 信号的分类与描述信号的分类与描述

5、1 1 确定性信号与非确定性信号确定性信号与非确定性信号 可以用明确数学关系式描述的信号称为确定可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确性信号。不能用数学关系式描述的信号称为非确定性信号。定性信号。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号周期信号：经过一定时间可以重复出现的信号 x ( t )x ( t ) = = x ( t + nT )x ( t + nT )简单周期信号简单周期信号复杂周期信号复杂周期信号华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院单自由度的无阻尼质量单自由度的无阻尼质量-弹簧振动系统弹簧振动系统

6、 式中：A为振幅(最大值)；k为弹簧刚度；m为质量；0为初始相位 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往也是一种周机械系统中，回转体不平衡引起的振动，往往也是一种周期性运动。例如，下图是某钢厂减速机上测得的振动信号期性运动。例如，下图是某钢厂减速机上测得的振动信号波形波形(测点测点3)，可以近似地看作为周期信号。，可以近似地看作为周期信号。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院b) b) 非周期信号：在不会重复出现的信号。非周期信号：在不会重复出现的信号。 准周期信号准周期信号: :由多个周期信号合成，但各信号频率不成由多个周期信号合成，但各信号频

7、率不成公倍数。如：公倍数。如：x(t) = sin(t)+sin(2.t)x(t) = sin(t)+sin(2.t)瞬态信号瞬态信号:持续时间有限的信号，持续时间有限的信号， 如如 x(t)= e-Bt . Asin(2*pi*f*t)华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院周期信号 准周期信号 因为若干个频率比不是有理数。我们把这种由若干个频率比不因为若干个频率比不是有理数。我们把这种由若干个频率比不是有理数的正弦信号合成的信号称为准周期信号。是有理数的正弦信号合成的信号称为准周期信号。准周期信号是一种非周期信号准周期信号是一种非周期信号, ,其幅值频谱仍然是离散的其幅值频谱仍然是离散的,

8、 ,这种这种信号的处理方法与周期信号相同信号的处理方法与周期信号相同, ,差别只在于各分量的频率比差别只在于各分量的频率比不再是有理数不再是有理数 。这种信号往往出现于通信、振动系统，应用这种信号往往出现于通信、振动系统，应用于机械转子振动分析、齿轮噪声分析、语音分析等场合。于机械转子振动分析、齿轮噪声分析、语音分析等场合。 在确定性信号中在确定性信号中, ,除了准周期信号以外的非周期信号都为瞬变除了准周期信号以外的非周期信号都为瞬变信号。电容放电时电压变化、激振力消除后的阻尼自由振动、信号。电容放电时电压变化、激振力消除后的阻尼自由振动、静态拉伸试件突断时的件中应力等都是瞬变信号。静态拉伸试

9、件突断时的件中应力等都是瞬变信号。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院c)c)非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位非确定性信号：不能用数学式描述，其幅值、相位变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。变化不可预知，所描述物理现象是一种随机过程。如加工零件的尺寸、机械振动、环境的噪声等，这类信号需要采用数理统如加工零件的尺寸、机械振动、环境的噪声等，这类信号需要采用数理统计理论来描述，无法准确预见某一瞬时的信号幅值。根据是否满足平稳随计理论来描述，无法准确预见某一瞬时的信号幅值。根据是否满足平稳随机过程的条件又可以分成平稳随机信号和非平稳随机信号。汽车奔驰时所机过程的条件又可以分成

10、平稳随机信号和非平稳随机信号。汽车奔驰时所产生的振动、飞机在大气流中的浮动、树叶随风飘荡、环境噪声等产生的振动、飞机在大气流中的浮动、树叶随风飘荡、环境噪声等 噪声信号噪声信号(平稳平稳)统计特性变异统计特性变异噪声信号噪声信号(非平稳非平稳)华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院2 2 能量信号与功率信号能量信号与功率信号 a)a)能量信号能量信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，），能量为有限），能量为有限值的信号称为能量信号，满足条件：值的信号称为能量信号，满足条件： dttx)(2一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。一般持续时间有限的瞬态信号是能量信号。华中科技大学机械学院华中

11、科技大学机械学院b)b)功率信号功率信号 在所分析的区间（在所分析的区间（-，），能量不是有限），能量不是有限值此时，研究信号的平均功率更为合适。值此时，研究信号的平均功率更为合适。 一般持续时间无限的信号都属于功率信号一般持续时间无限的信号都属于功率信号:TTTTdttx)(lim221华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院3 3 时限与频限信号时限与频限信号 a) a) 时域有限信号时域有限信号在时间段在时间段 (t1(t1，t2)t2)内有定义，其外恒等于零内有定义，其外恒等于零 b) b) 频域有限信号频域有限信号在频率区间在频率区间(f1(f1，f2 )f2 )内有定义，其外恒等于

12、内有定义，其外恒等于零零 三角脉冲信号三角脉冲信号正弦波幅值谱正弦波幅值谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院4 4 连续时间信号与离散时间信号连续时间信号与离散时间信号 a) a) 连续时间信号连续时间信号: :在所有时间点上有定义在所有时间点上有定义 b)b)离散时间信号离散时间信号: :在若干时间点上有定义在若干时间点上有定义采样信号采样信号华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院数字信号：时间和幅值均为离散数字信号：时间和幅值均为离散 的信号的信号。模拟信号：时间和幅值均为连续模拟信号：时间和幅值均为连续 的信号的信号。抽样信号：时间离散的，幅值抽样信号：时间离散的，幅值 连续的信

13、号连续的信号。量化Ot tf nfnO nfnO抽样华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院5 5 物理可实现信号与物理不可实现信号物理可实现信号与物理不可实现信号物理可实现信号：又称为单边信号，满足条件：物理可实现信号：又称为单边信号，满足条件： t t0 0时，时，x(t) = 0 x(t) = 0， 即在时刻小于零的一侧全为零。即在时刻小于零的一侧全为零。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院b) b) 物理不可实现信号：在事件发生前物理不可实现信号：在事件发生前(t0)(t1:谐波分量谐波分量1nnnatnAtx)cos()(020变形为变形为：,.)3 , 2 , 1( n周期周期

14、 基波频率基波频率T0华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院式中式中: :;sin)(;cos)(;)(222/2/022/2/022/2/10nnabnnnnTTTnTTTnTTTarctgbaAtdtntxbtdtntxadttxa傅里叶级数的复数表达形式：傅里叶级数的复数表达形式：x tC ennjntn( ),(,.) 001 2T周期，周期，T=2/0；0基波圆频率；基波圆频率；f0= 0 /2 de)(12/2/j000TTtnnttxTnFC华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院欧拉公式与三角函数的关系欧拉公式与三角函数的关系 由泰勒级数展开由泰勒级数展开 753sin753

15、 sinjcos753j6421! 4j! 3j! 2j! 1j1e753642432j 三角函数可表示为三角函数可表示为j2eesin2eecosjjjj 6421cos642 同样若同样若 展开，可得到展开，可得到 je华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院周期信号周期信号f f( (t t) )的傅里叶级数有两种形式的傅里叶级数有两种形式=110)cos(nnntnAA 三角形式三角形式指数形式指数形式1n1n1n0tnbtnaatfsincos)(tnn1tnnn11enFeCtfjj)()(华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院两种系数之间的关系及频谱图2/2/j0de )(1)

16、(0TTtnnttxTnFC2/2/02/2/0dsin)(1jdcos)(1TTTTttntxTttntxT nnbaj21 2/2/02/2/00dsin)(1jdcos)(1)(TTTTnttntxTttntxTnFC nnbaj21 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院n00nnFnFCje)(是复数)(),(00nFnFn00nnFnFCje)(n2n2nnnA21ba21CCl 引入了负频率变量，没有物理意义，只是数学推导；l An 是实函数，Cn 一般是复函数，l 当 Cn 是实函数时，可用An 的正负表示0和相位， 幅度谱和相位谱合一；n2n2n0nA21ba21nFC)(

17、nnnabarctan华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院000nnaAC0nA21C两种频谱图的关系两种频谱图的关系)()( 00nnnn或相位频谱为奇函数nnA，三角函数形式：单边频谱单边频谱nnC，指数函数形式：双边频谱双边频谱)()( |00nnnFnFCC或偶函数指数形式的幅度频谱为华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院三个性质三个性质 的谱线唯一的谱线唯一惟一性：惟一性：处处现在现在（离散性），频率只出（离散性），频率只出谐波性：谐波性：收敛性：收敛性：)(,11tfnnFn 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院实验：方波信号的合成与分解实验：方波信号的合成与分解2.5

18、信号的频域分析信号的频域分析 .5/ )5sin(3/ )3sin()sin()(1tAtAtAtxn华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院实验：实验：手机和弦铃声手机和弦铃声的合成的合成华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院实验：实验：双音频双音频DTMFDTMF信令模拟实验系统信令模拟实验系统 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院频谱图的概念频谱图的概念 工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以工程上习惯将计算结果用图形方式表示，以f fn n ( ( 0 0) )为横坐标，为横坐标，b bn n 、a an n为纵坐标画图，称为实为纵坐标画图，称为实频虚频谱图。频虚频谱图。图例图例

19、华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 以以f fn n为横坐标，为横坐标，A An n、 为纵坐标画图，则称为为纵坐标画图，则称为幅值相位谱；幅值相位谱；n华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 以以f fn n为横坐标，为横坐标， 为纵坐标画图，则称为为纵坐标画图，则称为功率谱。功率谱。 2nA华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例子：方波信号的频谱例子：方波信号的频谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院幅值相位谱幅值相位谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院周期方波信号的频谱 是个偶函数是个偶函数 tfnnaab, 00只有只有 )(tf2 t1T1T E2 O122-1

20、2210T1= d)(1 TEEdtttfTaTT)Tn( csinTE2)Tnsin(nE2dt)tT2ncos(Etd)tncos()t (fT1a11112T2T11n22-1T1= (1)(1)三角形式的谱系数三角形式的谱系数华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院22j1122j111ej1de1 = tntnnTEtET 2j2j1111eej nnTnE 2sin2111 nTnE22sin111 nnTE (2)(2)指数形式的谱系数指数形式的谱系数2nSincTE112T2Ttn1n111td)t ( fT1Cjetn1j 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院)(1 nF

21、 O2nincSTEnF111(3)(3)频谱及其特点频谱及其特点1 12 1TE 2。相位为相位为，相位为，相位为, 000 nnFF 5 T图中图中华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。求周期锯齿波的三角函数形式的傅里叶级数展开式。 22110110d1TTttTATa 22111110dcos2TTnttntTATa 2211111dsin2TTnttntTATb 3 , 2 , 1 )1(1 nnAn周期锯齿波的傅里叶级数展开式为周期锯齿波的傅里叶级数展开式为 tAtAtf112sin2sin0 22 )(111TtTtTAtf直流直流基

22、波基波谐波谐波t tfA/2/221T21T 112T 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院请画出三角形式及复指数形式的幅度谱和相位谱。请画出三角形式及复指数形式的幅度谱和相位谱。10 c00 236. 251 c 15. 01 12 c 25. 02 (1)三角形式：化为余弦形式三角形式：化为余弦形式三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图，已知已知 42coscos2sin1)(111ttttf 4t2150t514t2t52t5151tf11111cos).cos(coscossin)(三角函数形式的傅里叶级数的谱系数三角函数形式的傅里叶级数的谱系数 1 1c0c2c12 O24.

23、211nc12 25. 015. 0 O1 n 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院（2）复指数形式：化为指数形式）复指数形式：化为指数形式 4j24j2jjjj111111ee21ee22eej211)(tnttttttf tttttf11112j4j2j4jjjee21ee21ej211ej2111)( tnnnF1j221e)( 1)0( F 15. 0j1e12. 1j211 F 15. 0j112. 1j211eF 4j1e212 F 4j1e212 F整理整理指数形式的傅里叶级数的系数指数形式的傅里叶级数的系数华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院谱线谱线1)0(0 FF12

24、. 1)(11 FF12. 1)(11 FF5 . 0)2(12 FF5 . 0)2(12 FF00 15. 01 15. 01 25. 02 25. 02 指数形式的频谱图指数形式的频谱图12 5 . 0O1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院（3）三角形式与指数形式的频谱图对比1 1c0c2c12 O24. 211nc12 5 . 0O1 1 12. 112 12. 15 . 01 1 nF12 25. 0 15. 0 O1 1 15. 012 25. 0 n

25、三角函数形式的频谱图三角函数形式的频谱图指数形式的频谱图指数形式的频谱图12 25. 0 15. 0 O1 n 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院3 3 非周期信号的频谱分析非周期信号的频谱分析 非周期信号是时间上不会重复出现的信号，非周期信号是时间上不会重复出现的信号，一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能一般为时域有限信号，具有收敛可积条件，其能量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶量为有限值。这种信号的频域分析手段是傅立叶变换。变换。 1010nTnincSTET2nFC)(1 nF O1 12 TET211T)(tftEO-T-TT1 非周期信号。由周期信号为无限小，时，

26、当tfTE0T0T2T0谱线间隔幅度华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院频谱演变的定性观察频谱演变的定性观察)n(F000)n(F)n(F02210T20华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院)(tf：周期信号：周期信号非周期信号非周期信号2T2Ttnjntd)t (fT1C0eT0再用再用 表示频谱就不合适了，虽然各表示频谱就不合适了，虽然各频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别。频谱幅度无限小，但相对大小仍有区别。nCdte )t ( xT1Ctjnn0因为对于周期信号 ：)(tf当当dte )t ( xTC)n(Xtjnn00谱系数：谱系数：nTtjTClimdte)t ( x)(X而

27、：而：频谱密度函数频谱密度函数简称频谱函数简称频谱函数具有频谱随频率分具有频谱随频率分布的物理含义布的物理含义.华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院dtetxXdeXtxtjtj)()()()(21或或)()()(fjefXfX)(Im)(Re)(22fXfXfX)(Re)(Im)(fXfXarctgf 求解：求解：x tXf edfXfx t edtjftjft( )()()( )22华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院称为虚谱密度称为实谱密度称为能量谱密度的相位谱密度称为的幅值谱密度称为)f(XIm)f(XRe)f(X)t ( x)f()t ( x, )f(X)f(A2华中科技大学

28、机械学院华中科技大学机械学院 与周期信号相似，非周期信号也可以分解为与周期信号相似，非周期信号也可以分解为许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于许多不同频率分量的谐波和，所不同的是，由于非周期信号的周期非周期信号的周期T T，基频，基频f fdfdf，它包含了，它包含了从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅从零到无穷大的所有频率分量，各频率分量的幅值为值为X(f)dfX(f)df，这是无穷小量，所以频谱不能再用，这是无穷小量，所以频谱不能再用幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。幅值表示，而必须用幅值密度函数描述。 另外，与周期信号不同的是，非周期信号的谱另外，与周期信号不同的是，非周期

29、信号的谱线出现在线出现在0,f0,fmaxmax的各连续频率值上，这种频谱称为的各连续频率值上，这种频谱称为连续谱。连续谱。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院对比对比:方波谱方波谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院实验：典型信号的频谱分析实验：典型信号的频谱分析点击图片点击图片进入进入华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例：求矩形脉冲信号例：求矩形脉冲信号的频谱密度的频谱密度)Tt(0)Tt(E)t (x111E),T(SincT2)T(SincET2T)Tsin(ET2)Tsin(dtEe)(X11111111E2TTtj11当1E),fT2(SincT2)f(X11当或者或

30、者: :华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院2 , 1 ,0n,)f()f(0)f(1111T1nT2/1nT2/1nTn)fT2(SincT2)fT2(SincT2)f(Ae)fT2(SincT2e )f(Ae)f(X1E),fT2(SincT2)f(X1111)f(j11j)f(j11当怎样得到的？怎样得到的？!华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院)f(sinj)f(cos)fT2(SincT2)f(sinj)f(cos)f(Ae)fT2(SincT2e )f(A1E),fT2(SincT2)f(X11)f(j11)f(j11当2 , 1 ,0n),f(11T2/1nTn相位谱的推

31、导：相位谱的推导：因：因：所以所以,当：当：0)f()f(A)f(X)f(X2 , 1 ,0n),f(11T1nT2/1n)f()f(A)f(X)f(X当：当：华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 ttuEtfFttdee)(j F 0 000ettEtft 例单边指数信号1E,j1jEtdE0tj当 e tfOtE华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院t11 )sgn(tO 0t10t1ttf,sgn)(例符号函数处理方法：处理方法： 0tt0tt1teteeFdedjj22211jjj jjlimlim22FF22010te te 。求极限得到

32、，求sgnFFettf1t1做一个双边函数做一个双边函数不满足绝对不满足绝对可积条件可积条件华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 2e222tjjjsgn频谱图 是偶函数F 是奇函数O 22 2 )( FO 22F2020 202,arctan华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院4 4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质 傅里叶变换具有唯一性。傅氏变换的性质揭示傅里叶变换具有唯一性。傅氏变换的性质揭示了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联了信号的时域特性和频域特性之间的确定的内在联系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：系。讨论傅里叶变换的性质，目的在于：了解特性的内在联系；了解特性的

33、内在联系；用性质求用性质求F F( () )；了解在通信系统领域中的应用。了解在通信系统领域中的应用。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院线性性质线性性质 尺度变换尺度变换时移特性时移特性 频移特性频移特性对称性质对称性质 奇偶虚实性奇偶虚实性微分性质积分性质微分性质积分性质卷积性质卷积性质 帕斯瓦尔帕斯瓦尔( (Paseval)定理定理华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院4 4 傅立叶变换的性质傅立叶变换的性质c.c.对称性对称性 若若 x(t) X(f)x(t) X(f)，则，则 X(-t) x(-f) X(-t) x(-f) a.a.奇偶虚实性奇偶虚实性b.b.线性叠加性线性叠加

34、性 若若 x1(t) X1(f)x1(t) X1(f)，x2(t) X2(f) x2(t) X2(f) 则：则：c1x1(t)+c2x2(t) c1X1(f)+c2X2(f)c1x1(t)+c2x2(t) c1X1(f)+c2X2(f)华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院e. 时移性时移性 若若x(t) X(f)，则，则 x(tt0) ej2ft0 X(f) d. 时间尺度改变性时间尺度改变性 若若 x(t) X(f)，则，则 x(kt) 1/kX(f/k)f. 频移性频移性 若若x(t) X(f)，则，则x(t) ej2f0t X(f f0) 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院尺度

35、变换性质尺度变换性质证明证明 atfF atfF aFaatfF 1综合上述两种情况综合上述两种情况 tatfatfFtdej 因为因为xataxtatxad1d,0 ，令，令当当xatxaaxttaatxaaad1d,1 ,0 令令，当当 aFa 1 xdxfa1xdxfa1x)a(jaxjee aFa 1 xdxfa1x)a(je xxfaaxde1j 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院otE2 2 tfo E 2 F 2ot 2tfEo E2 22F (1) 0a1 时域压缩，频域扩展时域压缩，频域扩展a倍。倍。 录放机的快放与慢放录放机的快放与慢放华中科技大学机械学院华中科技大学

36、机械学院),()( Ftf若若;)(F)tt (f0tj0e则)(je)()( FF 若若0t)(j0)(F)tt (fe则时移特性证明 000ttt 左左右右相移相移幅度频谱无变化，只影响相位频谱，幅度频谱无变化，只影响相位频谱，)(Fedxe )x( fedxe )x( f)x( fFTttx000tjxjtj)tx(j0)(Fe)tt (fFT0tj0华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院带有尺度变换的时移特性带有尺度变换的时移特性)(1)(1/ )()(10)()(0000/ )(000aFeadxxfeaatxtdxexfatatxadtetatftatfFTatjatjatxjt

37、j若a 0,则有绝对值)()( Ftf若若 abaFabatf je1 则则华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例子：求下图波形的频谱例子：求下图波形的频谱+X1(f)X2(f)用线性叠加定理简化用线性叠加定理简化华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院求：求：)(tf的傅立叶变换的傅立叶变换)(tf2212t)t (u)t (u)t (u)t (u)t (f22)(Sinc2)2/(Sinc)(F2华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例：求图例：求图(a)所示三脉冲信所示三脉冲信号的频谱。号的频谱。 tft2 2 TT E(a)三脉冲信号的波形(a)三脉冲信号的波形O解：解： ,00

38、 Ftf信号，其频谱函数信号，其频谱函数表示矩形单脉冲表示矩形单脉冲令令 2incSEF0 2 0F EO(b)(b)华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 2 0F EO因为因为 TtfTtftftf 000 :为为的频谱函数的频谱函数数数由时移性质知三脉冲函由时移性质知三脉冲函 Ftf Tcos212incE1FFTjTj0See FOT2 E3(c)三脉冲信号的频谱(c)三脉冲信号的频谱T4 2脉冲个数增多，频谱脉冲个数增多，频谱包络不变，带宽不变。包络不变，带宽不变。 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例:已知矩形调幅信号已知矩形调幅信号 ,cos0ttGtf 试求其频谱函数。

39、试求其频谱函数。脉宽为脉宽为，为为为矩形脉冲，脉冲幅度为矩形脉冲，脉冲幅度其中其中, EtG 为为的频谱的频谱已知矩形脉冲已知矩形脉冲 GtG 2incEGS解：解：因为因为 tjtj00tG21tfee 为为频谱频谱根据频移性质，根据频移性质， Ftf 002121 GGF t tfo2 2 E(a)矩形调幅信号的波形(a)矩形调幅信号的波形华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院频谱图 2incS2E2incS2EG21G21F0000 0 二，向左、右各平移二，向左、右各平移将包络线的频谱一分为将包络线的频谱一分为 20 0 O0 2 E F(b)矩形调幅信号的频谱(b)矩形调幅信号的频

40、谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例：冲激函数冲激函数 傅立叶变换对傅立叶变换对1)()(dtetFtj1t0)(t)(F0)(t几种典型信号的频谱几种典型信号的频谱华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院tEtf,)(例. 直流信号不满足绝对可积不满足绝对可积条件，不能直接条件，不能直接用定义求用定义求 FtO tf1 E E2E tO tfE2)(20根据傅立叶变根据傅立叶变换的对称性质换的对称性质华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例：周期信号的频谱密度 严格说来周期信号不满足绝对可积条件，也需借助函数来求其频谱密度。 设x(t) 为周期信号，将其展开为傅里叶级数有： ntn

41、f2jn0ec)t ( x2220)(1TTtfjnndtetxTc华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院则x(t) 的傅立叶变换： n0n0nn0nntnf2jnntnf2jn)nff(cj)nff(c)nff(ceFcecF)t ( xF00ImRe根据傅立叶变根据傅立叶变换的线性性质换的线性性质0tnf2jnffe0与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院随机信号的相关函数与其频谱的关系随机信号的相关函数与其频谱的关系对于平稳随机信号，自相关函数Rx()是时域描述的

42、重要统计特征，而功率谱密度函数Sx(f)则是频域描述的重要统计特征。Rx()与Sx(f)有着密切的关系。 实际上，自相关函数Rx()与自功率谱密度函数Sx(f)构成了一对傅里叶变换对。 deRfSfjxx2)( dfefSRfjxx2)( 21limfXTfSTTx称为维纳-辛钦（Wiener-X）定理，维纳-辛钦定理揭示了平稳随机信号时域统计特征与其频域统计特征之间的内在联系，是分析随机信号的重要公式。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院相干函数与频率响应函数相干函数与频率响应函数 fGfGfGfyxxyxy22 fGfGfHxxy 利用互谱密度函数可以定义相干函数xy2 (f)及系统的

43、频率响应函数H(f) 相干函数（coherence function）又称凝聚函数，相干函数是谱相关分析的重要参数，特别是在系统辨识中相干函数可以判明输出y(t)与输入x(t)的关系。 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院5 5 频谱分析的应用频谱分析的应用 频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是频谱分析主要用于识别信号中的周期分量，是信号分析中最常用的一种手段。信号分析中最常用的一种手段。案例：案例：在齿轮箱故障诊断在齿轮箱故障诊断通过齿轮箱振动信号频谱分析，通过齿轮箱振动信号频谱分析，确定最大频率分量，然后根据确定最大频率分量，然后根据机床转速和传动链，找出故障机床转速和传动链，找出

44、故障齿轮。齿轮。案例：案例：螺旋浆设计螺旋浆设计可以通过频谱分析确定螺旋浆可以通过频谱分析确定螺旋浆的固有频率和临界转速，确定的固有频率和临界转速，确定螺旋浆转速工作范围。螺旋浆转速工作范围。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院 谱阵分析：谱阵分析：设备启设备启/ /停车变速过程分析停车变速过程分析 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院某齿轮箱振动加速度信号分析 案例1：轴转频轴转频3.47Hz 3.47Hz 2148Hz 2148Hz高频信号幅值较大高频信号幅值较大（箱体共振（箱体共振:2129Hz:2129Hz）结论与事实：结论与事实： 轴发生了严重弯曲轴发生了严重弯曲华中科技大学

45、机械学院华中科技大学机械学院例例2 利用频谱诊断发动机连杆轴承间隙 发动机连杆轴承间隙变化时的振动功率谱 间隙增加，功率谱幅值也相应增加，并且在1.2kHz处尤其明显，谱峰值随连杆轴承间隙的增加而呈抛物线关系增加。因此，利用这一关系可诊断出连杆轴承间隙的大小。 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例例3 不平衡故障 泵、风机、电动机使用一段时间后，由于磨擦、积灰等原因，使转子质心改变，出现不平衡（电动机由于润滑脂过量也会引起不平衡）。不平衡的特点是：1、振动频率单一，振动方向以径向为主。在工频（亦称转频）（1X ）处有一最大峰值，（转子若为悬臂支承，将有轴相分量）；2、在一阶临界转速内振幅

46、随转速的升高而增大；3、谱图中一般不含工频（1X）的高次谐波（2X、3X ）。 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院一台射流泵正常运转时在工频（1800rmin）处幅值最大，达1.5m（图5-1）。3个月后再测量，同一处的最大峰值已是2.83m（图5-2），达到泵安全运行的报警值。拆机修理发现一异物缠绕在叶轮上，改变了质心。除异物，工频处幅值仅为0.97m（图5-3），振幅明显减小，泵运行正常。 5-35-4华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例例4 不对中及轴弯曲 就旋转机械而言，70-75的振动是不对中引起的。 不对中有两种：平行不对中和角度不对中。平行不对中径向振动比较突出，角度

47、不对中轴向振动更突出、两者在机器端部或联轴器两边都有180的相位差。 不对中振动的特点：1在2X处有大的能量分布；2随着不对中程度的增加，产生很大的轴向振动分量；3在联轴器的两边振动的相位关系是18030；4在2X处的幅值大于1X处的50时意味不对中程度已加剧。 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院图5-5是一台水泵的谱图，图中2X处也有峰值，该处幅值已明显增大并超过1X调处的幅值（图5-5），说明不对中已比较严重。检查发现不对中量达0.254mm。找正后谱图（图5-6）2x处的幅值已明显变小，机组运行相当平稳。 5-55-6华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院5-75-8例例5 机械

48、松动 即使装配再好的机器运行一段时间后也会产生松动。引起松动的常见原因是：螺母松动、螺栓断裂、轴径磨损、甚至装配了不合格零件。 具有松动故障的典型频谱特征是以工频为基频的各次谐波，并在谱图中常看到10X。国外有人认为，若3X处峰值最大，是轴和轴承间有松动，若4X处有峰值，表明轴承本身、松动。 图5-7是一台电机地脚螺栓诊断的谱图。但更换地脚螺栓后，谱图上除工频处有一峰值，其它峰值均已消谢图5-8）。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例例 6 ：刀具磨破损监控：刀具磨破损监控l切削力监测法l声发射监测法l电机功率（或电流）监测法l振动监测法l主轴转速波动监测法l表面粗糙度法l多传感器融合技

49、术监测法华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院XHK切削力信号电荷放大器数控柜立式数控铣床92 57A工件吊挂主轴驱动单元变压器工控机伺服系统伺服系统伺服系统插入主板扩展槽CRT测力平台XYZYE5850光电编码器主轴功率信号振动信号电荷放大器X向位移传感器F8058X向振动传感器4369Y向振动传感器4369Y向位移传感器F8057YXYX位移信号后置处理仪器数据采集卡AVX-92BB&K 2626滤波、放大器YE3760, 3761YE3770, 3771通讯华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院铣削加工特点铣削加工特点: :l多刃断续切削l切削参量变化频繁l空转、切入、平稳切削、切出

50、l切削扭矩变化引起主轴转速波动信号周期变化l切削力、振动、功率等非平稳光 电编码器工作台工件主轴箱铣刀光 电传感器1光 电传感器2n光电编码器输出脉冲信号光电传感器1输出脉冲信号光电传感器2输出脉冲信号主轴转动一转 2 个脉冲t1t2t3t4第一个刀齿第二个刀齿第三个刀齿第四个刀齿NTC1TC2TC3TC4TC1TC2TC3TC4TC1（每转触发脉冲信号）（每齿触发脉冲信号）（每采样点触发脉冲信号）华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院0.10.20.30.40.0-0.100.00-0.050.050.10转速波动率%时间(秒)1/fc转动周期H (1) H (2)H (3)H (4)L

51、(1)L (2)L (3)L (4)刀具正常刀具破损kkkkkkkk基于速度变化的刀具磨破损监控刀具磨破损监控华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院0500100015002000-300-200-1000100200300400500600700采样点数F/Nabc基于切削力变化的刀具磨破损监控刀具磨破损监控华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院例7 滚动轴承故障检测 内圈：fe=fr(1+d/Dcos)z/2 外圈：fo=fr(1-d/Dcos)z/2滚动体： fg=fr(1-d2/D2 cos2)D/d/2假设：滚动体为纯滚动 f1：滚动体公转频率V1V2dDfr华中科技大学机械学院

52、华中科技大学机械学院2.6卷积分卷积分第二章、信号分析基础第二章、信号分析基础1 卷积卷积 卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研卷积积分是一种数学方法，在信号与系统的理论研究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与变换究中占有重要的地位。特别是关于信号的时间域与变换域分析，它是沟通时域频域的一个桥梁。域分析，它是沟通时域频域的一个桥梁。 )()()()()(thtxdthxty 在系统分析中，系统输入输出和系统特性的作用在系统分析中，系统输入输出和系统特性的作用关系在时间域就体现为卷积积分的关系关系在时间域就体现为卷积积分的关系 x(t)h(t) y(t)华中科技大学机械学院华中科技

53、大学机械学院2 卷积的卷积的物理意义物理意义 对于线性系统而言，系统的输出对于线性系统而言，系统的输出y(t)是任意输入是任意输入x(t)与与系统脉冲响应函数系统脉冲响应函数h(t)的卷积。的卷积。（1）将将信号信号x(t)分解分解为许多宽度为为许多宽度为 t 的窄条面积之和，的窄条面积之和，t= n t 时的第时的第n个窄条的高度为个窄条的高度为x(n t )，在，在 t 趋近于趋近于零的情况下，窄条可以看作是强度等于窄条面积的脉冲。零的情况下，窄条可以看作是强度等于窄条面积的脉冲。tx(t)n t x(n t ) t 华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院（2）根据线性系统特性，在）根据

54、线性系统特性，在t=n t时刻，窄条脉冲引起的时刻，窄条脉冲引起的 响应为响应为: x(n t) t h(t- n t)tx(nt) t h(t- nt)0华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院（3）根据线性系统的叠加原理，各脉冲引起的响应之和）根据线性系统的叠加原理，各脉冲引起的响应之和 即为输出即为输出y(t)ytx n tthtn tn()()()0ty(t)0华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院卷积的基本过程卷积的基本过程:（1）将 关于 进行反褶得到 ；（2）再平移 至得到 ；（3）与 相乘得到 ；（4）对 进行积分得到 这就是 ；（5）变化 ，就可以得到 )(h)(h0t)()(00thth)t ( x)()(0thx )()(0thx)(0ty0t)t ( y)()()()()(thtxdthxty华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院卷积与相关h(t)t00h(-)(1)反折x(t)0t3 卷积积分的几何图形表示卷积积分的几何图形表示(2)平移0h(t1 -)(3)相乘0h(t1 -)x(t)0tx(t)0t(4)积分(1)反折；反折；(2)平移；平移；(3)相乘；相乘；(4)积分。积分。华中科技大学机械学院华中科技大学机械学院0000, 0,)(, 0,)(TtTtAthTtTtAtx卷积与相关h(t)t0 x(t)0t卷积分的计算图例卷