B积分形式的基本方程PPT学习教案

1、会计学1B积分形式的基本方程积分形式的基本方程2系统广延量系统广延量控制体广延量控制体广延量 dtNsys dtNCVCVB4.1 B4.1 流体系统的随体导数流体系统的随体导数 输运公输运公式式CSCVsysdAdtDtDNnv 系统广延量的导数，称为系统导数。系统广延量的导数，称为系统导数。控制体广延量随时间变化率控制体广延量随时间变化率, , 称为当地变化率称为当地变化率 ；当流场定常时为零。；当流场定常时为零。通过控制面净流出的广延量流量通过控制面净流出的广延量流量, , 称为迁移变化率称为迁移变化率 ；当流场均匀时为零。；当流场均匀时为零。 输运公式计算取决于控制体输运公式计算取决于

2、控制体(面面)的选择的选择第1页/共96页3t t时刻界面时刻界面S S，体积，体积体积体积( (t+t+tt) )tvnS S S S (t+t)1212)(ttVdtrtN),()(t+t+tt时刻界面时刻界面S S),(),(1lim)()(0ttttVdtrdttrtddtd),(),(),(1lim)(0dttrdtrttrtddtdttV21IIddtdV12第2页/共96页4dtrttrtIt),(),(1lim01tdSvdndtI1SntttdSvttrtdttrtI),(1lim),(1lim00212t t时刻界面时刻界面S S，体积，体积体积体积( (t+t+tt) )

3、tvnS S S S (t+t)12t+t+tt时刻界面时刻界面S SS1S2SSS1222),(),(SntdSvttrdttr11),(),(SntdSvttrdttr211212),(SSntdSvttrddd物理量流量物理量流量AVVdAnvdVtdVdtd第3页/共96页5)V(uVtVdtdDtDIVVVVVVVV)u(VtV)uu(VtDtDIAVVdA)u(ndVtdVdtdAVdA)u(ndV)u(高斯公式高斯公式n替换为替换为输运公式输运公式)V(udtrd)V(dtVdV)u(VVVVuV)u()V(u)V(uBut)t , z , y, x(BB)ut(dtdB质量守恒

4、rd)V(Vdrd)f(df第4页/共96页6t t时刻界面时刻界面S S，体积，体积体积体积( (t+t+tt) )tvnS S S S (t+t)12t+t+tt时刻界面时刻界面S S)(01),(),(1limtttdtrttrtItdSvdndtI1SntttdSvttrtdttrtI),(1lim),(1lim00221IIddtdV物理量流量物理量流量 SdSnvdtddtdSndSvtrI),(212S1S2动坐标系的输运公式动坐标系的输运公式第5页/共96页7输运公式输运公式VVM系统质量系统质量 的随体的随体导数导数VVvK系统动量系统动量 的随体导的随体导数数物理量流量物理

5、量流量AVVdAnvdVtdVdtd质量流量质量流量AVVdAnvdVtdVdtdAVVdA)nv(vdVtvdVvdtd动量流量动量流量系统体积系统体积 的随体的随体导数导数VVV体积流量体积流量AVdAnvdVdtd第6页/共96页8B4.2 B4.2 积分形式的连续性方程积分形式的连续性方程CVCSddA0tv nB4.2.1 B4.2.1 固体的控制体固体的控制体上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质上式表明：通过控制面净流出的质量流量等于控制体内流体质量量 随时间的减少率。随时间的减少率。 输运公式可用于任何分布函数输运公式可用于任何分布函数 ，如密度分布、动量分布，

6、如密度分布、动量分布、能量分布等。、能量分布等。 令令 ，由系统的质量不变可得连续性方程，由系统的质量不变可得连续性方程 对固定的对固定的CVCV，积分形式的连续性方程可化为，积分形式的连续性方程可化为CSCV()dAdtv n第7页/共96页9VVM系统质量系统质量 的随体的随体导数导数质量流量质量流量AVVdAvndVtdVdtd连续性方程连续性方程VAdV)v(dAvn0VVVVdV)vt(dVvdVtdVdtd高斯公式高斯公式n替换替换0vt质量流量质量流量第8页/共96页10111AAdAudAnu1u流进面流进面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法线线方方向向n1nAB流进

7、面流进面11111ununuu流出面流出面22222ununuuinAAoutQdAudAnuQ2221.1.沿流管的定常流动沿流管的定常流动 0AdAnv0AVVdAnvdVtdVdtd021AAAdAnvdAnvdAnv11AindAuQ第9页/共96页11111AAdAudAnu1u流进面流进面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法线线方方向向n1nAB流进面流进面11111ununuu流出面流出面22222ununuuinAAoutmdAudAnum2221.1.沿流管的定常流动沿流管的定常流动 0AdAnv021AAAdAnvdAnvdAnv11AindAuminoutmvAv

8、Am111222第10页/共96页12设出入口截面上的质流量大小为设出入口截面上的质流量大小为 inVAoutVAQQ inout)()(1.1.沿流管的定常流动沿流管的定常流动 AVm 一般式一般式 nioutmm 有多个出入口有多个出入口 inoutVAVA)()(2.2.沿流管的不可压缩流动沿流管的不可压缩流动 设出入口截面上的体积流量大小为设出入口截面上的体积流量大小为 VAQ 一般式一般式 有多个出入口有多个出入口 第11页/共96页13 例例B4.2.1 B4.2.1 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程 已知已知: : 所有管截面均为圆形所

9、有管截面均为圆形, ,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm,平均流量分别为平均流量分别为Q1=6 l/min, Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q 5= 0.78Q1 求：求： Q2 及各管的平均速度及各管的平均速度 解：解： 取图中虚线所示控制体，有多个出入口。取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按不可压缩流体处理血液按不可压缩流体处理 可得可得Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5 Q2 = Q 1(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1(0.07+0.04+0.78)Q = 0.11Q1

10、= 0.66 l / min inoutQQ第12页/共96页14各管的平均速度为各管的平均速度为 例例B4.2.1 B4.2.1 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程 20.4cm/s602.5100064422111dQVcm/s8.0600.8100060.044422444dQV24.8cm/s602.0100060.784422555dQV18.2cm/s600.7100060.074422333dQV11.6cm/s601.110000.664422222dQVQ1=6 l/min1升=0.001立方米=1立方分米=1000立方厘米第13页/

11、共96页15B4.2.2 B4.2.2 运动的控制体运动的控制体 将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将将控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将速度改成相对速度速度改成相对速度vr对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时对流体在具有多个出入口的控制体内作定常流动时 CVCS0dAdt)nvr(inoutAV(AV(rr)上式中上式中 ，vr 分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度分别为出入口截面上的平均相对密度和平均相对速度。 第14页/共96页16 例例B4.2.1b B4.2.1b 变水位孔口出流：随时间变化的控制体变水位孔口出流：随时间变化的控制体已

12、知圆柱型水箱已知圆柱型水箱, ,D=1m, d=0.1m, 放水前水深放水前水深H=1m, 假设孔口出流速度为假设孔口出流速度为v2=2gh?, h(t)为任意时刻的水深。DdhvH求孔口打开至水放空所需时间求孔口打开至水放空所需时间T T0AVdAnvdtdtdhAhAtdtDDVdAvAdAnv020ghAdtdhAvAdtdhAdDdDhHdDtdDghdhAAdttghdhAAdt220)(22hHAgAtdDsdgHDAgHATdD2 .45222222放空放空h=04/2dAd4/2DAD第15页/共96页17 例例B4.2.2 B4.2.2 圆管入口段流动：速度廓线变化圆管入口段

13、流动：速度廓线变化 已知已知: : 不可压缩粘性流体以速度不可压缩粘性流体以速度U流入半径流入半径R的圆管的圆管, ,圆截面上的速度廓圆截面上的速度廓 线线, 不断发展至指数形式分布不断发展至指数形式分布(湍流湍流)并不再变化称为充分发展流动并不再变化称为充分发展流动。求：求： 充分发展流动的速度廓线表达式充分发展流动的速度廓线表达式解：解： 设设充分发展流动的速度廓线为充分发展流动的速度廓线为 指数形式指数形式式中式中um为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取 n=1/7-1/10. .由连续性方程由连续性方程: : (b)式左端式左端=

14、R 2U, (b)式右端式右端= = rRrrRunR0nnmd)(1)(2R0nmArr2)Rr(1uAUdd(b)(n21,n)Rr(1uum(a)UR第16页/共96页18 例例B4.2.2 B4.2.2 圆管入口段流动：速度廓线变化圆管入口段流动：速度廓线变化 由积分公式可得由积分公式可得取取 n=1/7时时R0R01nR01n1nR0nrRrRrr1n1Rrr1n1rRrrd)()()d(d)(2)1)(1)()(2)1)(1nnRRrnn2n2nR02n由由(b)式可得式可得 2)1)(1)(2nnRuUR222nm2UUUum1.22477215822)711)(71(或或 U

15、= 0.8167 u m Unnum22)1)(第17页/共96页19B4.3 B4.3 伯努利方程及其应用伯努利方程及其应用伯努利方程的推导：伯努利方程的推导： 由一维欧拉运动方程沿流线积分由一维欧拉运动方程沿流线积分伯努利方程的限制条件：伯努利方程的限制条件：(3) 定常流动定常流动伯努利（伯努利（D.Bernouli 1700D.Bernouli 170017821782）方程的提出和意义）方程的提出和意义(2) 不可压缩流体不可压缩流体(1) 无粘性流体无粘性流体(4) 沿流线成立沿流线成立Cpgzu221Cpgzu221第18页/共96页20加速度的变体 xuuxuuxuuxuuuu

16、uzzyyxxzyx2222221;)()()( 22zuuyuuxuuxuuxuzuuyuxuuuuuuxzxyzzyyzxzxyyyzzyzyzyzyzyxzxyxxuuxuxuuxuuxuu22122 u第19页/共96页21zyzyxzxyxxuuxuxuuxuuxuu2212zyzyxxzxyxxxuuxutuxuuxuuxuutu2212uuuxuuxuuxuuzyx221uuuuu221uuutuuutu221第20页/共96页22欧拉方程可化为葛罗米柯方程（欧拉方程的另一种形式）： pfuuutudtud221uuutuuutudtud221pfdtud葛罗米柯方程kzWjyW

17、ixWWfPpP压力函数dprdpPW势函数rdfWuu)PWu(tu221第21页/共96页23理想流体微分方程的积分 uu)PWu(tu221恒定流时 0ut葛罗米柯方程方程可化为葛罗米柯方程方程可化为： uu)PWu(221uus流线切线方向0212)uu(uu)PWu(s沿流线0212)PWu(s)n(CPWu221伯努利方程第22页/共96页242 urd)u()PWu(rd2212uuu)PWu(2212Kuuudzdydxrd)u()PWu(dyyxzyx222212)k(CPWu221K=0,伯努力方程P压力函数pP,const,dprdpPW势函数gzW,kgf , rdfW

18、)k(Cpgzu221伯努力方程化为当质量力只有当质量力只有重重力力时，对时，对理想理想、不可压缩不可压缩流体有流体有伯努利方程伯努利方程第23页/共96页25行列式为零的情况 静止流体： ，得到静力学基本方程0 xyzuuupzCyyxzyxuuudzdydxK)k(Cpgzu2210 xyz 无旋流动：xyzdxdydzuuu 流 线：xyzdxdydz 涡线：yxzxyzuuu 螺旋运动?：Cpgzu221 无旋流动无旋流动伯努利方程伯努利方程 处处成立处处成立第24页/共96页26流线方向的速度压强关系ssmaF svvtvdt)t , s(dvas切向加速度ssaAcossAA)ss

19、pp(Apszszcos几何关系)svtv()svvtv(szsp221)n(fdstvvzp221定常流动定常流动npvssppszxyGzs0212tvsvszp)n(fvzp221第25页/共96页27元流伯努利方程的应用毕托管测速仪 滞止点滞止点（驻点驻点）1 1：速度为零，压力最大速度为零，压力最大222221112121ugpzugpz0121uzzghu22 为经实验校正的流速系数，为经实验校正的流速系数，它与管的构造和加工情况有关它与管的构造和加工情况有关，其值近似等于其值近似等于1 1。ghu2实际流速实际流速h11p2ph1p2p2u01u/01111phpphpaa/02

20、222phpphpaaghppgu2)(22122第26页/共96页28已知已知: : 设毕托管正前方的流速保持为设毕托管正前方的流速保持为v, ,静压强为静压强为p, ,流体密度为流体密度为, ,U 形管中形管中液体密度液体密度m . . 求：求： 用液位差用液位差h表示流速表示流速v 例例B4.3.1 B4.3.1 毕托测速管毕托测速管 220002212121BBBAvgpzugpzvgpzBAzzz0AOB线是一条流线线是一条流线(常称为零流线常称为零流线),2022121BBvgppvgpppvvBB2021vpphgppm)(0k 称为毕托管系数。称为毕托管系数。hgkvm2) 1

21、(hgkvppm)?(?2120总压总压= =静压静压+ +动压动压第27页/共96页29hxpp0MhzxppmNhzppm0等压面等压面， pM= pN0BAzzzhppm0hhpp11mm0zxMNpMPNp0p第28页/共96页30B4.3.2 B4.3.2 沿总流的伯努利方程沿总流的伯努利方程1.1.单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒单位质量流体沿流线法线方向的机械能守恒pgzdnRv2常数常数( (沿流线法线方向沿流线法线方向) ) 惯性离心力做功惯性离心力做功重力势能重力势能压强势能压强势能2. 2. 理想流体沿总流的伯努利方程理想流体沿总流的伯努利方程pgzV22常数常数

22、( (沿流束沿流束) ) 上式中上式中V V为总流截面上的平均速度，为总流截面上的平均速度， 为动能修正因子（通常取为动能修正因子（通常取 ） 1实际流体的总流伯努力方程实际流体的总流伯努力方程：21222222111122lhgvpzgvpz第29页/共96页31npCvRnnppszxyznG流线主法线方向的速度压强关系流线主法线方向的速度压强关系Rvan2向心加速度向心加速度RvnAcosnAA)nnpp(Ap2nznzcos几何关系Rvnznp2)s(fdngRpz2v渐变流动渐变流动)s(fzpp+z垂直于流线的断面上不变垂直于流线的断面上不变nnmaF Rnp2v忽略重力0v2nR

23、pppOutinpoutpinOutinpp 第30页/共96页32对于恒定不可压缩且质量力只有重力的渐变流动,0,0 xyzuu uuxzyufpupfdtud22xuxp202yuypzugzp2)x(ffyfyp00)y, x( fzpzp)x(fzp)x(fzp 即在即在渐变流过流断面渐变流过流断面上，压强分布可认为服从于上，压强分布可认为服从于流体流体静力学规律静力学规律。)x(Fzpp/+z在渐变流的过流断面上不变在渐变流的过流断面上不变过流过流 断断面面x流动方向流动方向第31页/共96页33恒定总流伯努利方程 渐变流渐变流及其性质及其性质 均匀流均匀流的流线是相互的流线是相互平

24、行的直线平行的直线，过流断面是，过流断面是平面平面。许。许多流动情况虽然不是严格的均匀流，但多流动情况虽然不是严格的均匀流，但接近接近于均匀流，这种于均匀流，这种流动称为流动称为渐变流动渐变流动。渐变流的流线。渐变流的流线近乎近乎平行直线，流速沿流平行直线，流速沿流向变化小，可忽略不计，过流断面可向变化小，可忽略不计，过流断面可认为认为是平面。是平面。第32页/共96页3421222221112121lhvgpzvgpz考虑粘性效应的伯努力方程考虑粘性效应的伯努力方程第33页/共96页35总流伯努力方程总流伯努力方程总流伯努力方程可由元流伯努力方程积分得到总流伯努力方程可由元流伯努力方程积分得

25、到12221122121 222lAApupuzdQzdQhdQgg式中包含三类积分式中包含三类积分：（a）势能积分势能积分 ApzdQAppzdQzQ取渐变流断面取渐变流断面，则则：dQdQ)hugpz()ugpz(l21222221112121B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义第34页/共96页36引入断面平均流速及引入断面平均流速及动能修正系数动能修正系数1 取决于断面取决于断面上流速的分布，上流速的分布， 通常取通常取（c）损失积分损失积分 1 2lh 引入引入 来表示单位时间单位重量流体由来表示单位时间单位重量流体由1-11-1断面断面到到2-2

26、2-2断面的断面的平均平均机械能损失，称为机械能损失，称为总流水头损失总流水头损失1 21 2llhdQhQAudAAQvAAdAuAv33（b）动能流量动能流量 AAAdAudQudQug322212121AvdAuQvdAuQvdQuQvdQuAAAgAg3333221221221221QvgdQugA22221B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义第35页/共96页37)s(fpzhugpzugpzl2122222111212112221122121 222lAApupuzdQzdQhdQgg将上述三类积分带入原积分式，则得到总流伯努力方程将上述三类积分

27、带入原积分式，则得到总流伯努力方程：QhQgvQ)pz(QgvQ)pz(l2122222211112221222222111122lhgvpzgvpzB4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义第36页/共96页38总流伯努力方程的适用条件 恒定流； 不可压缩流体； 质量力只有重力； 渐变流过流断面； 无分流和合流； 无能量的输入输出。2211 1212121 222lppzzhggB4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义第37页/共96页39总流伯努力方程的意义总流伯努力方程的意义 总流伯努力方程的几何意义和物理意义在总流伯努力方程

28、的几何意义和物理意义在“平均平均”的意义下的意义下同元流伯努力方程相同，即：同元流伯努力方程相同，即：22pzg、 、 各项分别代表总流过流断面上某点各项分别代表总流过流断面上某点单位重单位重量量流体的流体的势能势能、压能压能及及动能动能；1 2lh 代表代表单位重量单位重量流体由流体由 1-1 1-1 断面到断面到 2-2 2-2 断面的断面的平平均机械损失均机械损失，称为，称为总流水头损失总流水头损失。pzHp 代表流过流断面上某点代表流过流断面上某点单位重量单位重量流体的流体的总平均势能总平均势能gvpzH22 代表流过流断面上某点代表流过流断面上某点单位重量单位重量流体的流体的总平均机

29、械能总平均机械能；B4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义第38页/共96页40总流伯努力方程的几何表示总流伯努力方程的几何表示水力坡度定义水力坡度定义 0J 理想流体： ，总水头线沿程不变；0J 实际流体： ，总水头线沿程下降。lhlHHJl21平均平均dshddsdHJl测压管水头线测压管水头线H Hp p坡度dsdHJpp第39页/共96页41pzHpgvpzH221pg221v11zpzg22v2p2zg222v21vv2v测压管水头线测压管水头线Hp总水头线总水头线H水流轴水流轴线线HHp水头损失水头损失hl总流伯努力方程的几何表示总流伯努力方程的几何

30、表示水力坡度定义水力坡度定义 dshddsdHJl测压管水头线测压管水头线H Hp p坡度dsdHJppB4.3.3 B4.3.3 伯努利方程的水力学意义伯努利方程的水力学意义第40页/共96页42 例例B4.3.1 B4.3.1 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应 已知已知: : 图示一敞口贮水箱图示一敞口贮水箱, ,孔与液面的垂直距离为孔与液面的垂直距离为h( (淹深淹深).).设水位保持不设水位保持不变变. . 求：求： (1)(1)出流速度出流速度v(1)(1)设流动符合不可压缩无粘性设流动符合不可压缩无粘性流体定常流动条件流体定常流动条件. .解解：(2

31、)(2)出流流量出流流量Q从自由液面上任选一点从自由液面上任选一点1 1画一画一条流线到小孔条流线到小孔2 2，并列伯努利，并列伯努利方程方程 2222112122pgzvpgzv第41页/共96页43 例例B4.3.1 B4.3.1 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应 讨论讨论1 1：(b)式称为托里拆里式称为托里拆里( (ETomcelli,1644)公式公式, ,形式上与初始速度形式上与初始速度为零的自由落体运动一样为零的自由落体运动一样. .(b)式也适用于水箱侧壁平行于液面的式也适用于水箱侧壁平行于液面的狭缝出流。狭缝出流。 (2)(2)在小孔出口在小孔

32、出口, ,发生缩颈效应发生缩颈效应. .设缩颈处的截面积为设缩颈处的截面积为A e, ,缩颈系数缩颈系数 小孔出流量小孔出流量液面的速度可近似取为零液面的速度可近似取为零v1= 0，液面和孔口外均为大气压强，液面和孔口外均为大气压强p1= p2=pa = 0( (表压表压) )，由，由(a)式可得式可得ghzzgvv2)(2212AAeghAAvvAQe22222112122pgzvpgzv第42页/共96页44 例例B4.3.1 B4.3.1 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应 讨论讨论2 2：上述各式均只适用于小孔情况上述各式均只适用于小孔情况( (孔直径孔直

33、径d0.1h),),对大孔口对大孔口( (d 0.1h) )应考虑速度不均匀分布的影响。应考虑速度不均匀分布的影响。 收缩系数收缩系数与孔口边缘状况有关与孔口边缘状况有关：实际孔口出流应乘上一修正系数实际孔口出流应乘上一修正系数 k 1 上式中上式中= k, ,称为流量修正系数，由实验测定。称为流量修正系数，由实验测定。 ghAghAkAkvkvAQe22内伸管内伸管= 0.5 0.5, ,流线型圆弧边流线型圆弧边=1.0.锐角边锐角边= 0.61, ,AAeghAAvvAQe2第43页/共96页45 例例B4.3.1-b B4.3.1-b 三角堰流量计三角堰流量计 hzbdz2)(2tgzh

34、b微元bdz面上的速度gzvgzv2212微元条的宽度bdzzhgztgbdzgzvdAdQ)(2222通过微元条的流量dQhdzzhgztgQ0)(222流量Q)5232()(25232321zhzdzzhzhdzzhztggQ0)(2222525)(22158hfQhtggQz第44页/共96页46沿流束的水头形式沿流束的水头形式pgzvdstv22常数常数沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程dltVggpz2gVgpz2gV2222211211211( (沿流束沿流束) )B4.3.4 B4.3.4 不定常伯努利方程不定常伯努利方程沿流线从位置

35、沿流线从位置1积分到位置积分到位置2212222112122dstvpgzvpgzv( (沿流束沿流束) )不定常惯性力作不定常惯性力作功功第45页/共96页47z2zz1z2Ol 例例B4.3.4 UB4.3.4 U形管振荡形管振荡 初始时刻，液位差初始时刻，液位差2h,2h,然后在重力作用下振然后在重力作用下振荡，求振荡方程荡，求振荡方程 212222112122dstvpgzvpgzvv1=v2 =v(t)ldtdvdstv21p1=p2 =paz z1 1=-z;z=-z;z2 2 =z =z0202zlgdtdvgzldtdvdtdzv 0222zlgdtzd0;, 0vhzt)2c

36、os(tlgAz)2sin(2tlglgAdtdzv0;hA)2sin(2tlglghdtdzvlgthtlghz2)cos()2cos(第46页/共96页48【例例4.3.24.3.2】 总流伯努力方程的应用总流伯努力方程的应用文丘里流量计文丘里流量计 由渐缩、喉管、由渐缩、喉管、渐扩三段组成渐扩三段组成。进口直径进口直径 d1 =100mm，喉管直径喉管直径 d2 = 50mm，测压管水头差测压管水头差 h = 0.6m或或水银差压计液面差水银差压计液面差 hm= 4.76cm），），流量系数流量系数=0.98，试求输水流量试求输水流量。2211A?A?vvQ第47页/共96页490011

37、22hhmz1z2mabxz =za-zbxhpp0axzpp0bzhppbabazzzh)pz()pz(bbaa11aapzpz22bbpzpzh)pz()pz(2211液柱式测压计第48页/共96页50bazzz11aapzpz22bbpzpzmmmh.h)()pz()pz(61212211maMhxppmmbNhzxppmmbahzpp等压面等压面， pM= pN水银水银m=13.6z =za-zbM001122hhmz1z2mabxNmmbbaa1 h)()pz()pz(U型管型管压差计用于测量两点的压强差或测压管水头压差计用于测量两点的压强差或测压管水头差差第49页/共96页511.

38、1.取基准面取基准面0-00-0；2.2.取计算断面取计算断面1-11-1，2-22-2；gpzgpz2222222111vv 伯努利方程伯努利方程001122hhmz1z21v1p2v2p2211AAvvQ)(g)pz()pz(h2122221121vv 连续性方程连续性方程)AA(A)AA(hg111222121212222QQ第50页/共96页52mmmh.h)()pz()pz(61212211h)pz()pz(2211)dd(gd)AA(gAKhK)AA(hgA12412124212122112211Q)(g)pz()pz(h2122221121vv )AA(A)AA(hg111222

39、121212222QQK文丘里管系数hKhKh)(KhKmmQQ1hKhKh)(KhKmmQQ1考虑到水头损失的影响，引入流量修正系数考虑到水头损失的影响，引入流量修正系数K K 取决于流量计取决于流量计的的结构尺寸结构尺寸第51页/共96页53流体系统的动量方程流体系统的动量方程FdVvdtddtdKVdAnvdQAVVdA)nv(vdVtvdVvdtddtdKAnVAVdApdVfdA)nv(vdVtvFdApdVfdAnvvAnVA)(流过控制面流过控制面A A的动量的动量流量流量= =合外力合外力FdQvdA)nv(vAA流体系统的动量输送公式流体系统的动量输送公式定常流定常流B4.4

40、 B4.4 积分形式的动量方程及其应用积分形式的动量方程及其应用第52页/共96页5421AAAdA)nu(udA)nu(udA)nu(uK流进面流进面11111ununuu流出面流出面22222ununuu21222121AAdAnudAnuK121212AAAAAAAAdA)nu(udQudQudQuB00dAnvdQnvAonB1u流进面流进面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法线线方方向向n1nAB第53页/共96页5521222211AAdAundAunKAudAAQvA平均流速平均流速动量修正系数动量修正系数AAdAuA)udA(Av222AvdAuA22取决于断面流速分布

41、的不均匀性，一般取决于断面流速分布的不均匀性，一般 =1. 051.02， 仅当等速流仅当等速流 =1；通常取通常取 =1=1。 定义为定义为实际动量和按照平均流速计算的动量的比值实际动量和按照平均流速计算的动量的比值。AvdAuQvdAuQvudQAAA222第54页/共96页5621222211AAdAundAunK2222211211nAvnAvK动量流量动量流量AvdAuA22111nvv222nvvQvAAv1122考虑到)vv(QvvAvAvK1122111122221u流进面流进面12n2u1A2A流出面流出面2是是外外法法线线方方向向n1n第55页/共96页57若总流两断面间有

42、分流或合流，总流动量方程可为若总流两断面间有分流或合流，总流动量方程可为流过控制面流过控制面A A的动量的动量流量流量= =合外力合外力AnVdApdVfFvvQK)(1122流入流出)vQ()vQ(F流入流出流入流出)Av()Av(QQ对对不可压缩不可压缩流体流体： 第56页/共96页58动量方程的求解动量方程的求解 动量方程为动量方程为矢量矢量方程，求解时可写成在直角坐标系中方程，求解时可写成在直角坐标系中的的分量式分量式：221121AvAvQQcosvv)vv(QFxxxx1122cosvv)vv(QFyyyy1122cosvv)vv(QFzzzz112221222222111122l

43、hggpzggpzvv第57页/共96页59有分流时动量方程的求解有分流时动量方程的求解cosvv)vQvQvQ(Fxxxxx113322cosvv)vQvQvQ(Fyyyyy113322ggpzggpz2222222111vv332211321AvAvAvQQQggpzggpz2223332111vv1123 有分流的动量方程有分流的动量方程1-2( 1-3 )1-2( 1-3 )断面间的伯努利方程断面间的伯努利方程 有分流的连续性方有分流的连续性方程程第58页/共96页60【例例】水平水平输水弯管输水弯管。直径由直径由 D1 经经=转角变为转角变为D2 ;转弯前断转弯前断面的表压强面的表压

44、强 p1，输水流量输水流量Q ，不计水头损失，求水流对不计水头损失，求水流对弯管的作用力。弯管的作用力。112221vvcosQRcosFFx0222sinQRsinFyv111ApF 222ApF D1D21122xoyp1p2RyRx111ApF 222ApF 2A1v2v)vv(QFxxx1122)vv(QFyyy1122AbbAAAndApdApdApdAp2211AbbdApR第59页/共96页61112221vvcosQRcosFFx0222sinQRsinFyv111ApF 222ApF 21114DQAQv22224DQAQvsin)QAp(Ry222v121cos)QAp(Q

45、ApRx222111vvggpggp22222211vv2222112vv pp水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力大小相等方向相水流对弯管的作用力与弯管对水流的作用力大小相等方向相反反第60页/共96页62【例例】水平方向的射流水平方向的射流。流量流量Q ，击板流速击板流速v;水流在大气水流在大气中冲击光滑平板，射流轴线与平板夹角为中冲击光滑平板，射流轴线与平板夹角为；求；求射流对平射流对平板的作用力；板的作用力；分流的流量分流的流量yx1v2v3v123123app 1app 2app 3ggpzggpz2222222111vvggpzggpz2223332111vvappppzzz32

46、1321vvvv321AbbAaaAndApdApdApAbabAaRdA)pp(dAp0AbabRdA)pp(第61页/共96页63 有分流的动量方程有分流的动量方程流入流出)vQ()vQ(F1vyx2v3v123123QQ 12Q3QRyRx)cosvQ()v(QvQRx113322sinQv)sinv(Q(QQRy11320032QQQcosQQQRx320QQvvvv1321)cos(QQ)cos(QQ121232射流对平板的作用力等于射流对平板的作用力等于平板对射流的作用力，方向相反平板对射流的作用力，方向相反第62页/共96页6413232122vvvQcosQcosQRcosFc

47、osFF12212vvcosQcosFFR21114DQAQv222222221DQAQAQvR1122xp1p2p333111ApF 222ApF 23232/QQQQQQ有分流的动量方程有分流的动量方程流入流出)vQ()vQ(Fcos)QAp(QApR2221112vv2222112vv pp水流对管的作用力与管对水流的作用力大小相等方向相反水流对管的作用力与管对水流的作用力大小相等方向相反第63页/共96页6513222vvvQcosQcosQRcosQR1vv=v1 = v2 = v3于是上式为于是上式为R12x3appppzzz321321流入流出)vQ()vQ(Fgpzgpz222

48、3332111vvgpzgpz2222222111vv23232/QQQQQQ有分流的动量方程有分流的动量方程列列1-2( 1-3 )1-2( 1-3 )断面间的伯努利方程断面间的伯努利方程第64页/共96页66水流对壁面的作用力水流对壁面的作用力为为= 60 时时，cosQR1vvQR21= 90 时，时，vQR= 180 时，时，vQR2第65页/共96页67u um m管轴处最大流速管轴处最大流速圆管过流断面上的流速分布公式圆管过流断面上的流速分布公式 流量流量22/1RruumRmRmrrRRurrrRRuAuQ042220222)4121(2d2d平均流速平均流速muAQ21U)r(

49、u)r(R抛物线方程抛物线方程22RuQmRUdrduRrL4rRUdrdu2222212RrUu例例B4.4.1D第66页/共96页68例例B4.4.1D2210UppCLp出口处出口处x=L，速度速度为为抛物线方程，截面平均压强抛物线方程，截面平均压强pL假设管壁上的粘性切应力为假设管壁上的粘性切应力为(x)?,求压强损失系数求压强损失系数CpFdAnvvS)(2212RrUuLLAARdxxRppdAnvvL0202)()()(0rxOLp0pLULLLLRRdxRLRpprdrUu0200222)(2)(2)(BLLAAAAAdAidAi pdAi pdAnvv00)(RLRLLprd

50、rURrdrUuRRLUUppC02022222122104) 1(42?643. 03264DLRCedpRUL4DURedRLRRLURURLUedL64241282221221D=2R第67页/共96页69例例B4.4.1D2210UppCLp出口处出口处x=L，速度速度为为抛物线方程，截面平均压强抛物线方程，截面平均压强pL管壁对空气的摩擦阻力管壁对空气的摩擦阻力FdAnvvS)(2212RrUuLLAARdxxRppdAnvvL0202)()()(0rxOLp0pLUF220022R)pp(rdr)Uu(LRBLLAAAAAdAidAi pdAi pdAnvv00)(RUL4D=2R

51、F)vv(Q)vQ()vQ(流入流出流入流出F)p(pU)U34(UR2L02R222131RU)pp(F第68页/共96页70固定不变形的控制体固定不变形的控制体CV, ,控制面为控制面为CS 设设=v,流体系统动量流体系统动量 B4.4 B4.4 积分形式的动量方程及其应用积分形式的动量方程及其应用由牛顿第二定律由牛顿第二定律F为作用在流体系统上的所有外力之合力为作用在流体系统上的所有外力之合力 syssysd v vI IsyssysddtddtdFvIB4.4.1 B4.4.1 固定的控制体固定的控制体由输运公式可得由输运公式可得 第69页/共96页71B4.4 B4.4 积分形式的动

52、量方程及其应用积分形式的动量方程及其应用对固定控制体的流体动量方程对固定控制体的流体动量方程为为 v为绝对速度。为绝对速度。定常流动定常流动时时上式表明上式表明: :作用在固定控制体上的合外力作用在固定控制体上的合外力从控制面上净流出的动量流量从控制面上净流出的动量流量CSdAFnvv)(CSCVVdAnvvdVtvdVvdtd)(第70页/共96页721.沿流管的定常流沿流管的定常流动动通常取通常取1=2=1 。由一维定常流动连续性方程。由一维定常流动连续性方程可得可得一维定常流动一维定常流动动量方程动量方程CS = 流管侧面流管侧面 + A1 + A2FVV12)(m mmm12 dACS

53、)(nvvdAAA)()(12nvvmdAA)v12(12mm1212VV第71页/共96页732.具有多个一维出入口的控制具有多个一维出入口的控制体体注意注意: : (1) (1) 控制体的选控制体的选取取FVViiinioutimm)()(2) (2) 或或 代表流出平均速度代表流出平均速度矢量矢量2VoutV 或或 代表流入平均速度代表流入平均速度矢量矢量1VinV(3) (3) 动量方程中的动量方程中的负号负号是方程本身具有的是方程本身具有的, , 和和 在坐标轴上投影式的正负在坐标轴上投影式的正负与坐标系选择有关与坐标系选择有关outVinV(4) (4) 包含所有外力包含所有外力(

54、 (大气压强见例大气压强见例B4.4.1).B4.4.1).F第72页/共96页74 例例B4.4.1A B4.4.1A 主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程 已知已知: : 图示人主动脉弓图示人主动脉弓, ,条件及所取控制体条件及所取控制体CV均与例均与例B4.2.1相同相同, ,设血液设血液的密度为的密度为=1055 kg/m3 解：解： 建立坐标系建立坐标系oxy 如图所示如图所示 求：求： 从控制体净流出的动量流量从控制体净流出的动量流量 )Vm( inioutiioutimmm)()()(iVVV1155443322)(VVVVVmmmmm1155

55、443322VQ- )VQVQVQV(Q)V0.78V0.04V0.07V(0.11VQ154321第73页/共96页75 例例B4.4.1A B4.4.1A 主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程主动脉弓流动：多个一维出入口动量方程 讨论：讨论：计算结果表明从控制体净流出的动量流量很小，这说明血流对主计算结果表明从控制体净流出的动量流量很小，这说明血流对主动脉弓壁的冲击力很小。动脉弓壁的冲击力很小。(mV)y=Q1 (0.11V2 cos16+ 0.07V3 cos6+ 0.04 V4 cos23-0.78V5-V1 ) = 0.1055(0.1111.60.9613+0.0718.20.99

56、45+0.0480.9205 -0.7824.8-20.4)10 - 2 = - 0.039 N (mV) x =Q1 (0.11V2 sin16+ 0.07V3 sin6+ 0.04V4 sin23)=0.1055(-0.1111.60.2756+0.0718.20.1045+0.0480.3907)10-2净流出控制体的动量流量的净流出控制体的动量流量的x、y坐标分量为坐标分量为 = -110 4 N 第74页/共96页76 例例B4.4.1B B4.4.1B 弯曲喷管受力分析：压强合力的影响弯曲喷管受力分析：压强合力的影响 已知已知: : 设固定的收缩管的前半部向下弯曲设固定的收缩管的前

57、半部向下弯曲, ,偏转角为偏转角为,A,A0 0=0.00636m=0.00636m2 2, , Q=0.02m Q=0.02m3 3/s,d/s,d0 0=9cm,d=9cm,d3 3=2cm=2cm。出口端水喷入大气，忽略重力作用，。出口端水喷入大气，忽略重力作用，求：求： (1)(1)水流对喷管的作用力水流对喷管的作用力F F 的表达式的表达式 (2)(2)若若=30, ,求水流对喷管的作用力求水流对喷管的作用力 解：解：1. 1. 只包含水流的控制体只包含水流的控制体2.2.建立如图所示坐标系建立如图所示坐标系oxyoxy。3.3.由一维不可压缩流体连续性方程由一维不可压缩流体连续性方

58、程smmsmdQAQV/14. 3)09. 0(14. 3)/02. 0(44232000smsmddVV/29.28481)/144. 3(232003Qm第75页/共96页774.4.由伯努利方程由伯努利方程32302022pvpv因因p p3 3=0, =0, p p0 0=395332.85=395332.85p pa a5.5.由一维定常流动动量方程由一维定常流动动量方程FVV)(inoutm 设水对喷管的作用力设水对喷管的作用力F F如图所示。如图所示。本例中对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力本例中对控制体的合外力包括喷管对水流的反作用力F F 和压强合力。和压强合力。作用在

59、控制面上的压强用表压强表示，本例中入口截面压强为作用在控制面上的压强用表压强表示，本例中入口截面压强为p p0 0，方向方向沿沿x x轴正向；出口截面压强为零：轴正向；出口截面压强为零：iFF00Ap(1)(1)F F的表达式为的表达式为)(0300VViFQAp(2)(2)设设=30, ,F在在x ,y 方向的分量式为方向的分量式为第76页/共96页78sinQVsinVQF33y3100 02 28 2930282 9N .sin. 0300 xVcosVApF3395232 3 0 00636 100 02 28 29cos303 14.2514 3427 222081 7 N . 压强

60、合压强合力力动量变动量变化化讨论：讨论：(1) (1) 一般可不必考虑大气压强作用，控制面上压强用表压强即可一般可不必考虑大气压强作用，控制面上压强用表压强即可。(2)(2)力力F F的方向可任意设定，计算出的数值为正说明假设方向正确的方向可任意设定，计算出的数值为正说明假设方向正确。若欲求固定喷管的力，该力通过喷管直接作用在水流上，与本例若欲求固定喷管的力，该力通过喷管直接作用在水流上，与本例F F大小相等，方向相反。大小相等，方向相反。(3)(3)从计算结果来看从计算结果来看, ,喷管受力中压强占主要成分喷管受力中压强占主要成分, ,流体加速造成的流体加速造成的动量变化引起的力只占次要成分