ch微积分实际应用举例实用PPT学习教案

1、会计学1ch微积分实际应用举例实用微积分实际应用举例实用ab xyo)(xfy （4） 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积元素面积元素第1页/共37页（1）U是是与与一一个个变变量量 x 的的变变化化区区间间a,b有有关关的的量量； （3）部分量）部分量iU 的近似值可表示为的近似值可表示为iixf )( ；就就可可以

2、以考考虑虑用用定定积积分分来来表表达达这这个个量量 U 第2页/共37页2、微元法的步骤、微元法的步骤第3页/共37页3）以以所所求求量量U的的元元素素dxxf)(为为被被积积表表达达式式，在在区区间间,ba上上作作定定积积分分，得得 badxxfU)(，即即为为所所求求量量U的的积积分分表表达达式式.这个方法通常叫做这个方法通常叫做微元法微元法或或元素法元素法应用方向：应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等定积分的物理意义：定积分的物理意义：非均匀线形物体的质量非均匀线形物体的质量.)( ba

3、dxxm 第4页/共37页解解xdxxVsin20 .22 取取积积分分变变量量为为x，, 0 x222)(sinsin2sinsin)(dxxxdxxxxxdxxV xdxxdVsin2 例例 1x y=sin x yx y=sin x y推推广广.)(2),)( badxxfxVybaxxfy的的体体积积轴轴旋旋转转形形成成的的旋旋转转体体绕绕曲曲线线第5页/共37页解法二解法二dyyV)arcsin2(102 .22 1 , 0 y,)arcsin2()(arcsin)arcsin(22dyydyydyydV x yy=sin x yyarcsinarcsin 第6页/共37页 求求由由

4、曲曲线线24xy 及及0 y所所围围成成的的图图形形绕绕直直线线3 x旋旋转转构构成成旋旋转转体体的的体体积积. 解解取取积积分分变变量量为为y,4 , 0 y体积元素为体积元素为dyQMPMdV22 dyyy)43()43(22 ,412dyy dyyV 40412.64 PQMdy例例 2第7页/共37页2、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功3、水压力水压力4、引力引力1、质量、质量第8页/共37页 0 6 x图图7.5.1解解例例 3二、定积分在物理上的应用二、定积分在物理上的应用1 1、质量、质量第9页/共37页 如如果果物物体体在在运运动动的的过过程程中中所所受受的的力力是是变变化

5、化的的，就就不不能能直直接接使使用用此此公公式式，而而采采用用“微微元元法法”思思想想.2 2、变力沿直线所作的功变力沿直线所作的功第10页/共37页点击图片任意处播放点击图片任意处播放暂停暂停一一圆圆柱柱形形蓄蓄水水池池高高为为 5 米米，底底半半径径为为 3 米米，池池内内盛盛满满了了水水.问问要要把把池池内内的的水水全全部部吸吸出出，需需作作多多少少功功？ 解解建立坐标系如图建立坐标系如图xoxdxx 取取x为积分变量，为积分变量，5 , 0 x5取取任任一一小小区区间间,dxxx ,例例 4第11页/共37页xoxdxx 5这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为dx238 . 9 功元素

6、为功元素为,2 .88dxxdw dxxw 2 .885050222 .88 x3462 (千焦千焦)第12页/共37页解解 建立坐标系建立坐标系,1kxdxdw 该该小小区区间间对对应应的的功功为为第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为 101kxdxw,2k .0 hhkxdxw例例5 5 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作厘米，若每次锤击所作的功相等，问第的功相等，问第 次锤击时又将铁钉击入多少次锤击时又

7、将铁钉击入多少？n设设 次击入的总深度为次击入的总深度为 厘厘米米hn次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为n1 , 0, dxxx任取任取为为积积分分变变量量，取取10 xxoxdxx 第13页/共37页 hhkxdxw0,22kh 依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等1nwwh 22kh,2kn ,nh . 1 nn次击入的总深度为次击入的总深度为n第第 次击入的深度为次击入的深度为n第14页/共37页 如果平板如果平板垂直垂直放置在水中，由于水深不同放置在水中，由于水深不同的点处压强的点处压强p不相等，平板一侧所受的水压力不相等，平板一侧所受的水压力就不能直接使用此

8、公式，而采用就不能直接使用此公式，而采用“微元法微元法”思”思想想第15页/共37页解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图xo取取x为积分变量，为积分变量，, 0Rx 取取任任一一小小区区间间,dxxx xdxx 小小矩矩形形片片上上各各处处的的压压强强近近似似相相等等小小矩矩形形片片的的面面积积为为.222dxxR ,xp 例例 6第16页/共37页dxxRxdF222 端面上所受的压力端面上所受的压力dxxRxFR2202 )(22022xRdxRR RxR032232 .323R xoxdxx 第17页/共37页xy解解 建立坐标系如图建立坐标系如图任取任取,bbdyyy ,2)

9、235(xdyygdF xdyygFbb2)235( ).(10Ngab ytdtabtbg220cos2)sin235( 5例例 7x第18页/共37页 由物理学知道，质量分别为由物理学知道，质量分别为21,mm相距为相距为r的两个质点间的引力的大小为的两个质点间的引力的大小为221rmmkF ，其中其中k为引力系数，引力的方向沿着两质点的为引力系数，引力的方向沿着两质点的连线方向连线方向 如果要计算一根细棒对一个质点的引力，如果要计算一根细棒对一个质点的引力，那么，由于细棒上各点与该质点的那么，由于细棒上各点与该质点的距离是变化距离是变化的，且各点对该质点的的，且各点对该质点的引力方向也是

10、变化引力方向也是变化的，的，就不能用此公式计算就不能用此公式计算第19页/共37页有有一一长长度度为为 l、 线线密密度度为为的的均均匀匀细细棒棒，在在其其中中垂垂线线上上距距棒棒 a 单单位位处处有有一一质质量量为为 m 的的质质点点 M，计计算算该该棒棒对对质质点点 M 的的引引力力 2l2l xyoMa解解 建立坐标系如图建立坐标系如图取取y为为积积分分变变量量取取任任一一小小区区间间,dyyy ,2,2 lly将典型小段近似看成质点将典型小段近似看成质点小段的质量为小段的质量为,dy rydyy 例例8第20页/共37页小段与质点的距离小段与质点的距离为为,22yar 引力引力,22y

11、adymkF 水平方向的分力元素水平方向的分力元素,)(2322yadyamkdFx 2322)(22yadyamkFllx ,)4(22122laalkm 由对称性知，引力在铅直方向分力为由对称性知，引力在铅直方向分力为. 0 yF2l2l xyoMarydyy 第21页/共37页,lim1210nyyyyynn 函数函数 在区间在区间 上上的的平均值平均值为为)(xf,banababyyyyynn 1210limx niixxyab110lim1,)(lim1110 niixxxfab badxxfaby)(1几何平均值公式几何平均值公式区间长度区间长度yab)( )()( fab 三三、

12、平均值与均方根、平均值与均方根第22页/共37页解解设电阻为，设电阻为，R则电路中的电压为则电路中的电压为iRu ,sintRIm 功率功率uip ,sin22tRIm 一个周期区间一个周期区间,2, 0 平均功率平均功率tdtRIpm 2202sin12 例例 10第23页/共37页tdtRIpm 2202sin12 )(sin22022ttdRIm )()2cos1(4202tdtRIm 20222sin4 ttRIm 242 RIm22RIm .2mmUI )(RIUmm 结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率结论：纯电阻电路中正弦交流电的平均功率等于电流、电压的峰值的乘积的二分之一等于

13、电流、电压的峰值的乘积的二分之一第24页/共37页 通常交流电器上标明的功率就是平均通常交流电器上标明的功率就是平均功率交流电器上标明的电流值都是一种功率交流电器上标明的电流值都是一种特定的平均值，习惯上称为特定的平均值，习惯上称为有效值有效值.)(12 badxxfab函数函数)(xf在在,ba上的上的均方根均方根第25页/共37页它在它在, 0T上的平均功率为上的平均功率为,)(102 TRdttiT,)(1022 TRdttiTRI按定义有按定义有 TdttiTI022)(1.)(102 TdttiTI有效值计算公式的推导有效值计算公式的推导即即第26页/共37页正弦交流电正弦交流电tI

14、tim sin)( 的有效值的有效值tdtIIm 2022sin12 )(22022ttdinsIm 20222sin4 ttIm.2mI .)(12 badxxfab函数函数)(xf在在,ba上的上的均方根均方根结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的结论：正弦交流电的有效值等于电流的峰值的21第27页/共37页四、简单数学模型和求解四、简单数学模型和求解第28页/共37页解解例例 10Malthus人口模型人口模型第29页/共37页例例 11Logistic人口人口模型模型第30页/共37页第31页/共37页利用利用“微元法微元法”思想求变力作功思想求变力作功、水压力和引力等物理问题、水压

15、力和引力等物理问题（注意熟悉相关的物理知识）（注意熟悉相关的物理知识）第32页/共37页函数的平均值函数的平均值函数的有效值函数的有效值;)(1 badxxfaby.)(12 badxxfab（理解平均功率、电流的有效值等概念）（理解平均功率、电流的有效值等概念）第33页/共37页 作作 业业P345: 2, 4, 5, 6, 10, 12, 16. P330: 6, 7(4)第34页/共37页练习练习有一半径为的四分之一圆周，有一半径为的四分之一圆周，线密度为线密度为 的均匀细丝，的均匀细丝，在其圆心处在其圆心处有一质量为有一质量为m的质点，的质点，计算该细丝对质点计算该细丝对质点的引力的引力解解 建立坐标系如图建立坐标系如图 , 0 Rx 质量微元为质量微元为,)(12dxy xx+dx引力微元引力微元,)(122RdxymGdF 水平方向的分力微元水平方