麦克斯韦方程组洛伦兹协变性的两种证明方法

1、麦克斯韦方程组洛伦兹协变性的两种证明方法 在现代物理学中，人们往往是把“对 称 性”、“不变 性”、“相对性”和“协 变 性”看成同一个意思的。如果一个理论在某种变换群下具有不变性方程的形式不变，我们就说该理论具有某种“协变性”，这里的变换可能是坐标变换，也可能是函数变换，比如洛仑兹协变性是坐标变换下的协变性，而规范协变性则是函数变换下的协变性。“协变性”总是和“对称性”紧密联系在一起的，虽然“协变性”是指方程的对称性，而不是几何的对称性，然而物理的对称性也许总是有一个几何的对称性与之对应的，比如齐次洛仑兹变换就相当于四维时空坐标系在闵可夫斯基空间中的一个不含时的转动方程的洛仑兹协变性，这种思

2、想在后来的规范场论中得到了进一步的发展。协变性如果简单地从字面上来说，是具有协助变化的特性，在物理学中的“协变性”的原意是指协助物理方程中的时间、长度、质量等按照洛伦兹变换的规律来改变，以使得它们照样成立。洛伦兹协变性和不变性实际上是一样的，没有明确的区别，对于某一个量来说，从它在给定坐标系下的分量在坐标变换中满足协同变换规律来说，它具有协变性；从这个量在坐标变换下而没有保存不变来说，它具有不变性。所谓运动方程的协变的意义是，如果在一个参考系中的物理学规律可以写成张量（矢量）的形式，在另一个参考系中也能写成张量（矢量）的形式。4.1伽利略变换相对性原理要求任何物理规律在不同的惯性系中形式相同。

3、当坐标经过变换而方程的形式不变时，称方程对于这个变换是“协变”的。狭义相对论要求所有表述物理规律的方程对于洛伦兹变换是协变的。在经典物理中，由于牛顿力学的基础是牛顿相对性原理和绝对时空观，其坐标变换服从伽利略变换：。牛顿运动方程即对伽利略变换是协变的，但麦克斯韦方程不服从伽利略变换，即对伽利略变换不是协变的，例如：对于方程 （） 方便起见，考虑一个分量： 按牛顿时空观，在不同的惯性系内是相同的，故 同理 又 将上式代入分量式整理得： （） （）式与（）式的形式不同，即（）在伽利略变换下不是协变的。4.2洛伦兹变换狭义相对论中坐标变换服从洛伦兹变换，狭义相对性原理要求所有表达物理规律的方程对于洛

4、伦兹变换都是协变的。麦克斯韦方程组是电磁场所遵循的基本规律，在狭义相对论的四维时空中，麦克斯韦方程组满足洛伦兹变换且是协变得，用电磁场张量分析法和微分洛伦兹变换法可验证麦克斯韦方程组的协变性。 设有两个相对作匀速直线运动的参考系与，为静止系，为运动系。在时，两个坐标系(固定在两个参考系上)的原点及三个坐标轴重合，相对沿轴正向以匀速运动(如图)根据洛伦兹变换关系，空间任一点坐标系中的时空坐标有如下关系：(1) 令 ： 则洛伦兹变换可写为令a= （2）其中，。即a为沿x轴的特殊洛伦兹变换矩阵。一般洛伦兹变换是满足间隔不变性的四维变换： （3） 有电流密度四维矢量 由（3）式变换得电荷密度与电流密度

5、矢量的变换式： （4）4.3电磁场张量分析法 电磁场和用势表出为： 其分量为 （5) 引入一个反对称张量 ： （6）由 （5)式可见，电磁场构成一个四维张量： (7)在洛伦兹变换下的变换方式是： ( 8）逆变换为： 一般情况下麦氏方程组： （9）用电磁场张量可以把麦克斯韦方程组写为明显的协变式，这方程组（9）中的 式可以合写为： （10） 同理， 式可以合写为： （11）（10）式左边因重复下标求和变成四维失量，右边是四维失量，所以是协变的，证明如下： 由于右边，把他们代入 （10）式，（正交条件），即可得到 （10） 式和式表明，该方程在两个惯性系中形式完全相同，因而具有洛伦兹协变性。 （1

6、1）式每一项用了3个下标，引入3个下标 其取值范围是14，由 ( 3 )式和( 8）式有： 将上式代入（11）式得： （11） 式与式形式完全相同，用电磁场张量表示的麦克斯韦方程组具有洛伦兹协变性，从而说明麦克斯韦方程组在洛伦兹变换时时协变的。 由（10）式和 （11）式导出电磁场的变换关系： ， ， （12） ，4.4 洛伦兹微分变换法 洛伦兹变换关系式（1）的逆变换求微分得： （13） 将麦克斯韦方程组（9）式结合（13）式可得到各分式的变换： 式： （14） 式： (15) 式 ： （16） 式： 故， 故， （17）故， 将麦克斯韦方程组（15）式中 代入（14）式，消去得： （18）

7、将麦克斯韦方程组式（14）代入（15）式中 中，消去，得： （19）同理，（15）中可化为： （20）（15）中可化为： （21）将麦克斯韦方程组（17）中代入（16）式，消去，得到： （22）把（16）式代入（17）式中，消去，得到： （23）（17）式可化为： （24）（17）式可化为： （25）把（4）式和（12）式分别代入（18）（25）中，整理得： ， （26）式中表示在系的算符。（26）式正是麦克斯韦方程组在系的形式。与（9）式相比较，在系和中麦克斯韦方程组的数学形式保持不变。我们用电磁场张量分析法和洛伦兹微分变换法验证了麦克斯韦方程组的洛伦兹协变性，它们完全满足相对性原理的要求，电磁场张量分析法结果证明电场和磁场统一为四维张量，反映出电磁场的统一性和相对性，电场和磁场是