1.1 集合的概念（解析版）[1]

1、2020-2021学年高一数学同步题型学案（新教材人教版必修第一册）第一章 集合与常用的逻辑用语11集合的概念 【课程标准】1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合【本节知识点】知识点一元素与集合的相关概念(1)元素：一般地,把研究对象统称为元素,通常用小写拉丁字母a,b,c,表示(2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合,简称为,通常用大写拉丁字母A,B,C,表示(3)集合相等：组成两个集合的元素是一样的(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性知识点二元素与集合的关系及常用数集(1)如果a是集合A的元素,

2、就说a属于集合A,记作aA；如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作aA.(2)数学中一些常用的数集及其记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或NZQR知识点三列举法把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法. 知识点四描述法一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有配合特征P(x)的元素x所组成的集合表示为xA|P(x),这种表示集合的方法称为描述法【题型分类】题型一集合与元素的含义题型要点点拨：集合的三个特性描述性“集合”是一个原始的不加定义的概念,它同平面几何中的“点”“线”“面”等概念一样都只是描述性的说明整体性集合是一个整

3、体,暗含“所有”“全部”“全体”的含义,因此一些对象一旦组成了集合,这个集合就是这些对象的总体广泛性组成集合的对象可以是数、点、图形、多项式、方程,也可以是人或物等【例1】下列对象能组成集合的是()A的所有近似值B某个班级中学习好的所有同学C2020年全国高考数学试卷中所有难题D屠呦呦实验室的全体工作人员【参考答案】D【解析】D中的对象都是确定的,而且是不同的A中的“近似值”,B中的“学习好”,C中的“难题”标准不明确,不满足确定性,因此A、B、C都不能组成集合【方法技巧】判定一组对象能否组成一个集合,关键要看是否有一个明确的客观标准来界定这些对象若界定对象的客观标准是明确的,则这些对象就能组

4、成集合,否则不能组成集合【易错提醒】不是所有的对象都能组成集合,只有具有明确标准可以判定是否在集合内的对象才能组成集合【同类练习】1下列所给的对象不能组成集合的是()A我国古代的四大发明B二元一次方程xy1的解C某班年龄较小的同学D平面内到定点距离等于定长的点【参考答案】C【解析】C项中“年龄较小的同学”的标准不明确,不符合确定性,故选C.2.现有以下说法：高二(1)班较胖的同学组成一个集合；正方体的全体组成一个集合；未来世界的高科技产品组成一个集合；不大于3的所有自然数组成一个集合其中正确的是()ABC D【参考答案】D【解析】：在中,高二(1)班较胖的同学不能组成一个集合,故错误；在中,正

5、方体的全体能组成一个集合,故正确；在中,未来世界的高科技产品不能组成一个集合,故错误；在中,不大于3的所有自然数能组成一个集合,故正确题型二、元素与集合的关系题型要点点拨：元素与集合的关系解读唯一性aA与aA取决于a是不是集合A中的元素,只有属于和不属于两种关系方向性符号“”“”具有方向性,左边是元素,右边是集合【例2】(1)下列所给关系正确的个数是()R； Q；0N*；|5|N*.A1B2C3 D4(2)集合A中的元素x满足N,xN,则集合A中的元素为_【参考答案】(1)B(2)2,1,0【解析】(1)是实数,所以R正确；是无理数,所以Q正确；0不是正整数,所以0N*错误；|5|5为正整数,

6、所以|5|N*错误故选B.(2)由题意可得：3x可以为1,2,3,6,且x为自然数,因此x的值为2,1,0.因此A中元素有2,1,0.【方法及其】判断元素与集合关系的两种方法直接法(1)使用前提：集合中的元素是直接给出的(2)判断方法：首先明确集合是由哪些元素组成,然后再判断该元素在已知集合中是否出现即可推理法(1)使用前提：对于某些不便直接表示的集合(2)判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征,然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可【同类练习】1已知集合A中元素满足2xa0,aR,若1A,2A,则()Aa4 Ba2C4a2 D4a2【参考答案】D【解析】：1A,2A,21a0

7、,且22a0,解得4a2.2用符号“”或“”填空(1)设集合M中的元素为平行四边形,p表示某个矩形,q表示某个梯形,则p_M,q_M.(2)设集合D是满足方程yx2的有序数对(x,y)的集合,则1_D,(1,1)_D.【参考答案】：(1)(2)【解析】：(1)矩形是平行四边形,梯形不是平行四边形,故pM,qM.(2)因为集合D中的元素是有序数对(x,y),而1是数,所以1D,(1,1)D.题型三、集合中元素特性的简单应用题型要点点拨：集合中元素特性的意义及作用特性意义作用确定性集合中的元素是确定的,即任何一个对象都必须明确它是或不是某个集合的元素,两者必居其一判断涉及的总体是否组成集合互异性集

8、合中的元素必须是互异的,就是说,对于一个给定的集合,它的任意两个元素都是不同的求集合中的参数无序性集合中元素的排列无先后顺序,任意调换集合中元素的位置,集合不变判断两个集合的关系【例3】已知集合A含有两个元素a3和2a1,若3A,试求实数a的值【参考答案】0或1【解析】因为3A,所以3a3或32a1.若3a3,则a0.此时集合A含有两个元素3和1,符合要求；若32a1,则a1,此时,集合A含有两个元素4,3,符合要求综上所述,满足题意的实数a的值为0或1.【方法技巧】此类问题既要讨论元素的确定性,又要利用元素的互异性检验解的正确与否元素的确定性常被用来判断涉及的总体是否组成集合,互异性则常被用

9、来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中未知的元素另外,此类问题常涉及分类讨论的数学思想【例4】集合Ax|kx28x160,若集合A只有一个元素,试求实数k的值,并用列举法表示集合A.【参考答案】见解析【解析】当k0时,原方程为168x0,x2,此时A2当k0时,若集合A中只有一个元素,则方程kx28x160有两个相等实根即6464k0,即k1,从而x1x24,集合A4综上所述,实数k的值为0或1.当k0时,A2；当k1时,A4【方法技巧】 对于含参问题,随着参数值的变化,问题的解发生变化,所以这类问题往往需要分类讨论.通过分类,把复杂的问题简单化,从而蕴含着转化的数学思想.【同类练习】1已知

10、集合A中有0,m,m23m2三个元素,且2A,则实数m为()A2B3C0或3 D0,2,3均可【参考答案】B【解析】：由2A可知：若m2,则m23m20,这与m23m20相矛盾；若m23m22,则m0或m3,当m0时,与m0相矛盾,当m3时,此时集合A中含有3个元素0,2,3,故选B.2由实数x,x,|x|,及所组成的集合,最多含有()A2个元素 B3个元素C4个元素 D5个元素【参考答案】A【解析】：法一：因为|x|x,|x|,x,所以不论x取何值,最多只能写成两种形式：x,x,故集合中最多含有2个元素法二：令x2,则以上实数分别为：2,2,2,2,2,由元素互异性知集合最多含有2个元素3设

11、集合A中有两个元素x,y,B中有两个元素0,x2,若A,B相等,则实数x的值为_,y的值为_【参考答案】：10【解析】：因为集合A,B相等,所以x0或y0.当x0时,x20,则B中有两个元素0,不满足集合中元素的互异性,故舍去；当y0时,xx2,解得x0或x1,由知x0应舍去,故x1.综上可知,x1,y0.题型四、列举法表示集合 题型要点点拨：列举法表示集合的种类(1)元素个数少且有限时,如1,2,3,4(2)元素个数多且有限时,可以列举部分,中间用省略号表示如“从1到100的所有自然数”可以表示为1,2,3,4,100(3)元素个数无限但有规律时,也可以类似地用省略号列举如“所有的正偶数”可

12、以表示为2,4,6,8,【例5】用列举法表示下列给定的集合：(1)不大于10的非负偶数组成的集合A；(2)小于8的质数组成的集合B；(3)方程x22x30的实数根组成的集合C；(4)方程组的解集D.【参考答案】见解析【解析】(1)不大于10的非负偶数有0,2,4,6,8,10,所以A0,2,4,6,8,10(2)小于8的质数有2,3,5,7,所以B2,3,5,7(3)方程x22x30的实数根为1,3,所以C1,3(4)方程组的解为所以方程组的解集D(3,1)【方法技巧】列举法表示集合的步骤及注意点分清元素列举法表示集合,要分清是数集还是点集书写集合列元素时要做到不重复、不遗漏【易错提醒】二元方

13、程组的解集,函数的图象、点形成的集合都是点的集合,一定要写成实数对的形式,元素与元素之间用“,”隔开如(2,3),(5,1)【同类练习】用列举法表示下列集合：(1)一年中有31天的月份的全体；(2)大于3.1小于12.8的整数的全体；(3)方程|y1|0的解集；(4)正奇数组成的集合【参考答案】见解析【解析】：(1)1月,3月,5月,7月,8月,10月,12月(2)4,5,6,7,8,9,10,11,12(3)由方程|y1|0可知,即从而方程的解集用列举法表示为(2,1)(4)正奇数组成的集合可用列举法表示为1,3,5,7,题型五、描述法表示集合题型要点点拨：描述法表示集合的几点注意(1)用描

14、述法表示集合,应先弄清楚集合的属性,是数集、点集还是其他的类型一般地,数集用一个字母代表其元素,而点集则用一个有序数对来表示其元素(2)用描述法表示集合时,若描述部分出现元素记号以外的字母,需对新字母说明其含义或取值范围(3)多层描述时,应当准确使用“且”和“或”,所有描述的内容都要写在集合内【例6】用描述法表示下列集合：(1)不等式2x31的解组成的集合A；(2)被3除余2的正整数的集合B；(3)C2,4,6,8,10；(4)平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合D.【参考答案】见解析【解析】(1)不等式2x31的解组成的集合为A,则集合A中的元素是数,设代表元素为x,则x满足2x31,则

15、Ax|2x31,即Ax|x2(2)设被3除余2的数为x,则x3n2,nZ.但元素为正整数,故x3n2,nN.所以被3除余2的正整数的集合Bx|x3n2,nN(3)设偶数为x,则x2n,nZ.但元素是2,4,6,8,10,所以x2n,n5,nN*.所以Cx|x2n,n5,nN*(4)平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负,纵坐标为正,即x0,y0,故第二象限内的点的集合为D(x,y)|x0,y0【方法技巧】描述法表示集合的步骤(1)确定集合中元素的特征；(2)给出其满足的性质；(3)根据描述法的形式写出其满足的集合【同类练习】1已知集合My|yx2,用自然语言描述M应为()A函数yx2的值域

16、B函数yx2的定义域C函数yx2的图象上的点组成的集合D以上说法都不对【参考答案】A【解析】：由于集合My|yx2的代表元素是y,而y为函数yx2的函数值,则M为yx2的值域故A正确函数yx2的定义域是x|yx2,故B错误函数yx2的图象上的点组成的集合是(x,y)|yx2,故C错误由于A对,故D错误故选A.2用描述法表示下列集合：(1)比1大又比10小的实数的集合；(2)直线y2x3上所有点的集合；(3)正奇数集【参考答案】见解析【解析】：(1)比1大又比10小的实数有无数个,故用描述法表示为xR|1x10(2)集合的代表元素是点,用描述法可表示为(x,y)|y2x3(3)奇数可用式子x2n

17、1,nZ表示,但此题要求为正奇数,故nN,所以正奇数集可表示为x|x2n1,nN题型六、集合表示的综合问题【例7】(2019-2020学年铜仁思南中学高一期中)已知集合M1,0,1,Nx|xab,a,bM,ab,则集合N中所有元素之和为()A1 B0C1 D2【参考答案】A【解析】集合M1,0,1,Nx|xab,a,bM,ab1,0,集合N中所有元素之和为1.【例8】用适当的方法表示下列集合：绝对值小于5的全体实数组成的集合；所有正方形组成的集合；除以3余1的所有整数组成的集合；组成英文单词mathematics的全体字母【参考答案】见解析【解析】绝对值小于5的全体实数组成的集合可表示为x|x

18、|5所有正方形组成的集合可表示为正方形除以3余1的所有整数组成的集合可表示为a|a3x1,xZ组成英文单词mathematics的全体字母可表示为m,a,t,h,e,i,c,s【题后反思】选用列举法或描述法表示集合的原则要根据集合元素所具有的属性选择适当的表示方法列举法的特点是能清楚地展现集合的元素,通常用于表示元素个数较少的集合,当集合中元素较多或无限时,就不宜采用列举法；描述法的特点是形式简单、应用方便,通常用于表示元素具有明显配合特征的集合,当元素配合特征不易寻找或元素的限制条件较多时,就不宜采用描述法【同类练习】1集合Ay|yx21,集合B(x,y)|yx21(A,B中xR,yR)选项

19、中元素与集合的关系都正确的是()A2A,且2BB(1,2)A,且(1,2)BC2A,且(3,10)BD(3,10)A,且2B【参考答案】C【解析】：集合A中元素y是实数,不是点,故选项B、D不对集合B的元素(x,y)是点而不是实数,2B不正确,所以A错2.用适当的方法表示下列集合：(1)绝对值不大于3的偶数的集合；(2)被3除余1的正整数的集合；(3)一次函数y2x3图象上所有点的集合；(4)方程组的解集【参考答案】(1)2,0,2(2)m|m3n1,nN(3)(x,y)|y2x3(4)(0,1)【本节同步分层练习】一、夯实基础1下列各组对象能组成集合的有()接近于1的所有正整数；小于0的实数

20、；(2 019,1)与(1,2 019)A1组B2组C3组 D0组【参考答案】B【解析】：中接近于1的所有正整数标准不明确,故不能组成集合；中“小于0”是一个明确的标准,能组成集合；中(2 019,1)与(1,2 019)是两个不同的数对,是确定的,能组成集合2若以集合A的四个元素a,b,c,d为边长组成一个四边形,则这个四边形可能是()A梯形 B平行四边形C菱形 D矩形【参考答案】A【解析】：由于a,b,c,d四个元素互不相同,故它们组成的四边形的四条边都不相等3方程组的解集是()A(5,4)B(5,4)C(5,4) D(5,4)【参考答案】D【解析】：解方程组得故解集为(5,4)4集合xN

21、*|x32的另一种表示法是()A0,1,2,3,4 B1,2,3,4C0,1,2,3,4,5 D1,2,3,4,5【参考答案】B【解析】：x32,xN*,x5,xN*,x1,2,3,4.5下列各组中集合P与Q,表示同一个集合的是()AP是由元素1,组成的集合,Q是由元素,1,|组成的集合BP是由组成的集合,Q是由3.141 59组成的集合CP是由2,3组成的集合,Q是由有序数对(2,3)组成的集合DP是满足不等式1x1的自然数组成的集合,Q是方程x21的解集【参考答案】A【解析】：由于A中P,Q元素完全相同,所以P与Q表示同一个集合,而B、C、D中元素不相同,所以P与Q不能表示同一个集合故选A

22、.6已知集合A中的元素x满足x1,3A.又3143【解析】：因为3A,所以3是不等式xa0的解,所以3a3.6含有三个实数的集合A中有a2,a三个元素,若0A且1A,则a2 019b2 019_.【参考答案】：1【解析】：由0A,“0不能做分母”可知a0,故a20,所以0,即b0.又1A,可知a21或a1.当a1时,得a21,由集合元素的互异性,知a1不合题意当a21时,得a1或a1(由集合元素的互异性,舍去)故a1,b0,所以a2 019b2 019的值为1.7.设5x|x2ax50,则集合x|x2ax30_.【参考答案】：1,3【解析】：由题意知,5是方程x2ax50的一个根,所以(5)2

23、5a50,得a4,则方程x2ax30,即x24x30,解得x1或x3,所以x|x24x301,38.已知集合A中的元素均为整数,对于kA,如果k1A且k1A,那么称k是A的一个“孤立元”给定集合S1,2,3,4,5,6,7,8,由S中的3个元素组成的所有集合中,不含“孤立元”的集合共有_个【参考答案】：6【解析】：依题意可知,所谓不含“孤立元”的集合就是集合中的3个元素必须是3个相邻的正整数,故所求的集合为1,2,3,2,3,4,3,4,5,4,5,6,5,6,7,6,7,8,共6个9已知集合A含有两个元素1和2,集合B表示方程x2axb0的解组成的集合,且集合A与集合B相等,求ab的值【参考

24、答案】1【解析】：因为集合A与集合B相等,且1A,2A,所以1B,2B,即1,2是方程x2axb0的两个实数根所以所以故ab1.10.集合A中共有3个元素4,2a1,a2,集合B中也共有3个元素9,a5,1a,现知9A且集合B中再没有其他元素属于A,根据上述条件求出实数a的值【参考答案】见解析【解析】：9A,2a19或a29,若2a19,则a5,此时A中的元素为4,9,25；B中的元素为9,0,4,显然4A且4B,与已知矛盾,故舍去若a29,则a3,当a3时,A中的元素为4,5,9；B中的元素为9,2,2,B中有两个2,与集合中元素的互异性矛盾,故舍去当a3时,A中的元素为4,7,9；B中的元素为9,8,4,符合题